习题13.4反常重积分 讨论下列反常积分的敛散性: (1) (2)0xy,D=(x,1y≤1,而且0m≤(xy≤M (m,M为常数) 3) p(x, y) r1(-x2-y3),其中o(x,y)满足与上题同样的条件 dxdt (4) alx-yIP (5) r2):1(x2+y2+2)”° 解(1)由于 dy 中8(1+1x12)1+1yP)1+1(P21+p 当A,B都趋于正无穷大时,等式右端的积分当仅当p>1且q>1时收敛, 所以原积分当p>1且q>1时收敛,而在其他情况下发散。 (2)由于 (1+r+yes o(x, y) y 而积分 dd当p>时收敛,当p≤时发散,所以原积 分当P>时收敛,当p≤时发散 (3)由于 (x M ≤ (1-x2-y2)(1-x2-y2)(1-x2-y2) 而 dr p2≤x2+y2s1 p(1-r2)2 当ρ→0时,等式右端的积分当p<1时收敛,当p≥1时发散,所以原 积分当p<1时收敛,当p≥1时发散。 (4)0.a]×[0,a=DUD2,其中 D={xy≤y≤x≤a},D2={xy≤xsy≤a 则
习 题 13.4 反常重积分 1． 讨论下列反常积分的敛散性： （1）∫∫ 2 (1+ | | )(1+ | | ) R p q x y dxdy ； （2） ( ) ∫∫ D + + dxdy x y x y p 2 2 1 ϕ( , ) ，D = {(x, y) |0 ≤ y ≤ 1}，而且0 < ≤ m x ϕ( , y) ≤ M （m, M 为常数）； （3） ϕ( , ) ( ) x y x y dxdy p x y 1 2 2 1 2 2 − − + ≤ ∫∫ ，其中ϕ( , x y)满足与上题同样的条件； （4） dxdy x y p a a × − ∫∫ [,] 0 0[ , ] ； （5） dxdydz x y z p x y z ( ) 2 2 2 1 2 2 2 + + + + ≤ ∫∫∫ 。 解（1）由于 ∫∫ ∫ ∫ − − ≤ ≤ + + = + + B B q A A p x A y B p q y dy x dx x y dxdy , (1 | | )(1 | | ) 1 1 ， 当 都趋于正无穷大时，等式右端的积分当仅当 且 时收敛， 所以原积分当 且 时收敛，而在其他情况下发散。 A, B p > 1 q > 1 p > 1 q > 1 （2）由于 ≤ + + p x y m (1 ) 2 2 ≤ + + p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 + + ， 而积分 ( ) ∫∫ D + + dxdy x y p 2 2 1 1 当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散，所以原积 分当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散。 （3）由于 ≤ − − p x y m (1 ) 2 2 ≤ − − p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 − − ， 而 ∫∫ ∫ ∫ ∫ − − = − − = − − ≤ + ≤ 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 ρ ρ π ρ θ π p p x y p r d r r rdr dxdy d x y ， 当 ρ → 0时，等式右端的积分当 p < 1时收敛，当 时发散，所以原 积分当 时收敛，当 时发散。 p ≥ 1 p < 1 p ≥ 1 （4）[0, ] a a × = [0, ] D1 ∪ D2，其中 D1 = { } (x, y) 0 ≤ y ≤ x ≤ a ，D2 = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y ≤ a}。 则 1
dxdy dxdy dxdy d c-x 可知当p<1时积分收敛,当p≥1时积分发散 (5)利用球面坐标,得到 dxdvdz 当p→0时,右边的积分当且仅当2p-2<1即p<时收敛,所以原积 分当p<3时收敛,当p≥3时发散 2.计算下列反常积分: (1)∫,其中D=1xy)y21x≥1,且P>q>1 (3)∫lerd 解(1) dxdy dy。 (P-q)(q-1) (2)作广义极坐标变换x= ar cos,y= br sinθ,则 dxdy=ablle-rdrde= ab do e rdr= (3) e-1++sdxdyd==edx e-y[= 3.设D是由第一象限内的抛物线y=x2,圆周x2+y2=1以及x轴所围 的平面区域,证明∫y收敛 证取r>0充分小,设D-={xy)0≤≤x20≤x≤7,x是抛物线y=x2与 圆周x2+y2=1交点的横坐标,则 dadu db DuD x +J
dxdy x y p a a × − ∫∫ [,] 0 0[ , ] ∫∫ − = 1 ( ) D p x y dxdy ∫∫ − + 2 ( ) D p y x dxdy ∫ ∫ ∫ ∫ − + − = a x p a a y p a y x dx dx x y dx dy ( ) ( ) 0 0 ， 可知当 p < 1时积分收敛，当 p ≥ 1时积分发散。 （5）利用球面坐标，得到 ∫∫∫ ∫ − ≤ + + ≤ = + + 1 2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ρ ρ π p x y z p r dr x y z dxdydz ， 当 ρ → 0时，右边的积分当且仅当2 p − 2 < 1即 2 3 p < 时收敛，所以原积 分当 2 3 p < 时收敛，当 2 3 p ≥ 时发散。 2．计算下列反常积分： （1）∫∫ D p q x y dxdy ，其中D = {(x, y) |xy ≥ 1,x ≥ 1}，且 p > q > 1； （2） e dx x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dy ； （3）∫∫∫ − + + 。 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z 解 （1） ∫∫ D p q x y dxdy 1 1 1 1 p q x dx dy x y +∞ +∞ = ∫ ∫ 。 1 1 1 1 1 1 ( p q dx q x p q q +∞ − + = = − − ∫ )( −1) 。 （2）作广义极坐标变换 x = ar cosθ , y = brsinθ ，则 e dxdy x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = = ∫∫ ∫ ∫ +∞ − ≥ − 1 2 0 1 2 2 e rdrd ab d e rdr r r r π =ab θ θ e πab 。 （3）∫∫∫ − + + 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − +∞ −∞ − = e dx e dy e dz x y z 2 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ +∞ −∞ − 3 2 e dx x 2 3 π 。 3．设D是由第一象限内的抛物线 y = x 2 ，圆周 x y 2 2 + = 1以及 x轴所围 的平面区域，证明∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 证 取r > 0充分小，设Dr = {(x, y) 0 ≤ y ≤ x ,0 ≤ x ≤ r} 2 ， 是抛物线 与 圆周 交点的横坐标，则 0 x y = x 2 x y 2 2 + = 1 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − + + + = + 2 0 2 0 1 0 2 2 1 0 2 2 \ 2 2 x x x x r D x y dy dx x y dy dx x y dxdy D r 2
dy 由于|m,x存在,所以lm∫存在,即反常积分 dxd 收敛 4.判别反常积分 I (1+x2)(1+y2) 是否收敛。如果收敛,求其值。 解因为厂14厂1 收敛,所以1=1,。收敛,并且 (1+x2)(1+y dxd = 5.设F()=』edod,求F(o 解当t>0时,令 =n,则0(xy)=12,于是 a(,v) 所以 F(=2,j=°ah=2 当t=0时,F(0)=0,易得 F(0)=lim )-F(0) =0 6.设函数f(x)在[0a上连续,证明 f(y dy=.f(x) (a-xx 证由于 fey dxdy= f()dy oss√a-x)(x-y) (a-x(x-y) 在积分(=8x-中,令x=y+m,则=(-)m2m 且当x:y→a时,t:0→x,于是
∫ ∫ ∫ − + = + 2 0 0 1 0 2 2 arctan 1 x x x r x y dy dx dx x x ， 由于 → ∫ 0 arctan lim 0 x r r dx x x 存在，所以 ∫∫ → + Dr r x y dxdy \ 2 2 0 lim D 存在，即反常积分 ∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 4．判别反常积分 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I 是否收敛。如果收敛，求其值。 解 因为∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + 2 2 1 1 y dy x dx 收敛，所以 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I 收敛，并且 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + 2 2 1 1 y dy x dx 2 = π 。 5．设 ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = y t x t y tx F t e dxdy 0 0 2 ( ) ，求F′(t)。 解 当t > 0时，令 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = y tv x tu 2 ( , ) ( , ) t u v x y = ∂ ∂ ，于是 ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = ⋅ 0 1 0 1 2 2 ( ) v u v u F t t e dudv， 所以 F′(t) = ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − ⋅ 0 1 0 1 2 2 v u v u t e dudv t 2F(t) = 。 当t = 0时，F(0) = 0 ，易得 0 ( ) (0) (0) lim 0 t F t F F → + t − ′ = = 。 6．设函数 f (x)在[0, a]上连续，证明 ∫∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ − − a y x a dxdy f x dx a x x y f y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) π 。 证 由于 ∫∫ ∫ ∫ − − = − − ≤ ≤ ≤ a y a y x a dx a x x y dxdy f y dy a x x y f y ( )( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ， 在积分∫ − − a y dx (a x)(x y) 1 中，令 x = y cos 2 t + a sin 2 t ，则dx = (a − y)sin 2tdt ， 且当 x : y → a 时， 2 : 0 π t → ，于是 3
dx=|22dt=丌, (a-x)(x-y 所以 dxdy f(xdx Sasa v(a-x)(x-y) 7.计算积分「e+++dx2…d 解∫ -(x1+x2+… +x)dx, dx dx, e2 dx
∫ − − a y dx (a x)(x y) 1 π π = = ∫ 2 0 2dt ， 所以 ∫∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ − − a y x a dxdy f x dx a x x y f y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) π 。 7．计算积分 ∫ − + + + 。 n n n x x x dx dx dx R ( " ) 1 2 " 2 2 2 2 1 e 解 ∫ − + + + n n n x x x dx dx dx R ( " ) 1 2 " 2 2 2 2 1 e 2 1 2 2 2 2 2 1 n n x x x e dx e dx e dx n = = π ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − +∞ −∞ − " 。 4