复旦大学：《数学分析》第十四章 曲线积分、曲面积分与场论（14.1）第一类曲线积分与第一类曲面积分习题

第十四章曲线积分、曲面积分与场论 习题14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分 求下列第一类曲线积分 (1)j(x+y)d,其中L是以0()4(10.B(O)为顶点的三角形 (2)y,其中L为单位圆周x2+y2=1 (3)jxd,其中L为星形线x23+y23=a2 (4)j1xds,其中L为双纽线x2+y2)2=x2-y2 (5)j(x2+y2+=3)ds,L为螺旋线 x= a cos t,y=asin,z=b,0≤1≤2的一段: (6)Jxd。其中L为曲线x=4y==32,=+2上相应于从0 变到1的一段弧 (7)j(+y+2x)d,其中L为球面x2+y2+2=a和平面 x+y+z=0的交线。 解(1)∫(x+y)=(x+y)d+(x+y)ds+j(x+y)d =C+(x+xk+yh=1+√2。 (2)lyNds =5 sindt=4 (3)令x=acos3y=asin3,则d=3 asin cost,于是 4 sinl cos 12a3 2 sint cos tdt=4a 3 (4)将L表示为参数方程 x=√cos20cos0 再利用对称性,就有 20 sin e Jixlds =4J cos 20 cos /*+y d0=4 cos ede 注本题也可利用L的极坐标方程r2=cos20,得到 ∫xld=42 rcos0vr2+ra=4 coste=2

第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 习 题 14.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中 是以 L (x y)ds L O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, )为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中 为单位圆周 ； L | y | ds L 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | L 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中 为双纽线 ； L | x | ds L 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = = cost, y a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π 的一段： (6) ∫ 。其中L 为曲线 L xyzds 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + y z + = 0的交线。 解（1）∫ ∫ ∫ ∫ + = + + + + + OA AB BO (x y)ds (x y)ds (x y)ds (x y)ds L ( ) 2 1 2 1 0 1 0 1 0 = + + + = + ∫ ∫ ∫ xdx x x dx ydy 。 （2） | | sin 4 2 0 = = ∫ ∫ π y ds t dt L 。 （3）令 x = a cos3 t, y = asin3 t ，则 ds = 3a sint cost ，于是 3 4 2 0 3 2 4 2 0 3 2 4 3 1 x ds 3a sin t cos t dt 12a sin t cos tdt 4a L = = = ∫ ∫ ∫ π π 。 （4）将L 表示为参数方程 cos 2 cos cos 2 sin x y θ θ θ θ ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = ，再利用对称性，就有 2 2 4 4 0 0 | x d| s 4 cos 2 cos x ' y ' d 4 cos d 2 2 π π = + θ θ θ = θ θ ∫ ∫ ∫ L = 。 注 本题也可利用L 的极坐标方程 2 r = cos 2θ ，得到 2 2 4 4 0 0 | x d| s 4 r cos r r d 4 cos d 2 2 π π = + θ θ ′ = θ θ ∫ ∫ ∫ L = 。 1

5)Jo +b2t2)√a2+b2d 3 (6)「 dyads 6√2 (7)因为在L上成立 )2-(x2+y2+z2) 所以 I(xy+ yz+Ex)ds ds 2.求椭圆周x= a cost,y=bsin,0≤t≤2x的质量,已知曲线在点Mx,y) 处的线密度是p(x,y)=y 解质量m=Jms=bna2sn21+bcos2td 26 当a>b 2b2+ 2a2b1b+√b2-a2 In 3.求下列曲面的面积: (1)z=axy包含在圆柱面x2+y2=a2(a>0)内的部分 (2)锥面x2+y2=x2被平面x+y+z=2a(a>0)所截的部分 (3)球面x2+y2+x2=a2包含在锥面z=√x2+y2内的部分 (4)圆柱面x2+y2=a2被两平面x+z=0,x-z=0(x>0,y>0)所截 部分; (5)抛物面x2+y2=2a包含在柱面(x2+y2)2=2a2xy(a>0)内的 那部分 (6)环面y=(b+ acos)sin,0s52x,0≤≤2x,其中0<a<b 解(1)A=小 )dxdy del i+a? rdr=4a+a)2-1)

（5）∫ + + L (x y z )ds 2 2 2 = + + = ∫ 2π 0 2 2 2 2 2 (a b t ) a b dt 2 2 2 2 2 (3 4 ) 3 2 a + π b a + b π 。 （6）∫ L xyzds = + + = ∫ 1 0 2 2 9 1 2 3 2 t t t dt 143 16 2 。 （7）因为在L 上成立 [( ) ( )] 2 1 2 2 2 2 xy + yz + zx = x + y + z − x + y + z ， 所以 3 2 2 ( ) ds a a xy + yz + zx ds = − = −π ∫ ∫ L L 。 2. 求椭圆周 x a = cost, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 的质量，已知曲线在点 M( , x y) 处的线密度是ρ( , x y) =| y|。 解 质量 ∫ ∫ = = + π ρ 2 0 2 2 2 2 m ds b sin t a sin t b cos tdt L ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < + − − + = > − − + = = + − ∫ a b a b b a b a a b b a a b a b a a b a b a b b b t a b a tdt 当 当 当 ln , 2 2 4 , arcsin , 2 2 2 sin ( ) cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 π 。 3. 求下列曲面的面积： (1) z a = xy 包含在圆柱面 x y 2 2 + = a 2 (a > 0)内的部分； (2)锥面 x y z 2 2 1 3 + = 2被平面 x + y z + = 2a (a > 0)所截的部分； (3)球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 包含在锥面 2 2 z = x + y 内的部分； (4)圆柱面 x y 2 2 + = a 2 被两平面 x + z = 0 0 , ( x − z = x > 0, y > 0) z 2 2 2 2 + = 2 ) 所截 部分； (5)抛物面 包含在柱面 ( ) 内的 那部分； x y a 2 2 + = 2 x y a xy (a > 0 (6)环面 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + sin , ( cos )sin , ( cos ) cos , φ φ ϕ φ ϕ z a y b a x b a 0 2 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ，其中0 < a < b。 解（1） ∫∫ = + + D A 1 a (x y )dxdy 2 2 2 ( (1 ) 1) 3 2 1 4 3 0 2 2 2 2 0 = + = + − ∫ ∫ a a d a r rdr a π θ π 。 2

(2)联立锥面与平面方程,消去z,得到 x2+y2-xy+2a(x+y)=2a2 这是所截的部分在xy平面上投影区域的边界,它是个椭圆。记 (xy)(x2-x+y2)+2a(x+y)s2a2} 再令{x=+",则区域D与区域 D=(a1)a+2a)2+32s6a 对应,且(xy=2,于是所截部分的面积为 d(u,v) A=1+=1=y drdy=[2drdy=[ 4dudv =&3za? (3)这部分球面在y平面上的投影区域为D={(x则x+y52}, 于是 A=』y4+2+2;b= dxdy dr=(2-√2) (4)圆柱面方程可写成y= 区域D=(=,x)xs=≤x,0≤x≤q}, 于是 ∫yh+y2+y2dk= dzdx= a2-x2 (5)方程(x2+y2)2=2a2x可化为极坐标方程r2=a2sin20,于是 ,x2+y2 A=2 dy=2 0+2m+y (20-3n)a2 (6)由 x'=-asin cos o, y=-asin osin ='= a cos, xo=-(b+a o)sin p,yo=(b+acos o)Cos p, =0=0 可得 e=aG tacos 所以 G-Fdodo= do a(b+acos o)do=43

（2）联立锥面与平面方程，消去 z ，得到 x 2 + y 2 − xy + 2a(x + y) = 2a 2， 这是所截的部分在 xy平面上投影区域的边界，它是个椭圆。记 { } 2 2 ( , ) ( ) 2 ( ) 2 2 D = − x y x xy + y + a x + y ≤ a ， 再令 x u v y u v ⎧ = + ⎨ ⎩ = − ，则区域D与区域 { } 2 2 2 D ' ( = + u v, ) (u 2a) + 3v ≤ 6a 对应，且 ( , ) 2 ( , ) x y u v ∂ = ∂ , 于是所截部分的面积为 2 2 ' 1 2 4 x y D D D 2 A = + z′ ′ + z dxdy = dxdy = dudv = 8 3π a ∫∫ ∫∫ ∫∫ 。 （3）这部分球面在 xy平面上的投影区域为 2 2 2 ( , ) 2 a D x y x y ⎧ ⎫ = ⎨ + ≤ ⎬ ⎩ ⎭ ， 于是 ∫∫ ∫∫ − − = + ′ + ′ = D D x y dxdy a x y a A z z dxdy 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 0 rdr (2 2) a a r a d a θ π π = − − = ∫ ∫ 。 （4）圆柱面方程可写成 2 2 y = a − x ，区域D z = {( , x) − ≤x z ≤ x,0 ≤ x ≤ a}， 于是 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 a x x z x D D a a A y y dzdx dzdx dx dz a a x a x − = + ′ ′ + = = = − − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 。 （5）方程( ) x y 2 2 + = 2 2a 2 xy 可化为极坐标方程r 2 = a 2 sin 2θ ，于是 ∫∫ ∫∫ + = + ′ + ′ = + D D x y dxdy a x y A z z dxdy 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ∫ ∫ ∫ = + = 2 + − 0 2 3 sin 2 0 2 2 2 0 [(sin cos ) 1] 3 2 2 π θ π dθ a r rdr a θ θ dθ a a 2 (20 3 ) 9 1 = − π a 。 （6）由 xφ ′ = −a sinφ cosϕ, yφ ′ = −a sinφ sinϕ,zφ ′ = a cosφ ， xϕ ′ = −(b + a cosφ)sinϕ, yϕ ′ = (b + a cosφ) cosϕ,zϕ ′ = 0， 可得 , ( cos ) , 0 2 2 E = a G = b + a φ F = ， 所以 A EG F d d d a b a d ab D 2 2 0 2 0 2 φ ϕ ϕ ( cosφ) φ 4π π π = − = + = ∫∫ ∫ ∫ 。 3

4.求下列第一类曲面积分 (1)(x+y+)s,其中∑是左半球面x2+y2+=2=a2,y≤0 (2)jx2+y2)ds,其中∑是区域(xy,)yx+y2s=sl的边界 (3)j+y=+2x),Σ是锥面=Vx2+y2被柱面x2+y2=2ax所 截部分 (4)∫ 其中∑是圆柱面x2+y2=a2介于平面z=0 与z=H之间的部分; dS,其中∑是球面x2+y2+z2=a (6)r+y2+s,其中∑是抛物面2=x2+y2介于平面==0与 z=8之间的部分; (7)ds,其中Σ是螺旋面x=cosy,y= using,=0≤a≤a, 0≤y≤2的一部分 解(1)由对称性, a +-)ds dS dex (2)设x1z=√x2+y2 y2≤1),则 +√2)ao! (3)(y+yz+)dS=ixy+(x+yvx'+y2N2drdy (sin A cos 8+ cos0+sin O)dracos 64 cos 0de 15 (4)设 a2-y2(0≤=≤H),则 dydz

4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x所 截部分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 介于平面 与 x y a 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； (5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ； (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 解（1）由对称性， ∫∫ Σ (x + y + z)dS dzdx a x z a ydS a x z zx zx ∫∫ ∫∫ Σ Σ − − = = − − − 2 2 2 2 2 2 3 = −πa 。 （2）设 : , : 1 ( 1) 2 2 2 2 2 Σ1 z = x + y Σ z = x + y ≤ ，则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ + = + + + 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y dS x y dS x y dS θ π π 2 1 2 (1 2) 1 0 3 2 0 + = + = ∫ ∫ d r dr 。 （3）∫∫ ∫∫ Σ Σ + + = + + + xy (xy yz zx)dS [xy (x y) x y ] 2dxdy 2 2 ∫ ∫ − = + + θ π π θ θ θ θ θ 2 cos 0 3 2 2 2 (sin cos cos sin ) a d r dr 4 2 2 4 5 2 15 64 = 4 2a cos d = a ∫ − π π θ θ 。 （4）设 : , : (0 ) 2 2 2 2 2 Σ1 x = a − y Σ x = − a − y ≤ z ≤ H ，则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ + + + + + = + + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 dS x y z dS x y z dS x y z ∫∫ Σ + − = yz dydz a y a a z 2 2 2 2 1 2 4

H adz dy= 2r arctan H (5)由对称性,有∫x24=ya=2,又由于 ∫(x2+y2+2)ds=lcs=4 所以 +2 「x2dS (6)由对称性,有』x△6=0,jy=2(x+y)S,再由 ∫z=2Jj/x2+y2),得到 ∫(x+y2+)4s=』x2+y2)+x+ y2dxdy 广ao,P可(,月 1564√17+4 (7)由x=cos,y=sinv,x=0,x=-sin,y=cos",x=1,得到 E=1,G=1 于是 vv1+u-dudv +u du =[a√1+a2+ln(a+√1+a2)]。 5.设球面Σ的半径为R,球心在球面x2+y2+x2=a2上。问当R何值 时,Σ在球面x2+y2+z2=a2内部的面积最大?并求该最大面积 解不妨设Σ的球心在(00a),于是Σ在球面x2+y2+2=a2内部的曲 面方程为 /R2 将此方程与球面方程x2+y2+2=a联立,解得:=2m-,这样,E 在球面x2+y2+2=a2内部的部分在Oxy平面上的投影为 D={(x,y)x2+y2sP、P 从而面积为 S(R)= dxdy ddl

a H dy a z a y adz a a H 2 arctan 1 2 0 2 2 2 2 = π + − = ∫ ∫− 。 （5）由对称性，有 ，又由于 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ x dS = y dS = z dS 2 2 2 2 2 2 2 4 (x + y + z )dS = a dS = 4πa ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 所以 2 4 2 2 2 9 13 12 13 2 3 4 dS x dS a x y z = = π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∫∫ ∫∫ Σ Σ 。 （6）由对称性，有∫∫ 3 = 0， Σ x dS 2 y dS Σ = ∫∫ 1 2 2 ( ) 2 x y dS Σ + ∫∫ ，再由 zdS Σ = ∫∫ 1 2 2 ( ) 2 x y dS Σ + ∫∫ ，得到 ( ) 3 2 2 2 2 2 ( ) 1 xy x y z dS x y x y dxd Σ Σ + + = + + + ∫∫ ∫∫ y 2 4 2 3 0 0 d r 1 r dr π θ ∫ ∫ = + 3 1 4 2 2 2 2 2 0 π (1 r r ) (1 ) d(1 r ) ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ ∫ 1564 17 4 15 π + = 。 （7）由 xu ′ = cos v, yu ′ = sin v,zu ′ = 0, xv ′ = −u sin v, yv ′ = u cos v,zv ′ = 1，得到 1, 1 , 0 2 E = G = + u F = 。 于是 ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ = + = + Σ a D zdS v u dudv vdv u du 0 2 2 0 2 1 1 π [ 1 ln( 1 )] 2 2 2 = π a + a + a + + a 。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2上。问当 R 何值 时，Σ 在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 内部的面积最大？并求该最大面积。 解 不妨设Σ 的球心在(0,0, a)，于是Σ 在球面 内部的曲 面方程为 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 2 z a = − R − ( ) x + y 。 将此方程与球面方程 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 联立，解得 a a R z 2 2 2 2 − = ，这样，Σ 在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 内部的部分在Oxy 平面上的投影为 4 2 2 2 2 ( , ) 4 R D x y x y R a ⎧ ⎫ = + ⎨ ⎬ ≤ − ⎩ ⎭ ， 从而面积为 ∫∫ ∫∫ − − = + ′ + ′ = D D x y dxdy R x y R S R z z dxdy 2 2 2 2 2 ( ) 1 5