第一章静电场分析 15 a=e2-e 所以原子外的电场为零。故此球体内电位为 列=rar=(片克dr= + 【评注】充分利用电荷分布的对称性，可简化对静电场问题的分析 计算。 例16已知y>0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些 是可能的电位的解？ (1)e"coshx; (2)e'cosx: (3)ecosxsinx; (4)sinxsinysinz。 分析在y>0的空间中没有电荷，电位函数应满足拉普拉 斯方程。在上述几个函数中，凡是满足拉普拉斯方程的便是y>0 空间中可能的电位的解。 2 (1)(c'coshx)+(e'coshx)+ (e'coshx)=2e'coshx0 所以函数e'coshx不是y>0空间中的电位的解； (2)(e'cosx)+(e'cosx)+(c'cosx)= e"cosx +e''cosx =0 所以函数e'cosx是y>0空间中可能的电位的解； (3)(cosxsin)(ecosxsinx)+
D2 = er ρ4πr 3 a/ 3 4πr 2 = - er Ze 4πr 2 所以原子外的电场为零。故此球体内电位为 φ( r) = 1 ε∫0 r a r Dd r = Ze 4πε∫0 r a r ( 1 r 2 - r r 3 a ) d r = Ze 4πε0 1 r + r 2 2 r 3 a - 3 2 ra 【评注】 充分利用电荷分布的对称性 , 可简化对静电场问题的分析 计算。 例 1 .6 已知 y > 0 的空间中没有电荷, 下列几个函数中哪些 是可能的电位的解 ? (1 ) e - y cosh x; (2 ) e - y cos x ; (3 ) e - 2 y cos xsin x; (4 )sin xsin ysin z。 分析 在 y > 0 的空间中没有电荷, 电位函数应满足拉普拉 斯方程。在上述几个函数中, 凡是满足拉普拉斯方程的便是 y > 0 空间中可能的电位的解。 解 (1 ) 2 x 2 ( e - y cosh x) + 2 y 2 ( e - y cosh x) + 2 z 2 ( e - y cos h x) = 2e - y cosh x ≠ 0 所以函数 e - y cosh x 不是 y > 0 空间中的电位的解; (2 ) 2 x 2 ( e - y cos x) + 2 y 2 ( e - y cos x) + 2 z 2 ( e - y cos x) = - e - y cos x + e - y cos x = 0 所以函数 e - y cos x 是 y > 0 空间中可能的电位的解; (3 ) 2 x 2 ( e - 2 y cos xsin x ) + 2 y 2 ( e - 2 y cos xsin x ) + 第一章 静电场分析 15
16 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 (cosxsinx) -4e cosxsinx+2ecosxsinx0 所以函数eF,cos xsinx不是y>0空间中的电位的解： (4)F(sinxsin)sina)+下((sinxsinysin）+ 2 (sinxsinysin=)-3sinxsinysin0 所以函数sinxsin ysin不是y>0空间中的电位的解。 【评注】此题的要点就是要明确在无源区的电位函数必须满足拉普拉 斯方程。 例1.7在半径分别为a和b的 两个同心导体球壳间有均匀的电荷 分布，其电荷体密度为p=A0m。 已知外球壳接地，内球壳的电位为 U%,如图1-4所示。求两导体球壳间 的电场和电位分布。 分析在内球壳的外表面和外 图1-4 球壳的内表面上都有感应电荷。由于 电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表 面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位 差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解设内球壳的外表面上的感应电荷面密度为σ。根据高斯 定律，有 (d)(a<rB 所以 E()=a
2 z 2 ( e - 2 y cos xsin x) = - 4e - 2 y cos xsin x + 2e - 2 y cos xsin x ≠ 0 所以函数 e - 2 y cos xsin x 不是 y > 0 空间中的电位的解; (4 ) 2 x 2 ( sin xsin ysin z) + 2 y 2 (sin xsin ysin z) + 2 z 2 (sin xsin ysin z) = - 3sin xsin ysin z ≠ 0 所以函数 sin xsin ysin z 不是 y > 0 空间中的电位的解。 【评注】 此题的要点就是要明确在无源区的电位函数必须满足拉普拉 斯方程。 图 1 4 例 1 .7 在半径分别为 a 和 b 的 两个同心导体球壳间有均匀的电荷 分布,其电荷体密度为ρ= ρ0 C/ m 3 。 已知外球壳接 地, 内球 壳的电位 为 U0 , 如图 1 4 所示。求两导体球壳间 的电场和电位分布。 分析 在内球壳的外表面和外 球壳的内表面上都有感应电荷。由于 电荷分布具有球对称性,可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表 面上的感应电荷面密度,求出电场强度后, 由两导体球壳间的电位 差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解 设内球壳的外表面上的感应电荷面密度为σ。根据高斯 定律,有 4πε0 r 2 E = 4πa 2 σ+ 4π 3 ( r 3 - a 3 )ρ0 ( a < r < b) 所以 E( r) = σa 2 ε0 r 2 + ρ0 3ε0 ( r - a 3 r 2 ) ( a < r < b) 16 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 17 u=小(ndr=小i+6(r.4]dr- 。0+:.i。 &b h 由此得到 &o bUo .2(6+ab.2d) o-ab-a)6a 两导体球壳间的电位分布为 Nn=小(ndr-小+共r.1r 。n+是；.r &br br 【评注】此题的要点在于导体的 y 表面上有未知的感应电荷分布，用高斯 定律求电场时，必须注意考虑感应电荷 o(x)) 产生的电场。 ga 例18两块无限大接地导体 平面分别置于x=0和x=a处，其 间在x=处有一面密度为 c0m2的均匀电荷分布，如图1-5 所示。求两导体板之间的电场和电 位。 图1-5 分析在两块无限大接地导体平面之间，除x=。处有均匀 面电荷分布外，其余地方均无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方 程。再根据导体平面上以及x=和处的边界条件，即可求出电位 分布。 解电位仅是x的函数，所以 dΦ(=0(0<x<) dx
由 U0 =∫ b a E ( r) d r =∫ b a [ σa 2 ε0 r 2 + ρ0 3ε0 ( r - a 3 r 2 ) ] d r = σa( b - a) ε0 b + ρ0 3ε0 [ b 2 - a 2 2 - a 2 ( b - a) b ] 由此得到 σ= ε0 bU0 a( b - a) - ρ0 6 a ( b 2 + ab - 2 a 2 ) 两导体球壳间的电位分布为 φ( r) =∫ b r E( r) d r =∫ b r [ σa 2 ε0 r 2 + ρ0 3ε0 ( r - a 3 r 2 ) ] d r = σa 2 ( b - r) ε0 br + ρ0 3ε0 [ b 2 - r 2 2 - a 3 ( b - r) br ] 图 1 5 【评注】 此题的要点在于导体的 表面上有未知的感应电荷分布 , 用高斯 定律求电场时 , 必须注意考虑感应电荷 产生的电场。 例 1 .8 两块无限大接地导体 平面分别置于 x = 0 和 x = a处, 其 间在 x = x0 处 有 一 面 密 度 为 σ0 C/ m 2 的均匀电荷分布,如图 1 5 所示。求两导体板之间的电场和电 位。 分析 在两块无限大接地导体平面之间,除 x = x0 处有均匀 面电荷分布外,其余地方均无电荷分布, 电位满足一维拉普拉斯方 程。再根据导体平面上以及 x = x0 处的边界条件, 即可求出电位 分布。 解 电位仅是 x 的函数,所以 d 2φ1 ( x) d x 2 = 0 ( 0 < x < x0 ) 第一章 静电场分析 17
18 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 (过=0(m<x<0 dx 由此可解得 4(x)=Cx+D(0<x<) φ(x)=Cx+D(0<x<a) (x)和中(x)满足的边界条件为 4(0)=0,φ(a)=0 「Φ(x.(x] (o)=电(0)，x xJx。 于是有 「D=0 Ca+D=0 Ci xo D=Cxo+D G·G=.9 由此得到 G=.0:@,D=0 a G=、 6a' D=g地 所以 (x)=a1x(0<x<) a ()=2(a:)(<x<@0 E=.è中()=.e.d迪=.e(a:b dx a E=色()=。地=a日 dx 【评注】对于这种具有面分布电荷的问题，以电荷所在的曲面为边界
d 2φ2 ( x) d x 2 = 0 ( x0 < x < a) 由此可解得 φ1 ( x ) = C1 x + D1 ( 0 < x < x0 ) φ2 ( x ) = C2 x + D2 ( x0 < x < a) φ1 ( x ) 和φ2 ( x) 满足的边界条件为 φ1 ( 0) = 0, φ2 ( a) = 0 φ1 ( x0 ) = φ2 ( x0 ) , φ2 ( x) x - φ1 ( x ) x x = x 0 = - σ0 ε0 于是有 D1 = 0 C2 a + D2 = 0 C1 x0 + D1 = C2 x0 + D2 C2 - C1 = - σ0 ε0 由此得到 C1 = - σ0 ( x0 - a) ε0 a , D1 = 0 C2 = - σ0 x0 ε0 a , D2 = σ0 x0 ε0 所以 φ1 ( x ) = σ0 ( a - x0 ) ε0 a x (0 < x < x0 ) φ2 ( x ) = σ0 x0 ε0 a ( a - x ) ( x0 < x < a) E1 = - è φ1 ( x) = - ex dφ1 ( x ) d x = - ex σ0 ( a - x0 ) ε0 a E2 = - è φ2 ( x ) = - ex dφ2 ( x) d x = ex σ0 x0 ε0 a 【评注】 对于这种具有面分布电荷的问题 , 以电荷所在的曲面为边界 18 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 19 划分求解区域，把电荷面密度归结到边界条件中，求出各区的电位通解后，再 由边界条件确定系数，这是一种常用的处理方法；此外，由于电场分布具有平 面对称性，此题也可用高斯定律求解。 例19如图16所示，空气电容器的两极板为尺寸相同、面 积很大的正方形导体平板，板间夹角6。当两极板分别带上大小为 9的异号电荷时，忽略边缘效应，求： (1)电容器内的电位和电场强度， (2)极板上的电荷面密度； (3)两极板间的电容。 ++++++子 a b 图1-6 分析由于两极板不是平行的，其间的电场不再是均匀平面 场。但由于导体板是等位面，在忽略边缘效应情况下，电位Φ只是 角度的函数。因此，可在圆柱面坐标系中，求解电位Φ的拉普拉 斯方程。 解(1)在圆柱面坐标系中，电位Φ满足的方程为 Ld中=0 r d 由此解得 ()=A+B(0≤≤0) 设(0)=0，(0)=6，则有
划分求解区域 ,把电荷面密度归结到边界条件中 , 求出各区的电位通解后 , 再 由边界条件确定系数 ,这是一种常用的处理方法 ; 此外 ,由于电场分布具有平 面对称性 , 此题也可用高斯定律求解。 例 1 .9 如图 1 6 所示,空气电容器的两极板为尺寸相同、面 积很大的正方形导体平板,板间夹角θ0 。当两极板分别带上大小为 q 的异号电荷时,忽略边缘效应, 求: (1 ) 电容器内的电位和电场强度; (2 ) 极板上的电荷面密度; (3 ) 两极板间的电容。 图 1 6 分析 由于两极板不是平行的, 其间的电场不再是均匀平面 场。但由于导体板是等位面, 在忽略边缘效应情况下, 电位 φ只是 角度 的函数。因此, 可在圆柱面坐标系中, 求解电位 φ的拉普拉 斯方程。 解 (1 ) 在圆柱面坐标系中,电位 φ满足的方程为 1 r 2 d 2φ d 2 = 0 由此解得 φ( ) = A + B ( 0 ≤ ≤θ0 ) 设 φ(0 ) = 0,φ(θ0 ) = U0 ,则有 第一章 静电场分析 19