复旦大学：《数学分析》第十三章 重积分（13.3）重积分的变量代换习题

习题13.3重积分的变量代换 1.利用极坐标计算下列二重积分 (1)∫e-ddy,其中D是由圆周x2+y2=R2(R>0)所围区域; (2)∫ Vxdxdy,其中D是由圆周x2+y2=x所围区域 (3)∫(x+y),其中D是由圆周x2+y2=x+y所围区域 解(1)×争,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成 (4) 的在第一象限上的区域 dxdy= dele rdr=r(I-e D (2)j√h=CD0== (3)(x+y)d=∫(sm+csOd in 6+cost (sin 0+ cos0)de (0+dB n tdt 注:本题也可通过作变换 x=-+rcos8,y 2sine(0≤6≤2x,0srs、1 来求解 (4) rdr dt dt 2.求下列图形的面积: (1)(a1x+by+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=1(=ab2-a2b1≠0)所围的 区域; (2)由抛物线y2=mx,y2=mx(0<m<n),直线 y=ax,y=kx(0<a<B)所围的区域; (3)三叶玫瑰线(x2+y2)2=a(x3-3xy2)(a>0)所围的图形; (4)曲线x+2 (h,k>0,a,b>0)所围图形在x>0,y>0的 h k 部分

习 题 13.3 重积分的变量代换 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1）∫∫ − + ，其中 是由圆周 所围区域； D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) （2）∫∫ D xdxdy ，其中D是由圆周 x 2 + y 2 = x所围区域； （3）∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成 的在第一象限上的区域。 D x y 2 2 + = 1 解（1）∫∫ − + 。 D e dxdy ( x y ) 2 2 (1 ) 2 2 0 2 0 R R r d e rdr e − − = = − ∫ ∫ θ π π （2）∫∫ D xdxdy 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 = = = ∫ ∫ ∫ − π θ π π θ dθ rrdr θdθ 。 （3）∫∫ + D (x y)dxdy ∫ ∫ + − = + π θ θ π θ θ θ sin cos 0 2 4 3 4 (sin cos )d r dr 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 sin ( 3 4 (sin cos ) 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 π θ π θ θ θ θ π π π π π + = + = = ∫ ∫ ∫ − − d d tdt 。 注：本题也可通过作变换 ) 2 1 sin (0 2 , 0 2 1 cos , 2 1 x = + r θ y = + r θ ≤ θ ≤ π ≤ r ≤ 来求解。 （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ∫ ∫ ∫ + − = + − = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 1 4 1 dt t t rdr r r d π θ π = − − = ∫ 1 0 2 1 1 4 dt t π t 8 4 2 π π − 。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 + + b y c1 2 + (a2 2 x + b y + c2 ) 2 = 1 （δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0）所围的 区域； （2）由抛物线 y m 2 2 = = x, ( y nx 0 < m < n) ，直线 y x = = α , ( y βx 0 < α < β) 0) 所围的区域； （3）三叶玫瑰线( ) x y 2 2 + = 2 a(x 3 − 3xy 2 ) (a > 所围的图形； （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0)所围图形在 x > 0 0 , y > 的 部分。 1

解(1)作变换n=a1x+hy+c,=a2x+b2y+c2,则9")=ab2-a2b, 于是面积 S=fro(, y dud duc Jo(u,v la, b2-a2b13) la, b2-a2 b l (2)作变换u=y,y=2,则x=2,y=2,xy=互,于是面积 d(u,v) Bdv 1 a(,y) (3)令x=rcos,y=rsin,则曲线方程可化为极坐标形式r=acos3, 于是面积 66 de o rdr=3a26cos23040=a2 (4)作变换{x=m hkrsin26,而曲线方程化为 r2="cos 40+sin 40 b 于是面积 S=hk 20d0 va sin 0 cos'0d0+[2/sin 0de hk(a2k2+bh2) 3.求极限 f(x, y)dxdy p→0丌Px2+y2≤p2 其中f(x,y)在原点附近连续 解由积分中值定理, f(x, y)dxdy=f(s, n) 其中22+n2≤p2。 因为∫连续,且当p→0时,(2,n)→(00),所以 limbs(x, y)drdy=/(0,0) 4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分 (1)∫/+√kab,其中D是由坐标轴及抛物线√x+y=1所围 D

解（1）作变换 1 1 1 2 2 2 u = a x + b y + c , v = a x + b y + c ，则 1 2 2 1 ( , ) ( , ) a b a b x y u v = − ∂ ∂ ， 于是面积 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) a b a b dudv a b a b dudv u v x y S D D − = − = ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ ′ ′ π 。 （2）作变换 x y v x y u = , = 2 ，则 v u y v u x = , = 2 ， 4 ( , ) ( , ) v u u v x y = ∂ ∂ ，于是面积 = = ∂ ∂ = ∫∫ ∫ ∫ ′ β α 4 ( , ) ( , ) v dv dudv udu u v x y S n m D ) 1 1 ( )( 6 1 3 3 2 2 α β n − m − 。 （3）令 x = r cosθ , y = rsinθ ，则曲线方程可化为极坐标形式r = a cos3θ ， 于是面积 = = = ∫ ∫ ∫ − 6 0 2 2 cos3 0 6 6 3 3 cos 3 π θ π π S dθ rdr a θdθ a 2 4 a π 。 （4）作变换 ，则 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 2 sin cos y kr x hr θ θ sin 2 ( , ) ( , ) hkr r x y = ∂ ∂ ，而曲线方程化为 θ θ 4 2 2 4 2 2 2 cos sin b k a h r = + ， 于是面积 ∫ ∫ + = θ θ π θ θ 4 2 2 4 2 2 cos sin 0 2 0 sin 2 b k a h S hk d rdr ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ 2 0 2 0 5 2 2 5 2 2 sin cos sin cos π π θ θ θ θ θdθ b k d a h hk = 2 2 2 2 2 2 6 ( ) a b hk a k + b h 。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 解 由积分中值定理， 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 ξ η πρ ρ f x y dxdy f x y = ∫∫ + ≤ ， 其中ξ2 +η2 ≤ ρ2。 因为 f 连续，且当ρ → 0时，(ξ ,η) → (0,0)，所以 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y = f (0,0)。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线 x y + = 1所围 2

的区域 2)1),其中D是由D)椭圆合+=1所围区城 )圆 R2所围的区域: (3)∫ytod,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线 y2所围的区域 (4)Jedb,其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域; (5)』,+》)d,其中闭区域D=(x,)x+1y (6) ddy,其中闭区域D是由曲线y=a2-x2-a √4a2-x2-y2 (a>0)和直线y=-x所围成 解(1)作变换{=yx,则{x=",20x)=4m,于是 y=v2 a(u, v) +√kob=j(a+)4oh8wnh D 8[(1-v)3-(1-v) 注:本题也可通过作变换x=rcos4,y=rsin4θ来求解。 (2)i)作广义极坐标变换{x=0,则x=a,于是 y= brsin 8 a(r,6) dxdy ab dosed=2 ⅱ)利用极坐标变换,得到 dxd b del rdr 3=的 vara ∫上mb=43m 3J3sim2ab=4、下 (4)作变换n=x+y=x,则x=20+n)y=-y,直接计算得 d(x, y) d(u,v

的区域； （2）∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中D是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1所围区域； ii）圆 x 2 + y 2 = R2所围的区域； （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所围的区域； （4）∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5）∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域D是由曲线 y = a − x − a 2 2 （a > 0）和直线 y = −x 所围成。 解（1）作变换⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = v y u x ，则 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 2 y v x u uv u v x y 4 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ ，于是 ( ) ∫∫ + D x y dxdy ∫∫ ∫ ∫ − ′ = + = v D u v uvdudv vdv u du 1 0 2 1 0 ( )4 8 15 2 8 [(1 ) (1 ) ] 1 0 3 4 = − − − = ∫ v v dv 。 注：本题也可通过作变换 x = r cos 4 θ , y = rsin 4 θ 来求解。 （2）i）作广义极坐标变换 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y br x ar abr r x y = ∂ ∂ ( , ) ( , ) θ ，于是 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 = = ∫ ∫ 1 0 3 2 0 ab d r dr π θ ab 2 π ； ii）利用极坐标变换，得到 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 3 2 0 2 2 2 2 4 cos sin ( ) a b a b R d r dr a b R + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ π θ π θ θ 。 （3）∫∫ D ydxdy 2 0 2 2 0 2 x y y x y ydxdy ydxdy − ≤ ≤ − ≥− ≤ ≤ = − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − − π π π θ π θ θ θ θ 2 4 2sin 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 dx ydy sin d r dr 4 d 2 sin 4 3 8 4 2 0 4 π θ θ π = − = − ∫ d 。 （4）作变换 x y x y u x y v + − = + , = ，则 (1 ) 2 1 (1 ), 2 1 x = u + v y = u − v ，直接计算得 ( , ) 2 ( , ) u u v x y = − ∂ ∂ 。 3

由x≥0,y≥0,x+y≤2,可得0≤u≤2,-1≤v≤1,于是 udul e du (5)作变换n=x+yy=x-y,则2a.=2,xy=-1,于是 a(x, y) a(,v)2 dv I+(x-y) ∫pral (6)利用极坐标,得到 2asin e dxdy=r d6 4 由 dr d√4 4a2-r2dr 以及 可像h=(4a2-=42a arcsin dr d r= 2a arcsin 4 所以 dxdy (sin 8-0)de-I--8 16 5.选取适当的坐标变换计算下列三重积分 (1)(x2+y2+=)dbd,其中9为球{xy:)x2+y2+=2s1l; (2) dxdNd,其中Ω为椭球 (3)x2+y5aoh,其中Ω为柱面y=√2x-x2及平面 z=0,x=a(a>0)和y=0所围的区域; (4) ln(1+x2+y2+2) dhd,其中g为半球 (x,y,z)x2+y2+z2≤1,z≥0}; (5)(x+y+-)dht,其中9为抛物面x2+y2=2与球面

由 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2，可得0 ≤ u ≤ 2,−1 ≤ v ≤ 1，于是 ∫∫ + − D e dxdy x y x y e udu e dv e v 1 2 1 1 1 2 0 = = − ∫ ∫− 。 （5）作变换u = x + y,v = x − y，则 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v ，于是 ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 6 1 1 1 2 1 1 2 π = + = ∫ ∫ − − v dv u du 。 （6）利用极坐标，得到 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ∫ ∫ − − − = θ π θ 2 sin 0 2 2 2 0 4 4 a dr a r r d ， 由 ∫ ∫ ∫ = − − = − − + − − dr rd a r r a r a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 以及 ∫ ∫ ∫ = − − − − − = − a r dr r r dr a a r a a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 arcsin 4 4 (4 ) 4 ， 可得 a r C r a r dr a a r r = − − + − ∫ 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 arcsin 4 ， 所以 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 2 2 0 4 2 16 8 2a (sin cos )d a − = − = ∫− π π θ θ θ θ 。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1）∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球{( ； Ω x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = = 0, a (a > 0)和 y = 0所围的区域； （4） z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （5） ∫∫∫ ( ) x + +y z 2 dxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与球面 Ω x y a 2 2 + = 2 z 4

x2+y2+2=3n2(a>0)所围的区域。 (6)』1+y2kxoh,其中9为平面曲线 y2=2.绕:轴旋转 周形成的曲面与平面z=8所围的区域 (7) 1 ddhv,其中闭区域 {(x,y,=) (z-1)2≤1 0,y≥ (8)j(x+y-)Xx-y+)y+2-x)dot,其中闭区域9=(xy,) 0≤x ≤X 1,0≤y ≤1} 解(1)应用球坐标,则 x2+y2+2)hh=205 Singdol'ridr=47 5 (2)应用广义球坐标,则 dxdydz=abc de sin do =4 令 则 dxdyd==abc[ 2 cos tsin to zabc2 sin22tdt=zabel 2(1-costlas/ (3)应用柱坐标,则 dz=2de (4)应用柱坐标,则 de rdr I-r:In(1 n22-ln2(1+ r-+二 In- 2 (n 2 ln22) (5)由于g关于y平面和x平面都对称,则 jxydrdyd==ydh=∫ 于是

x y z a 2 2 2 2 + + = 3 (a > 0)所围的区域。 （6） ，其中 Ω 为平面曲线 绕 轴旋转一 周形成的曲面与平面 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 , 2 x y z z z = 8所围的区域； （7）∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ，其中闭区域 Ω={(x, y,z) | x 2 + y 2 + (z −1) 2 ≤ 1 ， z ≥ 0, y ≥ 0}； （8）∫∫∫ ，其中闭区域 Ω = Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz {(x, y,z) | 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ x − y + z ≤ 1, 0 ≤ y + z − x ≤ 1}。 解（1）应用球坐标，则 ( x y z )dxdydz 2 2 2 ∫∫∫ + + Ω 5 4 sin 1 0 4 0 2 0 π θ ϕ ϕ π π = = ∫ ∫ ∫ d d r dr 。 （2）应用广义球坐标，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ ∫ ∫ = − 1 0 2 2 0 2 0 abc d sin d 1 r r dr π π θ ϕ ϕ ∫ = − 1 0 2 2 4πabc 1 r r dr ， 令r = sin t，则 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ∫ = 2 0 2 2 4 cos sin π πabc t tdt = = − = ∫ ∫ 2 0 2 0 2 (1 cos4 ) 2 1 sin 2 π π πabc tdt πabc t dt abc 2 4 1 π 。 （3）应用柱坐标，则 z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = = 2 0 2 3 0 2cos 0 2 2 0 cos 3 4 π θ π dθ r dr zdz a θdθ a = 2 9 8 a 。 （4）应用柱坐标，则 z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ ∫ = − + + + + + = − 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 0 [ln 2 ln (1 )] 1 2 ln(1 ) 2 dz r r dr r z z r z d rdr r π θ π = − = ∫ 2 1 2 2 ln 4 ln 2 4 tdt π π ln 2)π 4 1 2 1 (ln 2 2 − − 。 （5）由于 Ω 关于 yz平面和 zx 平面都对称，则 ∫∫∫ = ∫∫∫ = ∫∫∫ = 0， Ω Ω Ω xydxdydz yzdxdydz zxdxdydz 于是 5