极点位置 P P2 阶数N -0.7071±p.7071 3827±j.9239-0.9239±j0.3827 0.3090±j0.9511-0.8090±j0.5878-1.0000 2588±j0,96590.7071±.7071-0.9659xj,2588 0.2225±j.97490.6235士j,78180.9010±j.43391.000 0.1951j0,98080.555:j0.8315-0.835j.5556-0.9808±jp.1951 0.1736士10.98480.50j.860-0.7560士j,54280.9397±j.3420-1.0000 分母多项式B()=p+bx-1P-1+b=P2-2+…+bP+b 系数阶数 1.00001.4142 1.00002.61313.41422.613 1.00003.23615.23615.23613.2361 00003.86377.46419.14167,46413.8637 1.00004,4940 1.00005.1258 137121.846225.688421.864213.13715.1258 1.00005.758816.581731.163441.986441.986431.163416.58175.7588 母因式|B(p)=B:(P)B1(P)B()BP)B3(P) B(P) (p+1) 2 (p2+1.4142p+1) P2+p+1)(p+1) 4 (p2+0.7654P+1)(p2+1.8478p+1) (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(户+1) 6 (2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1) (p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1) (p2+0.3902p+1)(p2+1.111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1) (p2+0.3473p+1)(p2
(5)例题 例6.2.1已知通带截止频率fn=5k,通带最大衰减an=2dB,阻带截 止频率∫=12kH,阻带最小衰减a1=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低 通滤波器 解 Step1:确定阶数N。 Step2:确定传输函数H(p) Step3:将H2(p)去归一化 ●用 MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 Z, P, KIbuttap(N) -计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增 益因子。返回长度为N的列向量Z和P,分别给出N个零点和极点的位置,K 表示滤波器增益 [N, wc]=buttord( wp, ws, Rp, A 计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率。 IN, wc]=buttord(wp, ws, Rp, AS,S) 计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率 [B, A]=butter(N, wc, ftype) 计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B 和A。 [ B,A=butter(N, wc, ftype,s) 计算N阶巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B 和A
（5）例题 例 6.2.1 已知通带截止频率 5 p f kHz ，通带最大衰减 2 p a dB ， 阻带截 止频率 12 s f kHz ，阻带最小衰减 30 s a dB ，按照以上技术指标设计巴特沃斯低 通滤波器。 解： Step 1: 确定阶数 N。 Step 2: 确定传输函数 H p a 。 Step 3: 将 H p a 去归一化。 用 MATLAB 工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 [Z,P,K]=buttap(N) ——计算 N 阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增 益因子。返回长度为 N 的列向量 Z 和 P，分别给出 N 个零点和极点的位置，K 表示滤波器增益。 [N, wc]=buttord(wp,ws,Rp,As) ——计算巴特沃斯数字滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率。 [N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,’s’) ——计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率。 [B,A]=butter(N,wc,’ftype’) ——计算 N 阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量 B 和 A。 [B,A]=butter(N,wc,’ftype’,’s’) ——计算 N 阶巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量 B 和 A
3、切比雪夫滤波器的设计方法 ●切比雪夫滤波器设计原理 切比雪夫滤波器具有等波纹特性,有两种形式: ◇切比雪夫Ⅰ型:振幅特性在通带内是等效的、在阻带内是单调 ◇切比雪夫Ⅱ型:振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹 我们这里只介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法 (1)切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性 其幅度平方函数用A(92)表示 (9)=Hn()= 1+80 式中,ε为小于1的整数,表示通带内幅度波动的程度,E愈大,波动幅度也愈 大。9称为通带截止频率。令=,称为对9的归一化频率。C(x)称为N 阶切比雪夫多项式,定义为 CN(x) cos( Narcos x),≤1 Ich(N Archx),[(21 当N=0,1,时 C(x)=1 C(x=x CN+(x)=2xC\(x)-CN-I(x) (1.16 可得切比雪夫多项式曲线
3、切比雪夫滤波器的设计方法 切比雪夫滤波器设计原理 切比雪夫滤波器具有等波纹特性，有两种形式： 切比雪夫Ⅰ型：振幅特性在通带内是等效的、在阻带内是单调 切比雪夫Ⅱ型：振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹 我们这里只介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。 （1） 切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性 其幅度平方函数用 2 A 表示 2 2 1 2 2 1 p A H j a C N (1.15) 式中， 为小于 1 的整数，表示通带内幅度波动的程度， 愈大，波动幅度也愈 大。 p 称为通带截止频率。令 p ，称为对 p 的归一化频率。C x N 称为 N 阶切比雪夫多项式，定义为 cos arccos , 1 , 1 N N x x C x ch N Archx x 当 N=0，1，…时， C x 0 1 C x x 1 C x xC x C x N N N 1 1 2 (1.16) 可得切比雪夫多项式曲线
切比雪夫多项式曲线 特点是 (1)切比雪夫多项式的过零点在≤1的范围内 (2)当<1时,(Cx(x)≤1,在x<1范围内具有等波纹性; (3)当x>1时,C(x)是双曲线函数,随x单调上升。 所以,当冈≤1时,E2C(x)在0至E2之间波动,函数1+EC(x)的值在 与1+62之间波动。1+6C3(x)c的倒数即是幅度平方函数,那么4(2)在[0g] 上有波动,最大值为1,最小值为 当Ω>92时,A(9)随增大,很快 接近于零
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 归一化频率 Cn 切比雪夫多项式曲线 特点是： （1） 切比雪夫多项式的过零点在 x 1 的范围内； （2） 当 x 1 时， 1 C x N ，在 x 1 范围内具有等波纹性； （3） 当 x 1 时， C x N 是双曲线函数，随 x 单调上升。 所以，当 x 1 时， 2 2 C x N 在 0 至 2 之间波动，函数 2 2 1 C x N 的值在 1 与 2 1 之间波动。 2 2 1 C x N c 的倒数即是幅度平方函数。那么 2 A 在 0, p 上有波动，最大值为 1，最小值为 2 1 1 。当 p 时， 2 A 随 增大，很快 接近于零
060.8 归一化频率 切比雪夫I型的幅度平方函数曲线 AI,Go) A H,Gay N为奇数 N为偶数 2dB 图62.5切比雪夫Ⅰ型滤波器幅度特性 (2)切比雪夫滤波器幅度平方函数中各参数 根据(1.15)式,切比雪夫幅度平方函数与三个参数即E、9和N有关。其中E 与通带内允许的波动大小有关。若定义a为允许的通带波纹,则 a =101g A(9)m=101(+ A(92)=n 其中 (9)==1,A2(92) 则
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 归一化频率 幅度平方函数 切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函数曲线 图 6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅度特性 （2）切比雪夫滤波器幅度平方函数中各参数 根据(1.15)式，切比雪夫幅度平方函数与三个参数即 、 p 和 N 有关。其中 与通带内允许的波动大小有关。若定义 p 为允许的通带波纹，则 2 max 2 2 min 10lg 10lg 1 p A A (1.17) 其中， 2 2 max min 2 1 1, 1 A A 则