30 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 上的电场并不能完全确定介质中任意点的电场。如果介质中的电场是均匀 的，则边界面上的电场与介质中任意点的电场相同。 例1.16电介质透镜可以用来使 电场平直化。如图1一11所示的透镜的 左表面为圆柱面，右表面为平面。若区 域①中的点P(m,45°，z)处E=e5- e3,为了使区域③中的电场B平行于 x轴，透镜的相对介电常数应为多少？ 分析为了使E平行于x轴，则 2 电介质透镜中的电场五也一定平行于 图1-11 x轴。利用圆柱面上电场的边界条件，即 能求出透镜的相对介电常数。 解在点P处应有 B=·sim45=:2 所以得 E,=·E (1) 又根据边界条件，在点P处应有 E=E,Dr=Dr 即 E=E=-3,0E,=E,=56 (2) 由式(1)和式(2)，即得到电介质透镜的相对介电常数为 =子 【评注】巧妙地应用不同电介质分界面上E的切向分量连续和D的法 向分量连续的边界条件，往往可获得有意义的用途。 例117平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为
上的电场并不能完全确定介质中任意点的电场。如果介质中的电场是均匀 的 ,则边界面上的电场与介质中任意点的电场相同。 图 1 11 例 1 .16 电介质透镜可以用来使 电场平直化。如图 1 11 所示的透镜的 左表面为圆柱面, 右表面为平面。若区 域 ① 中的点 P( r0 , 45°, z) 处 E1 = er 5 - e 3,为了使区域 ③ 中的电场 E3 平行于 x 轴, 透镜的相对介电常数应为多少 ? 分析 为了使 E3 平行于 x 轴, 则 电介质透镜中的电场 E2 也一定平行于 x 轴。利用圆柱面上电场的边界条件, 即 能求出透镜的相对介电常数。 解 在点 P 处应有 E2 r = E2 cos45°= 2 2 E2 E2 = - E2 sin45°= - 2 2 E2 所以得 E2 r = - E2 ( 1) 又根据边界条件,在点 P 处应有 E1 = E2 , D1 r = D2 r 即 E2 = E1 = - 3, ε2 rε0 E2 r = ε0 E1 r = 5ε0 ( 2) 由式(1 ) 和式( 2) , 即得到电介质透镜的相对介电常数为 εr2 = 5 3 【评注】 巧妙地应用不同电介质分界面上 E 的切向分量连续和 D 的法 向分量连续的边界条件 ,往往可获得有意义的用途。 例 1 .17 平行板电容器的长、宽分别为 a 和 b, 极板间距离为 30 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 31 d.电容器的一半厚度(0~号) 用介电常数为ε的电介质填充 如图1-12所示。 (1)板上外加电压U6,求 板上的自由电荷面密度、束缚 电荷密度； 图1-12 (2)若已知板上的自由电 荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷密度； (3)求电容器的电容量。 分析极板间的电场垂直于介质分界面，根据静电场的边界 条件，应有D=D,再利用两极板间的电位差，即可求得两极板间 的电场。 解(1)设介质中的电场为E=eE,空气中的电场为= e.Eo。由D=D,有 EE=&Eo 又由于 由以上两式解得 20U6 E=~(e+0)d E=· (e+)d 故下极板的自由电荷面密度为 28 el O=eE=- (e+)d 上极板的自由电荷面密度为 26e6 0吐=-0E= (e+)d 电介质中的极化强度 P=(e.0)E=.e26e.6)5 (e+6)d
图 1 12 d。电容器的一半厚度 ( 0 ～ d 2 ) 用介电常数为ε的电介质填充, 如图 1 12 所示。 (1 ) 板上外加 电压 U0 , 求 板上的自 由电荷面密度、束缚 电荷密度; (2 ) 若已知板上的自由电 荷总量为 Q, 求此时极板间电压和束缚电荷密度; (3 ) 求电容器的电容量。 分析 极板间的电场垂直于介质分界面, 根据静电场的边界 条件,应有 D = D0 ,再利用两极板间的电位差, 即可求得两极板间 的电场。 解 ( 1) 设介质中的电场为 E = ez E, 空气中的电场为 E0 = ez E0 。由 D = D0 ,有 εE = ε0 E0 又由于 E d 2 + E0 d 2 = - U0 由以上两式解得 E = - 2ε0 U0 (ε+ ε0 ) d , E0 = - 2εU0 (ε+ ε0 ) d 故下极板的自由电荷面密度为 σ下 = εE = - 2ε0εU0 (ε+ ε0 ) d 上极板的自由电荷面密度为 σ上 = - ε0 E0 = 2ε0εU0 (ε+ ε0 ) d 电介质中的极化强度 P = (ε- ε0 ) E = - ez 2ε0 (ε- ε0 ) U0 (ε+ ε0 ) d 第一章 静电场分析 31
32 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 故下表面上的束缚电荷面密度为 4F=-g·p=2(e·6)5 (e+)d 上表面上的束缚电荷面密度为 4上=e·p=.2(e.6) (e+)d (2)由 0== 28EU ab (e+)d 得到 U=(e+)d0 2%Eab 4下=e-6)0 eab 94E-.e-6)0 eab (3)电容器的电容为 c=是-4a 【评注)求解此题的要点是应用电介质分界面上D的法向分量连续的 条件；另外，从此题的计算结果可以看出，恒电压状态与恒电荷状态对电介质 的极化效应是不同的。 例118厚度为1，介电常数为e=E。 4的无限大介质板，放置于均匀电场 00 E中，板与E成角0，如图1-13所示。 求： (1)使6=4的8值， (2)介质板两表面的极化电荷 密度。 分析当无限大介质板放入均匀 图1-13 电场中时，介质表面上有均匀分布的极
故下表面上的束缚电荷面密度为 σp下 = - ez · P = 2ε0 (ε- ε0 ) U0 (ε+ε0 ) d 上表面上的束缚电荷面密度为 σp上 = ez · P = - 2ε0 (ε- ε0 ) U0 (ε+ε0 ) d (2 ) 由 σ= Q ab = 2ε0εU (ε+ ε0 ) d 得到 U = (ε+ ε0 ) dQ 2ε0εab σp下 = (ε- ε0 ) Q εab σp上 = - (ε- ε0 ) Q εab (3 ) 电容器的电容为 C = Q U = 2ε0εab (ε+ε0 ) d 【评注】 求解此题的要点是应用电介质分界面上 D的法向分量连续的 条件; 另外 ,从此题的计算结果可以看出 ,恒电压状态与恒电荷状态对电介质 的极化效应是不同的。 图 1 13 例 1 .18 厚度为 t,介电常数为ε= 4ε0 的无限大介质板, 放置于均匀电场 E0 中, 板与 E0 成角θ1 ,如图 1 13 所示。 求: (1 ) 使θ2 = π/ 4 的θ1 值; (2 ) 介 质 板 两 表 面 的 极 化 电 荷 密度。 分析 当无限大介质板放入均匀 电场中时, 介质表面上有均匀分布的极 32 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 33 化电荷，极化电荷在介质内产生均匀电场，而在介质外产生的电场 为零，故介质外的电场不变，根据静电场的边界条件，即可求得目 以及介质板表面的极化电荷密度。 解(1)根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 tand =3 tan 由此得到 g-arctanan=arctan÷-arctan÷=14 e (2)设介质板中的电场为E,根据分界面上的边界条件，有 6Em=eEm,即 Eocos eE 所以 E.=Ecosd=c0514 介质板左表面的极化电荷面密度 4=-(e.0)B=.子05c0s14=-0728eB 介质板右表面的极化电荷面密度 g=(e.6)E=子e6c0s14=072866 评注】在此题的求解中，外加电场是均匀的关键。当外电场不是均匀 场时，介质表面上的极化电荷亦不均匀分布，极化电荷在介质内、外均要产生 电场，则不能这样简单的求解。 例119圆柱形高压导线半径为a=30mm,要穿过一个内 半径为b=50mm,长度为1=150mm的接地金属套管，如图 1-14所示。已知空气的击穿场强为EM=3×10Wm,忽略套管 的边缘效应。 (1)求最大的工作电压； (2)在导线与套管之间加一个半径为c=40mm厚度可忽略
化电荷,极化电荷在介质内产生均匀电场, 而在介质外产生的电场 为零,故介质外的电场不变。根据静电场的边界条件, 即可求得 θ1 以及介质板表面的极化电荷密度。 解 (1 ) 根据静电场的边界条件,在介质板的表面上有 tanθ1 tanθ2 = ε0 ε 由此得到 θ1 = ar ctan ε0 tanθ2 ε = ar ct an ε0 ε = arctan 1 4 = 14° (2 ) 设介质板中的电场为 E, 根据分界面上的边界条件, 有 ε0 E0 n = εEn , 即 ε0 E0 cosθ1 = εEn 所以 En = ε0 ε E0 cosθ1 = 1 4 E0 cos14° 介质板左表面的极化电荷面密度 σp = - (ε- ε0 ) En = - 3 4 ε0 E0 cos14°= - 0 .728ε0 E0 介质板右表面的极化电荷面密度 σp = (ε- ε0 ) En = 3 4 ε0 E0 cos14°= 0 .728ε0 E0 【评注】 在此题的求解中 ,外加电场是均匀的关键。当外电场不是均匀 场时, 介质表面上的极化电荷亦不均匀分布, 极化电荷在介质内、外均要产生 电场 ,则不能这样简单的求解。 例 1 .19 圆柱形高压导线半径为 a = 30 mm, 要穿过一个内 半径为 b = 50 mm, 长度为 l = 150 mm 的接地金属套管, 如图 1 14 所示。已知空气的击穿场强为 EM = 3 ×10 6 V/ m, 忽略套管 的边缘效应。 (1 ) 求最大的工作电压; (2 ) 在导线与套管之间加一个半径为 c = 40 mm 厚度可忽略 第一章 静电场分析 33
34 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 不计的内套管。为使两层所承受的电 压相等，求内套管的长度L以及此时 的最大工作电压： (3)若要使两层中的最大场强相 等，内套管的长度L应为多少？此时的 最大工作电压值为多少？ 分析当高压导线与套管之间 的最大场强等于击穿场强时，其工作 电压即为最大工作电压。因最大场强 出现在套管中间位置的导线表面上， 在忽略套管的边缘效应的情况下，可 按无限长同轴线来近似分析高压导线 与套管之间的电场分布。 解(1)设导线上单位长度的电 图1-14 荷为P,则电场强度为 E=26,(a<r<) 0 套管内的最大场强为 Emax=2 d 高压导线的工作电压则为 U=∫Edr=2ln总=a5ln台 令Emx=EM,即可得到最大工作电压为 m=abln各=46x10V (2)当两层所承受的电压相等，即Uhmx=Uhmx时，电场强度 为
图 1 14 不计的内套管。为使两层所承受的电 压相等,求内套管的长度 L 以及此时 的最大工作电压; (3 ) 若要使两层中的最大场强相 等,内套管的长度 L应为多少 ?此时的 最大工作电压值为多少 ? 分析 当高压导线与套管之间 的最大场强等于击穿场强时, 其工作 电压即为最大工作电压。因最大场强 出现在套管中间位置的导线表面上, 在忽略套管的边缘效应的情况下, 可 按无限长同轴线来近似分析高压导线 与套管之间的电场分布。 解 (1 ) 设导线上单位长度的电 荷为ρl , 则电场强度为 E = ρl 2πε0 r ( a < r < b) 套管内的最大场强为 Emax = ρl 2πε0 a 高压导线的工作电压则为 U =∫ b a Ed r = ρl 2πε0 ln b a = aEmax ln b a 令 Emax = EM ,即可得到最大工作电压为 Umax = aEM ln b a = 4 .6 × 10 4 V (2 ) 当两层所承受的电压相等,即 U1 max = U2 max 时, 电场强度 为 34 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题