例13-1求以下函数的象函数。 (1)指数函数 Lle]=hete-stdi (s- 0 s-a (2)单位阶跃函数 L[e(t=&(te sdt=esdt=--e S 0 S 当a=0时e"(t)=E(t) (3)单位冲激函数 LS(I=8(t)e stdt= S(t)e sdt=
(2)单位阶跃函数 (1)指数函数 s a e s a L e e e dt a t a t s t s a t − = − = = − − − − − 1 0 1 [ ] ( ) 0 s e s L t t e dt e dt s t s t s t 1 0 1 [ ( )] ( ) 0 0 = = = = − − − − − − + a 0 e (t) (t) at = = 当 时 − (3)单位冲激函数 [ ( )] ( ) ( ) 1 0 0 0 0 = = = + − − − − L t t e dt t e dt s t s 例13-1 求以下函数的象函数
§13-2拉普拉斯变换的基本性质 线性 若Lf(=F(S),L()=F2(S) R Laf(t)+bf2(0=aF(S)+bF2(S) 证g()+b2()er afi(te dt +obf2(t)e"stdt =aF(s)+bF,(S)
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t = F1 S L f2 t = F2 S ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 0 2 0 1 0 1 2 aF S bF S af t e dt bf t e dt af t bf t e dt s t s t s t = + = + + − − − 证 ： [ ( ) ( )] 1 2 则 L af t + bf t ( ) ( ) = aF1 S + bF2 S
例132若:)f()=sir) 2)f()=k(1-e 上述函数的定义域为0,∞,求其象函数。 解:) LIsin(a)=L(em-e) 2i S-jo S+jo S2+ 2LK(I-e=llKI-LKe k KKa sS+a s(s+a)
2 2 ] 1 1 [ 2 1 ( )] 2 1 1) [sin( )] [ + = + − − = = − − S j S j S j e e j L t L 解 ： j t j t 例13-2 若： 2) ( ) (1 ) 1) ( ) sin( ) at f t k e f t t − = − = 上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。 ( ) 2) [ (1 )] [ ] [ ] s s a Ka s a K s K L K e L K L Ke a t a t + = + = − − = − − −
二、导数性质 udy =uv- vdu 1.时域导数性质 u=es, dv=df(t) 设:Df(t)=F(S,则: df (t) =SF(S)-f(0) 证4("h=ne"y(o dt =e"/(o)0-e"f((-t =SF(S)-f(0)
二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ = − − SF S f dt df t L ( ) (0 ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − − − − − − = − − − = = − − − SF S f e f t e f t s dt e dt e df t dt df t s t s t 证 ： s t s t 设：L[ f (t)] = F(S), 则： u e ,dv df (t ) udv uv vdu st = = = − −
例13-3应用导数性质求下列函数的象函数: 1)∫(t)=c0s(n); 2)∫(t)=8(t) AF: 1Lcos(a)]=L-(sin(at ))1 2 2 2 2 s+0 2)于δ(t)=6(t),L(t) L()=LI,()=s--0=1
2 2 2 2 ( 0) 1 (sin( ))] 1 :1) [cos( )] [ + − = + = = s s s s t dt d 解 L t L 例13-3 应用导数性质求下列函数的象函数： 2) ( ) ( ). 1) ( ) cos( ); f t t f t t = = 0 1 1 [ ( )] [ ( )] 1 2) ( ) ( ), [ ( )] = = − = = = s t s dt d L t L s t L t dt d t 由 于