混合策略:例子 参与者2 L(0) C(1/3) R(23) T(3/4) 3 3 1 参与者1M(0) 0 4 3 B(1/4) 1 0 ■参与者1: (3/4,0,%4)是一个混合策略,也就是,σ1(T)=3/4, 1(M)=0ando1(B)=1/4 ■参与者2: (0,1/3,2/3)是一个混合策略,也就是,σ2(L)=0, 2(C=1/3and2(R)=2/3
混合策略：例子 参与者2 L (0) C (1/3) R (2/3) T (3/4) 0 2 3 3 1 1 参与者1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 4 5 1 0 7 参与者 1: B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 (3/4, 0, ¼) 是一个混合策略，也就是, 1(T)=3/4, 1(M)=0 and 1(B)=1/4. 1( ) 1( ) 参与者 2: (0 1/3 2/3) (0, 1/3, 2/3) 是 个混合策略 一 ，也就是, 2(L)=0, 2(C)=1/3 and 2(R)=2/3. 11
期望收益:两个参与者与两个纯策略 参与者2 21 2(1-q) 参与者Sn1(r)L4(s21,a2(sms2)a1m,s2,a4s1n,s2) (1-r)La(s12,s2n),a2(s12sS1)la1(2,s2),a2(s12S2) ■参与者1取一个混合策略(r,1-r)参与者2采取一个混合策略(q, 参与者1选择s1的期望收益 EU1(S1(q,1-q)=q×u1(S1,S21)+(-q)X1(S1,S2 参与者1选择s12的期望收益: EU1(S12,(q,1-q)=qX1(S12,S21)+(1-q)X1(S12,S2 ■参与者1使用混合策略的期望收益: v(Gr,I-r),(q,1-q)=rxEU1(S1,(q,1-q)+(-r)×EU1(S12,(q,1-q)
期望收益：两个参与者与两个纯策略 参与者 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) 参与者 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) 参与者1采取一个混合策略 (r, 1- r ). 参与者2采取一个混合策略 ( q, 1- q ). 参与者1选择 s11的期望收益： EU1(s11, (q, 1-q))=q×u1(s11, s21)+(1-q)×u1(s11, s22) 1( 11, (q, q)) q 1( 11, 21) ( q) 1( 11, 22) 参与者1选择s12的期望收益： EU1(s12, (q, 1-q))= q×u1(s12, s21)+(1-q)×u1(s12, s22) 参与者1使用混合策略的期望收益: v1((r, 1-r), (q, 1-q))=rEU1(s11, (q, 1-q))+(1-r)EU1(s12, (q, 1-q)) 12
期望收益:两个参与者与两个纯策略 参与者2 21(q) S22(1-q) 参与者51(r)[4(sms2b,(mns)a(ms2ams2 12(1-r)|a1(s12,S21),n2412,s2)a(s2,s2,2(S12,S2) ■参与者1取一个混合策略(r,1-r).参与者2采取一个混 合策略(q,1-q) 参与者2选择s2的期望收益: EU2(S21(r,1-)=rX24S1,S21)+(-r)X2(S12,S21) 参与者2选择s2的期望收益 EU2(2,(G,1-r)=rX2(S1,S2)+(1-r)Xl2(512,S2 ■参与者2使用混合策略的期望收益: v2(G,1-r),(q,1-q)=q×EU2(S21,(,1-r)+(-q)×EU2(2,(Gr,1-r)
期望收益：两个参与者与两个纯策略 参与者 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) 参与者 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) 参与者1采取一个混合策略 (r, 1- r ). 参与者2采取一个混 合策略 ( q, 1- q ). 参与者2选择 s21的期望收益： EU2(s21, (r, 1-r))=r×u2(s11, s21)+(1-r)×u2(s12, s21 EU ) 2(s21, (r, 1 r)) r×u2(s11, s21) (1 r)×u2(s12, s21) 参与者2选择 s22的期望收益： EU2(s22, (r, 1-r))= r×u2(s11, s22)+(1-r)×u2(s12, s22) 参与者2使用混合策略的期望收益: v2((r, 1-r),(q, 1-q))=qEU2(s21, (r, 1-r))+(1-q)EU2(s22, (r, 1-r)) 13
期望收益:例子 参与者2 H(0.3) T(0.7) H(0.4) 1 1 1 参与者1 T(0.6) 1 1 1 1 ■参与者1 EU1(H,(03,0.7)=0.3×(-1)+0.7X1=0.4 EU1(T,(0.3,0.7)=0.3×1+0.7×(-1)=0.4 至210406(030)=04×04106×(04)=09 与者2: EU2(H,(0.4,0.6)=0.4×1+0.6×(-1)=-02 EU2(T,(0.4,0.6)=0.4×(-1)+0.6×1=0.2 v2(0.4,0.6),(0.3,0.7)=0.3×(0.2)+0.7×0.2=0.08
期望收益：例子 参与者 2 H (0.3) T (0.7) 参与者 1 H (0.4) -1 , 1 1 , -1 T (0.6) 1 , -1 -1 , 1 参与者 1: EU1(H, (0 3 0 7) (0.3, 0.7)) = 0 3. ×(-1) + 0 7. ×1=0 4. EU1(T, (0.3, 0.7)) = 0.3×1 + 0.7×(-1)=-0.4 v1(( , ), 0.4, 0.6), (, ) 0.3 0.7))=0.40.4+0.6(-0.4)=-0.08 参与者 2: EU2(H, (0.4, 0.6)) = 0.4×1+0.6×(-1) = -0.2 EU2(T, (0.4, 0.6)) = 0.4×(-1)+0.6×1 = 0.2 v2((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.3×(-0.2)+0.7×0.2=0.08 14
期望收益:例子 参与者2 L(0) C(1/3) R(23) T(314) 3 3 1 参与者1M(0) 0 4 3 B(1/4) 1 0 ■混合策略:p1=(3/4,0,%);P2=(0,1/3,2/3). 参与者1: EU1(T,P2)=3(13)+1×(2/3)=5/3,EU1(M,P2)=0×(1/3)+2×(2/3)43 EU1(B,P2)=5×(1/3)+0×(2/3)=5/3.v1{D1,PD2)=5/3 参与者2: EU2(L,p1)=2×(3/4)+4x(1/4)=5/2,EU2(C,p1)=3×(314)+3×(14)=5/2 EU2(R,P1)=1×(3/4)+7×(14)=5/2.v(P1,P2)=5/2
期望收益：例子 参与者 2 L (0) C (1/3) R (2/3) T (3/4) 0 2 3 3 1 1 参与者 1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 4 5 1 0 7 混合策略: p1=( 3/4, 0, ¼ ); p2=( 0, 1/3, 2/3 ). B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 参与者 1: EU1(T, p2)=3(1/3)+1(2/3)=5/3, EU1(M, p2 1 2 1 2)=0(1/3)+2(2/3)=4/3 EU1(B, p2)=5(1/3)+0(2/3)=5/3. v1(p1, p2) = 5/3 参与者 2: EU2(L, p1)=2(3/4)+4(1/4)=5/2, EU2(C, p1)=3(3/4)+3(1/4)=5/2, EU2(R, p1)=1(3/4)+7(1/4)=5/2. v1(p1, p2) = 5/2 15