21 +b=0 2 J=a+2b-=0 3 得到a=1b=-,即,-是唯一的驻点,所以必定是最小值点。因 此最佳直线为5=x-6° 6.在半径为R的圆上,求内接三角形的面积最大者。 解设圆内接三角形的各边所对的圆心角为a,a2a3,则三角形的面 积为 S=o[sin a, +sin a,+sina, ] =-[si in a, +sina -sin(a, +a 由第4题知a1=a2=2z=a1时面积最大,这时圆内接三角形为正三角 形, 7.要做一圆柱形帐幕,并给它加一个圆锥形的顶。问:在体积为定 值时,圆柱的半径R,高H,及圆锥的高h满足什么关系时,所用的 布料最省 解由帐幕的体积F=zR2H+1zRh,得到H=R3,于是帐幕的 表面积为 S=2zRH+RVR2+h2=2-2xM+R√R+n2。 R 对R与h求偏导数,得到 3√R2+h2 as 2V 2h +丌√R2+h2+ OR R 3 R2+h2 由第一个方程,得到R=5h,再将R=5h与F=xFH+1xR代入第
2 1 0 3 2 2 2 0 3 a b J a b J a b ⎧ = − + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + − = ⎪⎩ ， 得到 1 1, 6 a b = = − ，即 1 1, 6 ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因 此最佳直线为 6 1 ξ = x − 。 6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为 1 2 3 α , , α α ，则三角形的面 积为 2 2 1 2 3 1 2 1 [sin sin sin ] [sin sin sin( )] 2 2 R R S = + α α α + = α + α − α +α 2 ， 由第 4 题知 1 2 2 3 3 π α =α = =α 时面积最大，这时圆内接三角形为正三角 形， 2 max 4 3 3 S = R 。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定 值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高 满足什么关系时，所用的 布料最省？ h 解 由帐幕的体积 2 1 3 V R = + π H π R2 h ，得到 2 1 3 V H h π R = − ，于是帐幕的 表面积为 2 2 2 2 2 2 3 V Rh S RH R R h R R h2 R π = + π π + = − +π + 。 对R 与h求偏导数，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 S R Rh h R h S V h R R h R R R h π π π π π ⎧∂ = − + = ⎪ ⎪ ∂ + ⎨ ∂⎪ = − − + + + = ⎩ ⎪∂ + 。 由第一个方程，得到 5 2 R = h，再将 5 2 R = h与 2 1 3 V R = + π H π R2 h代入第 150
二个方程,得到H=1h,所以当B=H=力时,布料最省。 8.求由方程x2+2x+2y2=1所确定的隐函数y=y(x)的极值 解由 x+ y 0. x+2 得到x+y=0,再代入x2+2x+2y2=1得到y2=1,由此可知隐函数 y=y(x)的驻点为x=±1,且当x=±1时有y=1。 由于在驻点有 2y) 根据y"(±1)的符号可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值-1。 注本题也可由 2xy+2y2=(x+y)2+y2=1 得到-1≤y≤1,由此可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值 9.求由方程2x2+2y2+2+8yz-x+8=0所确定的隐函数z=x(x,y)的极 值 解由 ax1-2=-8 04(y+2=) ay1-2=-8 得到x=0与y+2z=0,再代入2x2+2y2+2+8yz-+8=0,得到 7=2+2-8=0即z7° 8 由此可知隐函数z=x(x,y)的驻点为0,-2)与
二个方程，得到 1 2 H = h，所以当 5 1 2 R H h = = 时，布料最省。 8．求由方程 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1所确定的隐函数 y = y(x)的极值。 解 由 0 2 ' = + + = − x y x y y , 得到 x + y = 0 , 再代入 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1得到 y 2 = 1，由此可知隐函数 y = y(x)的驻点为 x = ±1，且当 x = ±1时有 y = ∓1。 由于在驻点有 2 1 ' ( ) 1 '' (1 2 ') 2 ( 2 ) y x y y y x y x y y + + = − + + = − + + ， 根据 y"(±1)的符号可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 x =1取极小值−1。 注 本题也可由 2 2 2 x x + + 2 2 y y = (x + y) + y =2 1 1 ， 得到− ≤1 y ≤ ，由此可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 取极小值 。 x =1 −1 9．求由方程 所确定的隐函数 的极 值。 2 2 8 8 0 2 2 2 x + y + z + yz − z + = z = z(x, y) 解 由 4 0 1 2 8 4( 2 ) 0 1 2 8 z x x z y z y z y z y ⎧∂ = = ⎪ ⎪∂ − − ⎨∂ + ⎪ = = ⎪⎩∂ − − , 得到 x = 0与 y + 2z = 0 , 再代入2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8yz − z + 8 = 0，得到 7 8 0 2 z + z − = 即 8 1, 7 z = − 。由此可知隐函数 z z = ( , x y)的驻点为(0,−2) 与 16 (0, ) 7 。 151