考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验

工程科学学报，第39卷，第11期：1718-1726,2017年11月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.11:1718-1726,November 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.11.015;http://journals..ustb.edu.cn 考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 张 巍2)区，王民”，孔德顺 1)北京工业大学机械工程与应用电子技术学院先进制造技术北京市重点实验室，北京100124 2)内蒙古科技大学工程训练中心，包头014010 ☒通信作者，E-mail:zhangwei2009035@163.com 摘要为了准确预测直线滚动导轨副的摩擦力大小及受影响因素，本文考虑导轨副的流体润滑状态，基于Hz接触理论 研究了直线导轨副摩擦力受滚珠接触角和预紧力的影响规律.基于接触理论建立了直线导轨滑块的受垂直载荷的静力学平 衡方程.利用Htz接触理论分析直线滚动导轨受外力时各列滚珠接触力的变化情况，并结合对临界载荷的分析，建立了随 外载荷变化的考虑润滑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力模型.以国产某型号直线滚动导轨副为研究对象，对所建立的受 载摩擦力模型进行试验验证.通过试验数据与理论数据的分析和对比，验证了润滑油膜阻力、接触角和预紧力等因素对直线 导轨副摩擦力的影响规律.研究表明，直线滚动导轨副摩擦力在润滑条件下，受接触角变化和预紧力退化的影响呈现有规律 的变化. 关键词直线滚动导轨副：赫兹接触：摩擦力：接触角：油膜阻力 分类号TH123+.1 Modeling and experimentation of the friction force of linear rolling guide pair consider- ing oil film resistance ZHANG Wei),WANG Min2),KONG De-shun2) 1)Advanced Manufacturing Technology of the Key Laboratory of Beijing Municipality,College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Tech- nology,Beijing University of Technology,Beijing 100124,China 2)Engineering Training Center,Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou 014010,China Corresponding author,E-mail:zhangwei2009035@163.com ABSTRACT For an accurate prediction of the friction experienced by the linear rolling guide and the factors affecting it,the fluid lubrication state of the rail was considered,and the effect of the friction of the linear guide on the ball contact angle and preload was studied based on the Hertz contact theory.Based on the Hertz contact theory,the static equations and the ball-raceway contact me- chanics equations of the linear rolling guide were established for vertical loading.Using the Hertz contact theory,changes in the ball contact force of the linear rolling guide were analyzed.Combining the analysis of the critical load and the oil film obstruction between the balls and the rail,a friction model was established for studying the effect of the external load.Experiments were carried out on a domestic model of the linear rolling guide to validate the developed friction model.Through the analysis and comparison of the experi- mental and theoretical data,the influence of the resistance of the lubricating oil film,the contact angle,and the preload on the friction of the linear guide were verified.The results show that the friction of the linear rolling guide,under the condition of lubrication,is af- fected by the contact angle and the preload force. KEY WORDS linear rolling guide;Hertz contact theory:friction:contact angle:oil film obstruction 收稿日期：2016-1209 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51505012,51575014)：国家科技重大专项资助项目(2012X0401002104):北京市自然科学基金资 助项目(3154029，KZ201410005010):中国博士后基金资助项目(2016M591033):北京市博士后研究基金资助项目(2015Z2-13):内蒙古科技 大学创新基金(2015XYPY101)

工程科学学报，第 39 卷，第 11 期: 1718--1726，2017 年 11 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 11: 1718--1726，November 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 11． 015; http: / /journals． ustb． edu． cn 考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 张 巍1，2) ，王 民2) ，孔德顺2) 1) 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124 2) 内蒙古科技大学工程训练中心，包头 014010  通信作者，E-mail: zhangwei2009035@ 163． com 摘 要 为了准确预测直线滚动导轨副的摩擦力大小及受影响因素，本文考虑导轨副的流体润滑状态，基于 Hertz 接触理论 研究了直线导轨副摩擦力受滚珠接触角和预紧力的影响规律． 基于接触理论建立了直线导轨滑块的受垂直载荷的静力学平 衡方程． 利用 Hertz 接触理论分析直线滚动导轨受外力时各列滚珠接触力的变化情况，并结合对临界载荷的分析，建立了随 外载荷变化的考虑润滑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力模型． 以国产某型号直线滚动导轨副为研究对象，对所建立的受 载摩擦力模型进行试验验证． 通过试验数据与理论数据的分析和对比，验证了润滑油膜阻力、接触角和预紧力等因素对直线 导轨副摩擦力的影响规律． 研究表明，直线滚动导轨副摩擦力在润滑条件下，受接触角变化和预紧力退化的影响呈现有规律 的变化． 关键词 直线滚动导轨副; 赫兹接触; 摩擦力; 接触角; 油膜阻力 分类号 TH123 + . 1 收稿日期: 2016--12--09 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51505012，51575014) ; 国家科技重大专项资助项目( 2012ZX04010--021--04) ; 北京市自然科学基金资 助项目( 3154029，KZ201410005010) ; 中国博士后基金资助项目( 2016M591033) ; 北京市博士后研究基金资助项目( 2015ZZ--13) ; 内蒙古科技 大学创新基金( 2015XYPYL01) Modeling and experimentation of the friction force of linear rolling guide pair consider￾ing oil film resistance ZHANG Wei1，2)  ，WANG Min2) ，KONG De-shun2) 1) Advanced Manufacturing Technology of the Key Laboratory of Beijing Municipality，College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Tech￾nology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China 2) Engineering Training Center，Inner Mongolia University of Science and Technology，Baotou 014010，China  Corresponding author，E-mail: zhangwei2009035@ 163． com ABSTＲACT For an accurate prediction of the friction experienced by the linear rolling guide and the factors affecting it，the fluid lubrication state of the rail was considered，and the effect of the friction of the linear guide on the ball contact angle and preload was studied based on the Hertz contact theory． Based on the Hertz contact theory，the static equations and the ball-raceway contact me￾chanics equations of the linear rolling guide were established for vertical loading． Using the Hertz contact theory，changes in the ball contact force of the linear rolling guide were analyzed． Combining the analysis of the critical load and the oil film obstruction between the balls and the rail，a friction model was established for studying the effect of the external load． Experiments were carried out on a domestic model of the linear rolling guide to validate the developed friction model． Through the analysis and comparison of the experi￾mental and theoretical data，the influence of the resistance of the lubricating oil film，the contact angle，and the preload on the friction of the linear guide were verified． The results show that the friction of the linear rolling guide，under the condition of lubrication，is af￾fected by the contact angle and the preload force． KEY WOＲDS linear rolling guide; Hertz contact theory; friction; contact angle; oil film obstruction

张巍等：考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 ·1719· 直线滚动导轨副是现代高精度数控机床主要的承 载荷以及磨损导致的预紧力退化对摩擦力的影响，对 载部件，其力学特性直接影响数控机床的加工精度和 摩擦力随磨损的退化的研究更少.直线导轨副磨损过 综合性能”.伴随着直线导轨副使用过程产生的磨损 程中，接触角的变化和预紧力的退化对临界载荷和摩 量的增加，直线导轨副的预紧力产生退化的同时摩擦 擦力均有不同程度的影响，在高精度机床研究中不能 力也产生相应的退化，导轨摩擦力的变化影响驱动器 忽视. 的输出扭矩和功率的变化，对电机控制的精度和电机 本文通过实践试验认为滚珠与滚道之间的润滑状 与导轨的动态性能匹配产生一定影响.摩擦力是直线 态为充分润滑状态，并考虑在充分润滑条件下直线滚 导轨副的极其重要的性能指标之一.因此，有必要对 动导轨副的磨损导致的接触角和预紧力的退化与直线 直线导轨副的摩擦力退化规律进行研究 导轨副摩擦力退化的关系.分别计算了外载荷变化下 对滚动直线导轨副摩擦力的研究，学者们做了很 的油膜厚度和油膜阻力.通过分析磨损不同里程下的 多工作.孙建利和张朝辉四分析了差动滑动和弹性滞 直线导轨副的摩擦力特性，揭示滚道磨损对摩擦力的 后等因素对承受预加载荷下的滚动直线导轨副摩擦力 影响规律 的影响，得出了过盈量与摩擦力的关系.为通过测定 摩擦力来确定过盈量提供了理论依据.周晶晶等四针 1直线滚动导轨副接触与变形 对两种型号的滚动直线导轨副进行不同速度条件下的 1.1滑块静力平衡方程的建立 摩擦力测试，试验结果表明：随着速度的增加，导轨副 本文研究的直线滚动导轨副为四列对称结构滚珠 摩擦力有先减小后增大的趋势.耿宝龙田得出单个滚 型导轨，设滑块与导轨之间的上、下列滚珠初始接触角 动体摩擦力求解的一般公式，并推广到滚柱直线导轨 均为，以滑块对称中心为原点建立坐标系O。,如图1 副中，计算了滚柱直线导轨副分别在正压载荷P、滚柱 所示.其中，x轴方向为滑块的滑动运行方向.设L, 受滑块侧扭转载荷M及滚柱受导轨侧扭转载荷M、作 和L.分别为水平方向和垂直方向两列滚珠中心的间 用下，导轨副有预紧力和无预紧力时滚柱直线导轨副 距.设每列滚道中同时承载滚珠数为，滑块单列滚珠 的摩擦特性.高永坤因分析承载区滚珠的复杂运动状 所受的接触力分别为Q,(i=1,2,3,4).图2所示为 态，推导滚珠旋滚比的计算公式.分析承载区摩擦阻 滑块受垂直外载荷时，各列滚珠的受力与变形的协调 力产生的机理，分别推导各类摩擦阻力的计算公式. 关系图.设导轨上、下列滚珠在垂直方向的变形分别 滚动摩擦过程中常见的微观滑动-)形式有：滚动中 为Z,、Z。:设各列滚珠彼此之间没有摩擦力作用：相邻 的微滑、雷诺滑动以及汉斯柯特(Heathcote)滑动.其 两个滚珠中心之间的距离略大于滚珠直径；F,表示滑 中前两种形式主要体现于自由滚动形式中，而汉斯柯 块所受来自工作台的垂直作用力：D,为滚珠直径.考 特滑动则适用于滚动体在具有几何形状的沟槽内 虑每列滚珠的承载力，对滑块进行静力学分析并建立 滚动 其力学平衡方程如式(1). Heathcote阅认为硬球在高密合度的沟道滚动时， 球与滚道之间在接触面内的两条窄带上不发生滑移. Zu=%+ 2 6.sin a, (1) 最终推导出在这种条件下的滚动摩擦计算公式， 1 ZD=δ- Heathcote分析的滑动与滚动体-滚道变形产生的滑动 28.sin a. 很相似，但是，在Heathcote分析中没有考虑表面变形 的能力，而是考虑了不同伸长引起的表面速度差的 影响。 另外，蠕滑理论逐渐被用来研究滚动接触的摩擦 0 力问题.微观蠕滑现象和滚动摩擦力有一定的关系. 山下隼平等回利用蠕滑力模型讨论了滚动轮轨之间的 摩擦力的控制问题.陈勇将和汤文成@利用蠕滑理 论求得丝杠副滚珠与螺母滚道接触界面间的摩擦力并 推导出摩擦力矩模型，进而分析接触界面的蠕滑率与 Q 摩擦力之间的定量关系和滑动速度和摩擦力的分布 得出蠕滑率与摩擦力之间存在非线性的渐变关系的 结论. 大多数研究都对直线导轨副的摩擦力与速度和外 图1直线滚动导轨副结构及滑块受力分析 载荷与滚道参数的关系进行了讨论，但很少研究临界 Fig.I Linear rolling guide structure and force analysis

张 巍等: 考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 直线滚动导轨副是现代高精度数控机床主要的承 载部件，其力学特性直接影响数控机床的加工精度和 综合性能［1］． 伴随着直线导轨副使用过程产生的磨损 量的增加，直线导轨副的预紧力产生退化的同时摩擦 力也产生相应的退化，导轨摩擦力的变化影响驱动器 的输出扭矩和功率的变化，对电机控制的精度和电机 与导轨的动态性能匹配产生一定影响． 摩擦力是直线 导轨副的极其重要的性能指标之一． 因此，有必要对 直线导轨副的摩擦力退化规律进行研究． 对滚动直线导轨副摩擦力的研究，学者们做了很 多工作． 孙建利和张朝辉［2］分析了差动滑动和弹性滞 后等因素对承受预加载荷下的滚动直线导轨副摩擦力 的影响，得出了过盈量与摩擦力的关系． 为通过测定 摩擦力来确定过盈量提供了理论依据． 周晶晶等［3］针 对两种型号的滚动直线导轨副进行不同速度条件下的 摩擦力测试，试验结果表明: 随着速度的增加，导轨副 摩擦力有先减小后增大的趋势． 耿宝龙［4］得出单个滚 动体摩擦力求解的一般公式，并推广到滚柱直线导轨 副中，计算了滚柱直线导轨副分别在正压载荷 P、滚柱 受滑块侧扭转载荷 MT及滚柱受导轨侧扭转载荷 MN作 用下，导轨副有预紧力和无预紧力时滚柱直线导轨副 的摩擦特性． 高永坤［5］分析承载区滚珠的复杂运动状 态，推导滚珠旋滚比的计算公式． 分析承载区摩擦阻 力产生的机理，分别推导各类摩擦阻力的计算公式． 滚动摩擦过程中常见的微观滑动［6--7］形式有: 滚动中 的微滑、雷诺滑动以及汉斯柯特( Heathcote) 滑动． 其 中前两种形式主要体现于自由滚动形式中，而汉斯柯 特滑动则适用于滚动体在具有几何形状的沟槽内 滚动． Heathcote［8］认为硬球在高密合度的沟道滚动时， 球与滚道之间在接触面内的两条窄带上不发生滑移． 最终推 导 出 在 这 种 条件下的滚动摩擦计算公式， Heathcote 分析的滑动与滚动体--滚道变形产生的滑动 很相似，但是，在 Heathcote 分析中没有考虑表面变形 的能力，而是考虑了不同伸长引起的表面速度差的 影响． 另外，蠕滑理论逐渐被用来研究滚动接触的摩擦 力问题． 微观蠕滑现象和滚动摩擦力有一定的关系． 山下隼平等［9］利用蠕滑力模型讨论了滚动轮轨之间的 摩擦力的控制问题． 陈勇将和汤文成［10］利用蠕滑理 论求得丝杠副滚珠与螺母滚道接触界面间的摩檫力并 推导出摩擦力矩模型，进而分析接触界面的蠕滑率与 摩擦力之间的定量关系和滑动速度和摩擦力的分布． 得出蠕滑率与摩擦力之间存在非线性的渐变关系的 结论． 大多数研究都对直线导轨副的摩擦力与速度和外 载荷与滚道参数的关系进行了讨论，但很少研究临界 载荷以及磨损导致的预紧力退化对摩擦力的影响，对 摩擦力随磨损的退化的研究更少． 直线导轨副磨损过 程中，接触角的变化和预紧力的退化对临界载荷和摩 擦力均有不同程度的影响，在高精度机床研究中不能 忽视． 本文通过实践试验认为滚珠与滚道之间的润滑状 态为充分润滑状态，并考虑在充分润滑条件下直线滚 动导轨副的磨损导致的接触角和预紧力的退化与直线 导轨副摩擦力退化的关系． 分别计算了外载荷变化下 的油膜厚度和油膜阻力． 通过分析磨损不同里程下的 直线导轨副的摩擦力特性，揭示滚道磨损对摩擦力的 影响规律． 1 直线滚动导轨副接触与变形 图 1 直线滚动导轨副结构及滑块受力分析 Fig． 1 Linear rolling guide structure and force analysis 1. 1 滑块静力平衡方程的建立 本文研究的直线滚动导轨副为四列对称结构滚珠 型导轨，设滑块与导轨之间的上、下列滚珠初始接触角 均为 α，以滑块对称中心为原点建立坐标系 O0，如图 1 所示． 其中，x 轴方向为滑块的滑动运行方向． 设 Ly 和 Lz分别为水平方向和垂直方向两列滚珠中心的间 距． 设每列滚道中同时承载滚珠数为 n，滑块单列滚珠 所受的接触力分别为 Qi ( i = 1，2，3，4) ． 图 2 所示为 滑块受垂直外载荷时，各列滚珠的受力与变形的协调 关系图． 设导轨上、下列滚珠在垂直方向的变形分别 为 ZU、ZD ; 设各列滚珠彼此之间没有摩擦力作用; 相邻 两个滚珠中心之间的距离略大于滚珠直径; Fz表示滑 块所受来自工作台的垂直作用力; Db为滚珠直径． 考 虑每列滚珠的承载力，对滑块进行静力学分析并建立 其力学平衡方程如式( 1) ． ZU = δ0 + 1 2 δvsin α， ZD = δ0 － 1 2 δv { sin α． ( 1) · 9171 ·

·1720· 工程科学学报，第39卷，第11期 滑块 导轨 图2滑块上下列受力变形协调分析 Fig.2 Coordinate analysis of the deformation between the upper and lower rows of balls (⊙+6)2 为了消除滚珠与滚道之间的间隙并提高导轨的接 图3滚珠与滚道赫兹接触斑区域图 触刚度，一般会通过增大滚珠直径的方法提高滚动导 Fig.3 Hertz contact area between ball and rail 轨的接触刚度，使滚珠与滚道之间产生反向微小变形， 这样直线导轨副滑块和导轨就受到一个接触力的作 0sB=月-A B+A (6) 用，这个力即为初始预紧力.设单列滚珠的初始接触 变形为6。，滚珠受滚道接触力变形为6，预紧力为Q。, a+B=o+p+pi+p), 根据赫兹接触理论有公式(2)成立： B-A=z【pi-p)2+p-p)2+（) 1 d=K。Q (2) 其中，K为滚珠与滚道接触的刚度系数. 2(pu-Pr2)(pa-x)cos 2y] 对滑块进行力学平衡分析并建立受力一变形协调 其中p1pz为滚珠的两个正交曲率值PPz为滚道 方程，见式(3)： 的两个正交曲率值.式(4)、(5)中，a和b分别为椭圆 [E.+22Q,·sina=2∑ 接触斑的长半轴和短半轴；E表示滚珠和滚道材料的 综合弹性模量；m。、m是和椭圆主曲率函数相关的系 2∑0·cos&=2∑Qy·cosa, 数，式(6)中的0为一个跟角度有关的参数，式(7)中 (3) 的y为滚珠瞬时滚动方向与切向力的夹角.依据主曲 61=62=Zu, 率函数和主曲率之和的值，查表可以得到m.和m,的 δ4=83=Zn 值.y可取0°或90°.Q,为第i列第j个滚珠所受到接 其中，6，d266分别表示每列滚珠的受力变形，Qy、 触力 QQQ分别表示每列第j个滚珠受到的垂直于滚 设赫兹接触刚度系数为K。,见公式(8)： 珠与滚道接触面的法向接触力 1.2滚珠一滚道接触力学模型 k)]” (8) 本文认为直线导轨副的滚珠与滚道之间的受力变 则直线导轨副中第i列、第j个滚珠受载变形量δ 形均在弹性变形范围内，滚珠在滚道中与两侧滚道的 与外载荷Q的关系为： 接触变形均由滚珠承担，滚道在受力过程中不变形. (9) 在单个滚珠的中心建立坐标系O,如图3所示，为直 6k. 线导轨副上列中单个滚珠与导轨滚道及滑块滚道的赫 ∑p为滚珠与滚道的曲率和函数.计算式为： 兹接触状态图. ∑p=Pu+Pu+p+pa·K为与曲率有关的系数；μ 根据Hertz接触理论可知，直线导轨副的滚珠与 为与接触斑椭圆偏心率有关的系数，可查表得到：，和 滚道的接触区域为一个狭长曲面椭圆。滚珠与滚道的 y,为滚珠和滚道材料的泊松比：E,和E,分别是滚珠和 接触椭圆长半轴和短半轴的计算公式分别为： 滑块滚道材料的弹性模量. 3Qg— 1.3上、下两列滚珠受载荷计算 a=m.2E(A+B) (4) 设直线滚动导轨副中四列滚珠所受接触力的总和 为Q,某一列滚珠产生的总体变形为6，并由公式(10) b=m,【2E(A+B]' (5) 计算：

工程科学学报，第 39 卷，第 11 期 图 2 滑块上/下列受力变形协调分析 Fig． 2 Coordinate analysis of the deformation between the upper and lower rows of balls 为了消除滚珠与滚道之间的间隙并提高导轨的接 触刚度，一般会通过增大滚珠直径的方法提高滚动导 轨的接触刚度，使滚珠与滚道之间产生反向微小变形， 这样直线导轨副滑块和导轨就受到一个接触力的作 用，这个力即为初始预紧力． 设单列滚珠的初始接触 变形为 δ0，滚珠受滚道接触力变形为 δv，预紧力为 Q0， 根据赫兹接触理论有公式( 2) 成立: δ0 = Ka ·Q2 /3 0 ． ( 2) 其中，Ka为滚珠与滚道接触的刚度系数． 对滑块进行力学平衡分析并建立受力--变形协调 方程，见式( 3) : Fz + 2∑ n j = 1 Q4j ·sin α = 2∑ n j = 1 Q1j ·sin α， 2∑ n j = 1 Q2j ·cos α = 2∑ n j = 1 Q1j ·cos α， δ1 = δ2 = ZU， δ4 = δ3 = ZD        ． ( 3) 其中，δ1、δ2、δ3、δ4分别表示每列滚珠的受力变形，Q1j 、 Q2j 、Q3j 、Q4j分别表示每列第 j 个滚珠受到的垂直于滚 珠与滚道接触面的法向接触力． 1. 2 滚珠--滚道接触力学模型 本文认为直线导轨副的滚珠与滚道之间的受力变 形均在弹性变形范围内，滚珠在滚道中与两侧滚道的 接触变形均由滚珠承担，滚道在受力过程中不变形． 在单个滚珠的中心建立坐标系 Ob，如图 3 所示，为直 线导轨副上列中单个滚珠与导轨滚道及滑块滚道的赫 兹接触状态图． 根据 Hertz 接触理论可知，直线导轨副的滚珠与 滚道的接触区域为一个狭长曲面椭圆． 滚珠与滚道的 接触椭圆长半轴和短半轴的计算公式分别为［11］: a = ma [ 3Qij 2E'( A + B ] ) 1 3 ， ( 4) b = mb [ 3Qij 2E'( A + B ] ) 1 3 ， ( 5) 图 3 滚珠与滚道赫兹接触斑区域图 Fig． 3 Hertz contact area between ball and rail cos θ = B － A B + A ， ( 6) A + B = 1 2 ( ρ － 1 11 + ρ － 1 12 + ρ － 1 21 + ρ － 1 22 ) ， B － A = 1 2 ［( ρ － 1 11 － ρ － 1 12 ) 2 + ( ρ － 1 21 － ρ － 1 22 ) 2 + 2( ρ － 1 11 － ρ － 1 12 ) ( ρ － 1 21 － ρ － 1 22 ) cos 2γ］1 /2        ． ( 7) 其中: ρ11、ρ12为滚珠的两个正交曲率值; ρ21、ρ22 为滚道 的两个正交曲率值． 式( 4) 、( 5) 中，a 和 b 分别为椭圆 接触斑的长半轴和短半轴; E'表示滚珠和滚道材料的 综合弹性模量; ma、mb是和椭圆主曲率函数相关的系 数，式( 6) 中的 θ 为一个跟角度有关的参数，式( 7) 中 的 γ 为滚珠瞬时滚动方向与切向力的夹角． 依据主曲 率函数和主曲率之和的值，查表可以得到 ma和 mb的 值． γ 可取 0°或 90°． Qij为第 i 列第 j 个滚珠所受到接 触力． 设赫兹接触刚度系数为 Ka，见公式( 8) : Ka = 3K π [ ( μ 1 － ν 2 1 E1 + 1 － ν 2 2 E ) 2 2 ·∑ρ ] 3 1 /3 ． ( 8) 则直线导轨副中第 i 列、第 j 个滚珠受载变形量 δij 与外载荷 Qij的关系为: δij = Ka ·Q 2 3 ij ． ( 9) ∑ ρ 为滚珠与滚道的曲率和函数． 计算式为: ∑ ρ = ρ11 + ρ12 + ρ21 + ρ22 ． K 为与曲率有关的系数; μ 为与接触斑椭圆偏心率有关的系数，可查表得到; ν1和 ν2为滚珠和滚道材料的泊松比; E1和 E2分别是滚珠和 滑块滚道材料的弹性模量． 1. 3 上、下两列滚珠受载荷计算 设直线滚动导轨副中四列滚珠所受接触力的总和 为 Q，某一列滚珠产生的总体变形为 δi，并由公式( 10) 计算: · 0271 ·

张巍等：考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 ·1721· Q=三Q=三Q,=三k8 (10) 的油膜阻力的作用.设滚珠运行中受到的摩擦力为 人，充分润滑条件下滚珠受到的油膜阻力为。·单个滚 将式(9)代入式(10)可得式(11)： 珠在滑块运行方向的受力分析，如图4所示. (11) 滑块移动方向 设直线导轨副受垂直外载荷F.作用，利用方程组 滑块 (1)可求得滚珠的弹性变形量，进而求得四列滚珠的 受力. 进一步，设滚珠与滑块滚道，滚珠与导轨滚道之间 的滚动摩擦系数均为，则直线滚动导轨总的摩擦力 (即滑块受摩擦力)∫可以表示为： f=uQ. (12) 2直线滚动导轨临界载荷与受载变形 当直线滚动导轨副只受垂直外载荷时，随着垂直 77777777777 777777777 导轨 外载荷的增加，上列滚珠受力加大，而下列滚珠受力减 小，当外力达到一定值时，下列滚珠与滚道脱开，这时 图4滑块滑动方向的滚珠受力分析 的垂直外力被称为垂直临界载荷。设滑块受外力时， Fig.4 Force analysis of ball in moving direction 滚珠始终处于受压状态，根据预紧力产生变形与外力 分析可知，滑块在直线滑动运动中，滚珠受到的阻 变形协调关系，设上单列滚珠法向变形为6，下单列 力包括滚珠与滑块滚道和导轨滚道之间的摩擦力以及 滚珠法向变形为δ则有下列等式成立： 滚珠受润滑油阻碍的油膜阻力.因此，滑块所受总的 (6-d)sina=(8。-6n)sina=Z.-Z。(13) 阻力为： 结合式(9)得到： Fs=人+f (17) 3.2油膜阻力分析 K月-2k0后=-K三0哼.14) 设直线滚动导轨副滚道与滚珠之间的油膜润滑符 合充分润滑条件，油膜润滑公式可由式(18)计算四： 联合式(14)和(3)，消去上列滚珠受力可得： f=2.86E"R2ka ss Ua Coo2 wa7 (18) [(a+宫j-20-宫店 (19) (15) 0=v (20) 分析式(15)可知，随着外载荷的增加，滚珠接触 ER。 角减小，下列滚珠受力逐渐减小，直到下列滚珠受力为 G=a E". (21) 零，全部外载荷均由上列滚珠承担.令上式Q=0,可 (22) 求得垂直临界载荷F为： W-ER 其中：R。为滚珠的综合曲率，对于直线导轨副的滚珠与 F。=4W2 Qosinc. (16) 通过分析可知，下列滚珠脱开时的垂直临界载 滚道接触，有R,=p1,R=P2为油膜环境黏度，本 荷同时也导致直线导轨摩擦力的变化，当外力增加 文取no=0.021Pasv为滚珠和滚道材料的泊松比； 到临界载荷以上时，由于只有上列滚珠承受外力产 a,为油膜黏压系数，本文取a。=1×10-8m2N:E 生摩擦力.因此，导轨副摩擦力在该临界载荷下将产 为滚珠与滚道材料的综合弹性模量，其计算公式为式 (23): 生拐点.后面小节将详细分析摩擦力拐点及其影响 因素. (23) 3润滑油油膜阻力分析 4仿真计算与分析 3.1滑块运动方向滚珠受力分析 4.1滚珠接触参数计算 直线滚动导轨副的滑块沿x轴正方向运动时，在 本文选用型号为LG20的直线滚珠导轨副作为分 滚动过程中滚珠同时受到轨道的滚动摩擦力和润滑油 析对象，其主要参数如表1所示

张 巍等: 考虑油膜阻力的直线滚动导轨副摩擦力建模与试验 Q = ∑ 4 i = 1 Qi = ∑ 4 i = 1 ∑ n j = 1 Qij = ∑ 4 i = 1 nKa δi ． ( 10) 将式( 9) 代入式( 10) 可得式( 11) : Q = ∑ 4 i = 1 ∑ n j = ( 1 δij K ) a 3 /2 ． ( 11) 设直线导轨副受垂直外载荷 Fz作用，利用方程组 ( 1) 可求得滚珠的弹性变形量，进而求得四列滚珠的 受力． 进一步，设滚珠与滑块滚道，滚珠与导轨滚道之间 的滚动摩擦系数均为 μ，则直线滚动导轨总的摩擦力 ( 即滑块受摩擦力) f 可以表示为: f = μQ． ( 12) 2 直线滚动导轨临界载荷与受载变形 当直线滚动导轨副只受垂直外载荷时，随着垂直 外载荷的增加，上列滚珠受力加大，而下列滚珠受力减 小，当外力达到一定值时，下列滚珠与滚道脱开，这时 的垂直外力被称为垂直临界载荷． 设滑块受外力时， 滚珠始终处于受压状态，根据预紧力产生变形与外力 变形协调关系，设上单列滚珠法向变形为 δU，下单列 滚珠法向变形为 δD则有下列等式成立: ( δU － δ0 ) sinα = ( δ0 － δD ) sinα = ZU － ZD ． ( 13) 结合式( 9) 得到: Ka ·∑ n j = 1 Q 2 3 1j － 2Ka ·Q 2 3 0 = － Ka ·∑ n j = 1 Q 2 3 4j ． ( 14) 联合式( 14) 和( 3) ，消去上列滚珠受力可得 [ ( : Fz 2·sin ) α + ∑ n j = 1 Q4j ] 2 3 － 2Q 2 3 0 = － ∑ n j = 1 Q 2 3 4j ． ( 15) 分析式( 15) 可知，随着外载荷的增加，滚珠接触 角减小，下列滚珠受力逐渐减小，直到下列滚珠受力为 零，全部外载荷均由上列滚珠承担． 令上式 Q4j = 0，可 求得垂直临界载荷 Fc为: Fc = 4 2槡Q0 sinα． ( 16) 通过分析可知，下列滚珠脱开时的 垂 直 临 界 载 荷同时也导致直线导轨摩擦力的变化，当外力增加 到临界载荷以上时，由于只有上列滚珠承受外力产 生摩擦力． 因此，导轨副摩擦力在该临界载荷下将产 生拐点． 后面小节将详细分析摩擦力拐点及其影响 因素． 3 润滑油油膜阻力分析 3. 1 滑块运动方向滚珠受力分析 直线滚动导轨副的滑块沿 x 轴正方向运动时，在 滚动过程中滚珠同时受到轨道的滚动摩擦力和润滑油 的油膜阻力的作用． 设滚珠运行中受到的摩擦力为 fb，充分润滑条件下滚珠受到的油膜阻力为 frs． 单个滚 珠在滑块运行方向的受力分析，如图 4 所示． 图 4 滑块滑动方向的滚珠受力分析 Fig． 4 Force analysis of ball in moving direction 分析可知，滑块在直线滑动运动中，滚珠受到的阻 力包括滚珠与滑块滚道和导轨滚道之间的摩擦力以及 滚珠受润滑油阻碍的油膜阻力． 因此，滑块所受总的 阻力为: FS = fb + frs． ( 17) 3. 2 油膜阻力分析 设直线滚动导轨副滚道与滚珠之间的油膜润滑符 合充分润滑条件，油膜润滑公式可由式( 18) 计算［12］: frs = 2. 86E* Ｒ2 o k 0. 348U0. 66G0. 022W0. 47 ． ( 18) Ｒo ( = 1 Ｒ1 + 1 Ｒ ) 2 － 1 ． ( 19) U = η0 ν E* Ｒo ． ( 20) G = αpE* ． ( 21) W = Fz E* Ｒ2 o ． ( 22) 其中: Ｒo为滚珠的综合曲率，对于直线导轨副的滚珠与 滚道接触，有 Ｒ1 = ρ11，Ｒ2 = ρ12 ; η0为油膜环境黏度，本 文取 η0 = 0. 021 Pa·s; ν 为滚珠和滚道材料的泊松比; αp为油膜黏压系数，本文取 αp = 1 × 10 － 8 m2 ·N － 1 ; E* 为滚珠与滚道材料的综合弹性模量，其计算公式为式 ( 23) : E* ( = 1 － ν 2 1 E1 + 1 － ν 2 2 E ) 2 － 1 ． ( 23) 4 仿真计算与分析 4. 1 滚珠接触参数计算 本文选用型号为 LG20 的直线滚珠导轨副作为分 析对象，其主要参数如表 1 所示． · 1271 ·

·1722· 工程科学学报，第39卷，第11期 表1LG20直线滚动导轨副参数 900 Table 1 Parameters of the linear rolling guide (LG20) 一B一·上单列滚珠垂直方向受力 800 一合一下单列滚珠垂直方向受力 滚珠半径， 初始接触角/ 每列滚珠 一+一滑块受摩擦力 () 曲率比，A 700 R/mm 个数 600 3.969 45 12 0.51 500 直线滚动导轨副在充分润滑条件下，滚珠弹性 系 400 模量E可取为2.08×105MPa,泊松比1=2=0.3， 300 入为滚珠与滚道的曲率比，滚珠与滚道的主曲率分 200 别为： 100 2 1 0+ Pu=Pu=DPa=-AD P=0. (24) -1006 0.51.01.52.02.53.03.54.0 ∑p=4h =0.5280mm. (25) 滚珠垂直变形量μm 入D 图6上、下列滚珠受力及滑块摩擦力与滚珠变形关系 主曲率函数为： Fig.6 Stress or fiction and deformation of the upper and lower rows 0(p)=!(Pn-pe)+(ps-pz)I 1 4A-1=09091 of balls ∑p 降到零.从图6中三角曲线可以看出，临界载荷值并 (26) 不等于下列滚珠的预紧力，而是要大于预紧力.其临 根据主曲率函数⊙(p)的值，查表a可得公式 界载荷的大小符合2.1节分析结果，上两列滚珠随着 (8)中的3K/u=0.9975.将以上各参数代入式(8) 垂直载荷的增加，滚珠与滚道的接触力在预紧力的基 中，可得刚度系数K。=7.73438×10.代入式(9)可得 础上开始逐渐增加. 单列滚珠接触力与弹性变形之间的关系曲线，如图5 4.3油膜阻力与外载荷关系仿真 所示. 由图7可知，油膜阻力的大小受外载荷和运动速 1000 度的影响，油膜阻力随外载荷或变形量的增加而非线 ◆一无初始预紧力，接触角45 900 性增加，同时直线导轨副的运行速度的增加也使得油 800 膜阻力增加 第 600 -◆一滑块运行速度3.33mm·8 8 -仓一滑块运行速度8.33mm·l 500 400 6 300 200 100 3 10 15 20 单滚珠法向变形m 图5无预紧力单列滚珠受载变形 Fig.5 Stress and deformation of a single ball under no preload 6 8 10 12 4.2各列滚珠接触力与摩擦力仿真 滚珠变形μm 本节对直线导轨副只受垂直外载荷的情况进行分 图7油膜阻力与滚珠变形的关系 析，设初始接触角为45°.利用前面1.1节分析得到的 Fig.7 Relationship between ball deformation and oil film resistance 方程组(3)，用MATLAB软件对解析式进行求解计算 4.4预紧力对摩擦力影响仿真 仿真，得到直线导轨副只受垂直外载荷情况下，上单列 当垂直外载荷超过垂直临界载荷后，导轨副下列 滚珠受力、下单列滚珠受力、滑块受摩擦力与滚珠变形 滚珠受接触力减小为零.此时，只有上列滚珠受接触 的关系，如图6所示 力.因此，滑块摩擦力只由上列滚珠滚动产生.垂直 分析图6可知，随着外载荷的增加，滚珠的变形量 加载的临界载荷造成滑块摩擦力在该载荷前后产生突 也随之增加，直线导轨副的下两列滚珠所受接触力从 变（拐点）.取滚珠与导轨间的摩擦系数为0.03，如图 初始预紧力开始逐渐减小，在外载荷到达临界载荷时 8所示

工程科学学报，第 39 卷，第 11 期 表 1 LG20 直线滚动导轨副参数 Table 1 Parameters of the linear rolling guide( LG20) 滚珠半径， Ｒb /mm 初始接触角/ ( °) 每列滚珠 个数 曲率比，λ 3. 969 45 12 0. 51 直线滚动导轨副在充分润滑条件下，滚珠弹性 模量 E 可取为 2. 08 × 105 MPa，泊松比 ν1 = ν2 = 0. 3， λ 为滚珠与滚道的曲率比，滚珠与滚 道 的 主 曲 率 分 别为: ρ11 = ρ12 = 2 Db ρ21 = － 1 λDb ρ22 = 0． ( 24) ∑ ρ = 4λ － 1 λDb = 0. 5280 mm － 1 ． ( 25) 主曲率函数为: Θ( ρ) = | ( ρ11 － ρ12 ) + ( ρ21 － ρ22 ) | ∑ρ = 1 4λ － 1 = 0. 9091． ( 26) 根据主曲率函数 Θ( ρ) 的值，查表［10］ 可得公式 ( 8) 中的 3K /πμ = 0. 9975． 将以上各参数代入式( 8) 中，可得刚度系数 Ka = 7. 73438 × 105 ． 代入式( 9) 可得 单列滚珠接触力与弹性变形之间的关系曲线，如图 5 所示． 图 5 无预紧力单列滚珠受载变形 Fig． 5 Stress and deformation of a single ball under no preload 4. 2 各列滚珠接触力与摩擦力仿真 本节对直线导轨副只受垂直外载荷的情况进行分 析，设初始接触角为 45°． 利用前面 1. 1 节分析得到的 方程组( 3) ，用 MATLAB 软件对解析式进行求解计算 仿真，得到直线导轨副只受垂直外载荷情况下，上单列 滚珠受力、下单列滚珠受力、滑块受摩擦力与滚珠变形 的关系，如图 6 所示． 分析图 6 可知，随着外载荷的增加，滚珠的变形量 也随之增加，直线导轨副的下两列滚珠所受接触力从 初始预紧力开始逐渐减小，在外载荷到达临界载荷时 图 6 上、下列滚珠受力及滑块摩擦力与滚珠变形关系 Fig． 6 Stress or fiction and deformation of the upper and lower rows of balls 降到零． 从图 6 中三角曲线可以看出，临界载荷值并 不等于下列滚珠的预紧力，而是要大于预紧力． 其临 界载荷的大小符合 2. 1 节分析结果，上两列滚珠随着 垂直载荷的增加，滚珠与滚道的接触力在预紧力的基 础上开始逐渐增加． 4. 3 油膜阻力与外载荷关系仿真 由图 7 可知，油膜阻力的大小受外载荷和运动速 度的影响，油膜阻力随外载荷或变形量的增加而非线 性增加，同时直线导轨副的运行速度的增加也使得油 膜阻力增加． 图 7 油膜阻力与滚珠变形的关系 Fig． 7 Ｒelationship between ball deformation and oil film resistance 4. 4 预紧力对摩擦力影响仿真 当垂直外载荷超过垂直临界载荷后，导轨副下列 滚珠受接触力减小为零． 此时，只有上列滚珠受接触 力． 因此，滑块摩擦力只由上列滚珠滚动产生． 垂直 加载的临界载荷造成滑块摩擦力在该载荷前后产生突 变( 拐点) ． 取滚珠与导轨间的摩擦系数为 0. 03，如图 8 所示． · 2271 ·