20 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 所以 蚁)=告 )=.e)=e0 则上极板的电荷面密度为 o=-6e·E= r 由 g=小ods=(b-a时ar=(b-a a 于是有 6 g Uo=(b a)in(B a) 故得到 )(b.a)In(8 a) E(r,)=-er(b-a)in(B a) (2)上、下极板的电荷面密度为 or=se·E=-b-a)ln(ia) oE=-e·E=rb-aln(ia (3)两极板间的电容为 C=(b-aIn b 【评注】由于两极板不平行，电场随r变化，所以极板上的电荷面密度 也不是均匀的，而是按1/r的规律变化。相靠近的一端电荷面密度较大，其电 场强度也较大，容易发生击穿
A = U0 θ0 , B = 0 所以 φ( ) = U0 θ0 E( r, ) = - è φ( ) = - e U0 θ0 r 则上极板的电荷面密度为 σ上 = - ε0 e · E = ε0 U0 θ0 r 由 q =∫S σ上 d S = ε0 U0 θ0 ( b - a∫) b a 1 r d r = ε0 U0 θ0 ( b - a)ln b a 于是有 U0 = θ0 q ε0 ( b - a) ln( b/ a) 故得到 φ( ) = q ε0 ( b - a)ln ( b/ a) E( r, ) = - e q ε0 r( b - a) ln( b/ a) (2 ) 上、下极板的电荷面密度为 σ下 = ε0 e · E = - q r( b - a)ln ( b/ a) σ上 = - ε0 e · E = q r( b - a)ln ( b/ a) (3 ) 两极板间的电容为 C = ε0 ( b - a) θ0 ln b a 【评注】 由于两极板不平行 ,电场随 r 变化 , 所以极板上的电荷面密度 也不是均匀的 ,而是按 1/ r 的规律变化。相靠近的一端电荷面密度较大 , 其电 场强度也较大 , 容易发生击穿。 20 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 21 例110电荷均匀分布于两圆柱面间 的区域中，体密度为。0m,两圆柱面半 径分别为a和b,轴线相距为c(c<b-d), 如图1-7所示。求空间各部分的电场。 分析由于两圆柱面间的电荷不是 轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但 可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有 图1-7 体密度分别为±的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱 体内具有体密度为p的均匀电荷分布，而在半径为α的整个圆柱 体内则具有体密度为·。的均匀电荷分布，如图1-8所示。空间任 一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 图1-8 解 在r>b区域中，由高斯定缈，B·dS=4,可求得大、 小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 5=, g,- 26 点P处总的电场为
图 1 7 例 1 .10 电荷均匀分布于两圆柱面间 的区域中, 体密度为ρ0 C/ m 3 , 两圆柱面半 径分别为 a和 b,轴线相距为 c( c < b - a) , 如图 1 7 所示。求空间各部分的电场。 分析 由于两圆柱面间的电荷不是 轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。但 可把半径为 a 的小圆柱面内看作同时具有 体密度分别为 ±ρ0 的两种电荷分布,这样在半径为 b 的整个圆柱 体内具有体密度为ρ0 的均匀电荷分布, 而在半径为 a 的整个圆柱 体内则具有体密度为 - ρ0 的均匀电荷分布, 如图 1 8 所示。空间任 一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 图 1 8 解 在 r > b 区域中,由高斯定律∮S E·d S = q ε0 ,可求得大、 小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为 E1 = er πb 2 ρ0 2πε0 r = ρ0 b 2 r 2ε0 r 2 E′ 1 = e′r - πa 2 ρ0 2πε0 r′ = - ρ0 a 2 r′ 2ε0 r′2 点 P 处总的电场为 第一章 静电场分析 21
22 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 E-s+6,{判 在r<b且>a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电 荷在点P产生的电场分别为 Fa=e2x6r 后=d2-2 261 点P处总的电场为 E=+:{ 在<a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产 生的电场分别为 B,-兴 E=d,2-.0 2 点P处总的电场为 E=B+E=8(-)=20c 【评注】对于这种看似不对称的问题，有时可用叠加原理将其化为几 个对称问题，而用高斯定律求解，关键在于怎样才能够将不对称电荷分布化 为对称电荷分布的叠加。本题这种补偿叠加的方法是一种巧妙方法，应认真 加以体会。 例111球形电容器的内导体半径为a,外导体内半径为b, 其间填充介电常数分别为8和的两种均匀介质，如图1-9所 示。设内壳球带电荷为9，外球壳接地，求： (1)两球壳间的电场和电位分布； (2)极化电荷分布； (3)导体表面上的自由电荷面密度
E = E1 + E′ 1 = ρ0 2ε0 b 2 r r 2 - a 2 r′ r′2 在 r < b且 r′> a区域中, 同理可求得大、小圆柱中的正、负电 荷在点 P 产生的电场分别为 E2 = er πr 2ρ0 2πε0 r = ρ0 r 2ε0 E′ 2 = e′r - πa 2ρ0 2πε0 r′ = - ρ0 a 2 r′ 2ε0 r′2 点 P 处总的电场为 E = E2 + E′ 2 = ρ0 2ε0 r - a 2 r′ r′2 在 r′< a 的空腔区域中, 大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产 生的电场分别为 E3 = er πr 2 ρ0 2πε0 r = ρ0 r 2ε0 E′ 3 = e′r - πr′ 2 ρ0 2πε0 r′ = - ρ0 r′ 2ε0 点 P 处总的电场为 E = E3 + E′ 3 = ρ0 2ε0 ( r - r′) = ρ0 2ε0 c 【评注】 对于这种看似不对称的问题 , 有时可用叠加原理将其化为几 个对称问题 , 而用高斯定律求解 ,关键在于怎样才能够将不对称电荷分布化 为对称电荷分布的叠加。本题这种补偿叠加的方法是一种巧妙方法 , 应认真 加以体会。 例 1 .11 球形电容器的内导体半径为 a,外导体内半径为 b, 其间填充介电常数分别为ε1 和ε2 的两种均匀介质, 如图 1 9 所 示。设内壳球带电荷为 q, 外球壳接地,求: (1 ) 两球壳间的电场和电位分布; (2 ) 极化电荷分布; (3 ) 导体表面上的自由电荷面密度。 22 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 23 分析由于电场方向沿径向，所以在介 质1与介质2的分界面上，电场与分界面平 行，即为切向分量。根据边界条件可知E= B,但D≠D,故在半径为a<r<b)的 球面上E相等，仍可用高斯定律求电场。 解(1)由高斯定律，有 图1-9 ∮D·dS=2(D+D)=q(a<r<) 由D=E:,D=E以及E=E=E,可得两球壳间的电场 和电位分别为 B()=e2x(a1)F(a<r<) r）= q士dr= 2(8+8Y,P ab-r) 2π(a+a)br (a<r<b) (2)介质中的极化强度 B=(8·6)E=82(每+e)日 (8-)g R=(e·6)B=e28+®)7 (8-0)q 故介质体内的极化电荷体密度 =.è·R=.9g上4(t·)=0 2(e+a）dr (®-)4↓4(·子)=0 =-è·B=-2(e+®)Fdn 介质的内表面上极化电荷面密度为 4al=-c·Bl-。=·2(e+e)a (9-6)g 4e=-e·B-。=2(8+e)a (8-)g
图 1 9 分析 由于电场方向沿径向, 所以在介 质 1 与介质 2 的分界面上, 电场与分界面平 行,即为切向分量。根据边界条件可知 E1 = E2 , 但 D1 ≠ D2 , 故在半径为 r( a < r < b) 的 球面上 E 相等,仍可用高斯定律求电场。 解 (1 ) 由高斯定律,有 ∮S D·d S = 2πr 2 ( D1 + D2 ) = q ( a < r < b) 由 D1 = ε1 E1 , D2 = ε2 E2 以及 E1 = E2 = E, 可得两球壳间的电场 和电位分别为 E( r) = er q 2π(ε1 +ε2 ) r 2 ( a < r < b) φ( r) = q 2π(ε1 + ε2∫) b r 1 r 2 d r = q( b - r) 2π(ε1 + ε2 ) br ( a < r < b) (2 ) 介质中的极化强度 P1 = (ε1 - ε0 ) E1 = er (ε1 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) r 2 P2 = (ε2 - ε0 ) E2 = er (ε2 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) r 2 故介质体内的极化电荷体密度 ρp1 = - è ·P1 = - (ε1 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) 1 r 2 d d r ( r 2 · 1 r 2 ) = 0 ρp2 = - è ·P2 = - (ε2 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) 1 r 2 d d r ( r 2 · 1 r 2 ) = 0 介质的内表面上极化电荷面密度为 σp a1 = - er· P1 | r = a = - (ε1 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) a 2 σp a2 = - er· P2 | r = a = - (ε2 - ε0 ) q 2π(ε1 + ε2 ) a 2 第一章 静电场分析 23
24 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 介质的外表面上极化电荷面密度为 (8-6)g 6M=e·乃|r=b= 2π(8+6)6 4=e·B|=b= (8-)g 2π(6+6)b 两种介质的分界面上 12=e·(B-B)）=0 (3)内导体表面上自由电荷面密度为 ou=6e·E-。=2r(e+e)a oe=ee·El。=2r(e+e)d 69 外导体的内表面上自由电荷面密度为 4=-8e.E1=·2(8+e)6 erg 8=-66·E-。=-2(8+6)6 a 【评注)当存在介质分界面时，有两种情况可用高斯定律求解：一是在 介质分界面上电场只有法向分量，另一是在介质分界面上电场只有切向分 量。前一种情况D成对称分布，后一种情况E成对称分布。应用高斯定律求解 后一种问题的关键在于，将D=日E,D= 以及E=B=E代入高斯定，D·dS =q中。 例1.12如图1-10所示，三个同心 导体球壳的半径分别为a,a和(a< a<2a)。已知球壳2上的电荷量为g, 内球壳1与外球壳3均接地。求： 图1-10 (1)球壳2与内、外球壳之间的电场 和电位分布；
介质的外表面上极化电荷面密度为 σp b1 = er · P1 | r = b = (ε1 - ε0 ) q 2π(ε1 +ε2 ) b 2 σp b2 = er · P2 | r = b = (ε2 - ε0 ) q 2π(ε1 +ε2 ) b 2 两种介质的分界面上 σp12 = e ·( P1 - P2 ) = 0 (3 ) 内导体表面上自由电荷面密度为 σa1 = ε1 er · E | r = a = ε1 q 2π(ε1 +ε2 ) a 2 σa2 = ε2 er · E | r = a = ε2 q 2π(ε1 +ε2 ) a 2 外导体的内表面上自由电荷面密度为 σb1 = - ε1 er· E | r = b = - ε1 q 2π(ε1 + ε2 ) b 2 σb2 = - ε2 er· E | r = b = - ε2 q 2π(ε1 + ε2 ) b 2 【评注】 当存在介质分界面时 , 有两种情况可用高斯定律求解: 一是在 介质分界面上电场只有法向分量 , 另一是在介质分界面上电场只有切向分 量。前一种情况 D成对称分布 ,后一种情况 E成对称分布。应用高斯定律求解 图 1 10 后一种问题的关键在于 , 将 D1 = ε1 E1 , D2 = ε2 E2 以及 E1 = E2 = E 代入高斯定律∮S D·d S = q中。 例 1 .12 如图 1 10 所示,三个同心 导体球壳的半径分别为 a1 , a2 和 a3 ( a1 < a2 < 2 a3 ) 。已知球壳 2 上的电荷量为 q, 内球壳 1 与外球壳 3 均接地。求: (1 ) 球壳 2 与内、外球壳之间的电场 和电位分布; 24 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题