第一章静电场分析 25 (2)内球壳1的外表面与外球壳3的内表面上的电荷面密度 0和0。 分析电荷g在内球壳1和外球壳3上引起感应电荷，由于 球壳1,3接地，感应电荷只分布在内球壳1的外表面与外球壳3的 内表面上。由于球对称性，先利用高斯定律求出电场，再由球壳2， 1之间的电位差等于球壳2,3之间的电位差，即可求出电荷分布 解(1)由高斯定律，可得到球壳2与内球壳1间的电场 立如a=e号a<r<a) E(）=&4r76 球壳2与内球壳1间的电位分布 ()=E·d1=E·dr= 了r=(ana<r<a) 同理，球壳2与外球壳3间的电场与电位分布为 E(m=。4ia丰g(a<r<a) 4π7 (m=,·d1=∫Bdr= Andiot gdr= J,4π02 4rGo+9(a-)(a<r<&） 4π66r 由中()=()，有 a9(a.心)=4da+马气(a.e) 品正 4n&aa 由此得到 (&·a)g 0=·4ab(a-a） 故 am(B·4)g E(r）=-e4roa(as-a)f (a <r<a)
(2 ) 内球壳 1 的外表面与外球壳 3 的内表面上的电荷面密度 σ1 和σ3 。 分析 电荷 q 在内球壳 1 和外球壳 3 上引起感应电荷,由于 球壳 1 ,3 接地, 感应电荷只分布在内球壳 1 的外表面与外球壳 3 的 内表面上。由于球对称性, 先利用高斯定律求出电场, 再由球壳 2, 1 之间的电位差等于球壳 2, 3 之间的电位差,即可求出电荷分布。 解 (1 ) 由高斯定律,可得到球壳 2 与内球壳 1 间的电场 E1 ( r) = er 1 4πr 2 4πa 2 1σ1 ε0 = er a 2 1σ1 ε0 r 2 ( a1 < r < a2 ) 球壳 2 与内球壳 1 间的电位分布 φ1 ( r) =∫ a 1 r E1 ·d l =∫ a 1 r E1 ·d r = ∫ a 1 r a 2 1σ1 ε0 r 2 d r = a1σ1 ε0 r ( a1 - r) ( a1 < r < a2 ) 同理,球壳 2 与外球壳 3 间的电场与电位分布为 E2 ( r) = er 4πa 2 1σ1 + q 4πε0 r 2 ( a2 < r < a3 ) φ2 ( r) =∫ a 3 r E2 ·d I =∫ a 3 r E2 ·d r = ∫ a 3 r 4πa 2 1σ1 + q 4πε0 r 2 d r = 4πa 2 1σ1 + q 4πε0 a3 r ( a3 - r) ( a2 < r < a3 ) 由 φ1 ( a2 ) = φ2 ( a2 ) ,有 a1σ1 ε0 a2 ( a1 - a2 ) = 4πa 2 1σ1 + q 4πε0 a3 a2 ( a3 - a2 ) 由此得到 σ1 = - ( a3 - a2 ) q 4πa1 a2 ( a3 - a1 ) 故 E1 ( r) = - er a1 ( a3 - a2 ) q 4πε0 a2 ( a3 - a1 ) r 2 ( a1 < r < a2 ) 第一章 静电场分析 25
26 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 本(r）=- (&·)g 4πa(a-a)a月 (a r<a) a3-a）g 压()=e4πs(a-a)7 (a<r<a) (-ia(a (a<r<a) (2)q=n·E(r)|-a1=e·E(a)= (·4)g ·4rame(8-a) 0=n·B(r）|-4=-g·E()= (·4)g -4ras(&-a） 【评注】在此题中，由于球壳1接地，所以球壳2上的电荷在球壳1上引 起的感应电荷不等于0如果球壳1不接地，球壳2上的电荷能否在球壳1上 引起的感应电荷，请读者思考。 例113在无限大真空中，已知电位（月=4马，e“,求对 应的电场强度及电荷分布。 分析r=0处是(r)的奇异点，在该点应有一个点电荷。在 r≠0处，可由p=.è2中求得电荷体密度，而位于r=0处的点 电荷，则可应用高斯定律求得。 解(1)电场强度 == ,4「1+1 e4+e“ (2)电荷分布 在r≠0处，电荷体密度为 p=6è·E=8寸2自=
φ1 ( r) = - ( a3 - a2 ) q 4πε0 a2 ( a3 - a1 ) r ( a1 - r) ( a1 < r < a2 ) E2 ( r) = er a3 ( a2 - a1 ) q 4πε0 a2 ( a3 - a1 ) r 2 ( a2 < r < a3 ) φ2 ( r) = ( a2 - a1 ) q 4πε0 a2 ( a3 - a1 ) r ( a3 - r) ( a2 < r < a3 ) (2 ) σ1 = ε0 n· E1 ( r) | r = a 1 = ε0 er· E1 ( a1 ) = - ( a3 - a2 ) q 4πa1 a2 ( a3 - a1 ) σ3 = ε0 n· E2 ( r) | r= a 3 = - ε0 er · E2 ( a3 ) = - ( a2 - a1 ) q 4πa2 a3 ( a3 - a1 ) 【评注】 在此题中 ,由于球壳 1接地 ,所以球壳 2上的电荷在球壳1 上引 起的感应电荷不等于 0。如果球壳 1 不接地, 球壳 2 上的电荷能否在球壳 1 上 引起的感应电荷 , 请读者思考。 例 1 .13 在无限大真空中,已知电位φ( r) = q 4πε0 r e - r/ λ , 求对 应的电场强度及电荷分布。 分析 r = 0 处是φ( r) 的奇异点,在该点应有一个点电荷。在 r ≠ 0 处,可由ρ= - ε0 è 2φ求得电荷体密度,而位于 r = 0 处的点 电荷,则可应用高斯定律求得。 解 (1 ) 电场强度 E = - è φ = - er d d r q 4πε0 r e - r/ λ = er q 4πε0 1 r 2 + 1 λr e - r/ λ (2 ) 电荷分布 在 r ≠ 0 处,电荷体密度为 ρ= ε0 è · E = ε0 1 r 2 d d r ( r 2 E) = 26 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 27 片+小-品 为了确定r=0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯 定律可得到球面S内的总电荷Q为 0=时，EdS=4红®E=q1+大e 球面S内的总体电荷Q'为 g=∫，dr=-J,4n是，edr- 1+e.g 故r=0处的点电荷4为 g=2-0=g 【评注)在给定E或中分布时，可应用p=论·E或p=·绝2中求电 荷分布。但应注意：在E或中的奇异点处有点电荷，而在E的突变面上，可能 有面分布电荷。 例114一个半径为a、介电常数为e的均匀介质球内的极 化强度P=e,其中K为一常数。 (1)计算束缚电荷体密度和面密度 (2)计算自由电荷密度； (3)计算球内、外的电场和电位分布。 分析由于已知极化强度P,根据=-è·P和op=n·P, 即可求出极化电荷分布，再利用D=E+P和p=è·D求出自 由电荷体密度。 解(1)介质球内的束缚电荷体密度为 8P=.s 在r=a的球面上，束缚电荷面密度为
q 4π 1 r 2 d d r r 2 1 r 2 + 1 λr e - r/ λ = - q 4πλ2 r e - r/ λ 为了确定 r = 0 处的点电荷,作一个半径为 r的球面 S。由高斯 定律可得到球面 S 内的总电荷 Q 为 Q = ε∮0 S E·d S = 4πε0 r 2 E = q 1 + r λ e - r/ λ 球面 S 内的总体电荷 Q′为 Q′=∫V ρdV = -∫ r 0 q 4πλ 2 r e - r/ λ d r = q 1 + r λ e - r/ λ - q 故 r = 0 处的点电荷 q0 为 q0 = Q - Q′= q 【评注】 在给定 E 或φ分布时 ,可应用ρ= εè ·E 或ρ = - εè 2φ求电 荷分布。但应注意 :在 E 或φ的奇异点处有点电荷 , 而在 E 的突变面上 , 可能 有面分布电荷。 例 1 .14 一个半径为 a、介电常数为ε的均匀介质球内的极 化强度 P = er K r ,其中 K 为一常数。 (1 ) 计算束缚电荷体密度和面密度; (2 ) 计算自由电荷密度; (3 ) 计算球内、外的电场和电位分布。 分析 由于已知极化强度 P,根据ρp = - è ·P和σp = n·P, 即可求出极化电荷分布, 再利用 D = ε0 E + P和ρ= è ·D求出自 由电荷体密度。 解 (1 ) 介质球内的束缚电荷体密度为 ρp = - è · P = - 1 r 2 d d r r 2 · K r = - K r 2 在 r = a 的球面上, 束缚电荷面密度为 第一章 静电场分析 27
28 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 =nP1。=e·Pl-。= a (2)由于D=6E+P,所以 e·D=6e·E+e·P=è·D+仓·p 即 1.e·D=e·p 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 p=8·D=e68·p=e64= EK (e) 总的自由电荷量 9-小，av-K4dr- e-E (3)介质球内、外的电场强度分别为 K EeP。=6（e.6y(0o) eak B=e4π号7=e6(eg)F(r>0 介质球内、外的电位分别为 4=∫E·dl=∫Edr+∫dr= K eak ∫，e8)r+小.ae0)7dr Kh+。≤ 4=小dr-∫，)pr (e-6)r(r≥0) 【评出虽然介质是均匀的，但极化强度P不是常矢量，所以介质的极
σP = n·P | r = a = er · P | r = a = K a (2 ) 由于 D = ε0 E + P, 所以 è · D = ε0 è · E + è · P = ε0 ε è ·D + è · P 即 1 - ε0 ε è · D = è · P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ρ= è ·D = ε ε - ε0 è · P = - ε ε - ε0 ρp = εK (ε- ε0 ) r 2 总的自由电荷量 q =∫V ρdV = εK ε - ε∫0 a 0 1 r 2 4πr 2 d r = 4πεaK ε - ε0 (3 ) 介质球内、外的电场强度分别为 E1 = P ε - ε0 = er K (ε- ε0 ) r ( r < a) E2 = er q 4πε0 r 2 = er εaK ε0 (ε- ε0 ) r 2 ( r > a) 介质球内、外的电位分别为 φ1 =∫ ∞ r E·d l =∫ a r E1 d r +∫ ∞ a E2 d r = ∫ a r K (ε- ε0 ) r d r +∫ ∞ a εaK ε0 (ε- ε0 ) r 2 d r = K (ε- ε0 ) ln a r + εK ε0 (ε- ε0 ) ( r ≤ a) φ2 =∫ ∞ r E2 d r =∫ ∞ r εaK ε0 (ε- ε0 ) r 2 d r = εaK ε0 (ε- ε0 ) r ( r ≥ a) 【评注】 虽然介质是均匀的, 但极化强度 P 不是常矢量 , 所以介质的极 28 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 29 化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由 电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。 例1.15两种电介质的相对介电常数分别为e=2和2= 3,其分界面为：=0平面。如果已知介质1中的电场为 Ei =e2y-e3x+e(5+=) 那么对于介质2中的E和D,我们可得到什么结果能否求出介 质2中任意点的B和D? 分析根据静电场的边界条件，在两种电介质分界面上： 0处，有e×(E-E)=0,e·(D-D)=0,由此可求出介质 2中的E和D在z=0处的表达式。 解设在介质2中 E(x,y,)=6Ex(x,y,）+gE2,(x,y,)+eE2:(x,y,) D=82=36E 在z=0处，由e×(E-E)=0和e·(D-D)=0,可 得 e2y-e3x=e E2s(x,y,0)+eEz(x,y,0) (2X50=36E:(x,y,0) 于是得到 E.(x,y,0)=2y ,(x,y,0)=-3x E:(x,y,0)=10y3 故得到介质2中的E和D在：=0处的表达式分别为 E(x,y,0)=e2y-g3x+e(103) D(x,y,0)=(e6y-e9x+e10) 不能求出介质2中任意点的B和D。由于是非均匀场，介质 中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 【评注】边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况 下，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。因此，仅知道边界面
化是非均匀的。因此 , 介质体内可能有极化电荷 ,此即意味着介质体内有自由 电荷分布 , 但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。 例 1 .15 两种电介质的相对介电常数分别为εr1 = 2 和εr2 = 3, 其分界面为 z = 0 平面。如果已知介质 1 中的电场为 E1 = ex 2 y - ey 3 x + ez ( 5 + z) 那么对于介质 2 中的 E2 和 D2 ,我们可得到什么结果 ?能否求出介 质 2 中任意点的 E2 和 D2 ? 分析 根据静电场的边界条件, 在两种电介质分界面上 z = 0 处, 有 ez × ( E1 - E2 ) = 0, ez·( D1 - D2 ) = 0, 由此可求出介质 2 中的 E 和 D 在 z = 0 处的表达式。 解 设在介质 2 中 E2 ( x, y, z) = ex E2 x ( x , y , z) + ey E2 y ( x, y, z) + ez E2 z ( x, y, z) D2 = ε0εr2 E2 = 3ε0 E2 在 z = 0 处,由 ez × ( E1 - E2 ) = 0 和 ez ·( D1 - D2 ) = 0, 可 得 ex 2 y - ey 3 x = ex E2 x ( x, y, 0) + ey E2 y ( x, y, 0) 2 × 5ε0 = 3ε0 E2 z ( x , y ,0 ) 于是得到 E2 x ( x, y, 0) = 2 y E2 y ( x, y, 0) = - 3 x E2 z ( x, y, 0 ) = 10/ 3 故得到介质 2 中的 E2 和 D2 在 z = 0 处的表达式分别为 E2 ( x, y, 0) = ex 2 y - ey 3 x + ez (10/ 3) D2 ( x, y, 0) = ε0 ( ex 6 y - ey 9 x + ez 10) 不能求出介质 2 中任意点的 E2 和 D2 。由于是非均匀场,介质 中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 【评注】 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况 下 ,介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。因此 , 仅知道边界面 第一章 静电场分析 29