10 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 由E=·è中求E,有 E=-è中=- 品n2±2匹 en d[In(+(2)Inr e 2x dr e02++(2P+u2 L 646rP+(/2) 【评注】由于对称性，线电荷平分面上的电场E只有，分量，因此根据 线电荷平分面上的电位中，由E=·è中可求出线电荷平分面上的电场E。而 在其他平面上电场E不仅有，分量，而且有e分量，由此仅根据该平面上的 电位中，由E=-è中不能求出电场E,只能得到E的e,分量。 例12如图1-2所示，半径为a 的薄圆盘均匀带电，电荷面密度为σ。 求 (1)轴线上离圆心为：处的电场强 度 (2)在保持o不变的情况下，当a→ 0和a→∞时，结果如何？ (3)在保持总电荷q=do不变的 情况下，当a→0和a一∞时，结果又如 何？ 图1-2 分析由于电荷分布关于圆盘的轴线对称，所以圆盘轴线上 的电场只有e分量。可将圆盘划分成无数个同心细圆环，先求出 任一带电细圆环轴线上的电场，然后利用叠加原理，对整个圆盘进 行积分，即可求出圆盘轴线上的电场。 解(1)圆盘面上一半径为y,宽度为dr的细圆环上所带的 电荷量dg=2πodr,在圆盘轴线上产生的电场为
由 E = - è φ求 E,有 E = - è φ = - ρl0 2πε0 è ln L/ 2 + r 2 + ( L/ 2 ) 2 r = - er ρl0 2πε0 d d r ln L/ 2 + r 2 + ( L/ 2 ) 2 - ln r = - er ρl0 2πε0 r L/ 2 + r 2 + ( L/ 2 ) 2 r 2 + ( L/ 2) 2 - 1 r = er ρl0 4πε0 r L r 2 + ( L/ 2 ) 2 【评注】 由于对称性 ,线电荷平分面上的电场 E 只有 er 分量 ,因此根据 线电荷平分面上的电位φ,由 E = - è φ可求出线电荷平分面上的电场 E。而 在其他平面上电场 E不仅有 er 分量 , 而且有 ez 分量 , 由此仅根据该平面上的 电位φ,由 E = - è φ不能求出电场 E ,只能得到 E 的 er 分量。 图 1 2 例 1 .2 如图 1 2 所示, 半径为 a 的薄 圆盘均匀 带电, 电荷面 密度为 σ。 求: (1 ) 轴线上离圆心为 z 处的电场强 度; (2 ) 在保持σ不变的情况下, 当 a → 0 和 a → ∞ 时,结果如何 ? (3 ) 在保持总电荷 q = πa 2σ不变的 情况下,当 a→ 0 和 a→ ∞ 时, 结果又如 何 ? 分析 由于电荷分布关于圆盘的轴线对称, 所以圆盘轴线上 的电场只有 ez 分量。可将圆盘划分成无数个同心细圆环, 先求出 任一带电细圆环轴线上的电场,然后利用叠加原理, 对整个圆盘进 行积分,即可求出圆盘轴线上的电场。 解 (1 ) 圆盘面上一半径为 r, 宽度为 d r 的细圆环上所带的 电荷量 d q = 2πrσd r,在圆盘轴线上产生的电场为 10 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 11 aE=dE,=品E rdr 在整个圆盘面上对上式积分，得到 E-E-小a=0E产 (2)若0不变，则 当a0,有E一0，当a一m时，有E一2后 (6)若保持总电荷g=o不变，则由。=名，得 当a一0，可得到E一4：当a一m时，则有E一0 【评注】电场强度的积分表达式是对矢量函数的积分，若能利用对称 性，将矢量函数的积分转换为对标量函数的积分，可使得计算大为简化。 例13如图1-3所示，一个半 dE 径为a的半圆环上均匀分布线电荷 其电荷线密度为P。求垂直于圆环平 面的轴线上的电位)和电场强度 E(z)。 分析由于是半圆环，电荷分布 不是关于轴线对称的，所以轴线上的 电场不仅有二分量，还有x分量，但电 荷分布关于xO:平面对称，没有y分 量。因此，只能直接用电场的矢量积分 图1-3 公式计算
d E = d Ez = σ 2ε0 rd r ( z 2 + r 2 ) 3/ 2 在整个圆盘面上对上式积分,得到 E = Ez =∫d Ez = σ 2ε∫0 a 0 rd r ( z 2 + r 2 ) 3/ 2 = σ 2ε0 ( 1 - | z | z 2 + a 2 ) (2 ) 若σ不变,则 当 a → 0, 有 E → 0;当 a → ∞ 时, 有 E → σ 2ε0 。 (3 ) 若保持总电荷 q = πa 2 σ不变, 则由σ= q πa 2 ,得 E = q 2πε0 a 2 ( 1 - | z | z 2 + a 2 ) 当 a → 0, 可得到 E → q 4πε0 z 2 ; 当 a → ∞ 时,则有 E → 0 。 【评注】 电场强度的积分表达式是对矢量函数的积分 , 若能利用对称 性 ,将矢量函数的积分转换为对标量函数的积分, 可使得计算大为简化。 图 1 3 例 1 .3 如图 1 3 所示,一个半 径为 a 的半圆环上均匀分布线电荷, 其电荷线密度为 ρl。求垂直于圆环平 面的轴线上的电位 φ( z) 和电场强度 E( z)。 分析 由于是半圆环, 电荷分布 不是关于轴线对称的, 所以轴线上的 电场不仅有 z 分量, 还有 x 分量, 但电 荷分布关于 xOz 平面对称, 没有 y 分 量。因此, 只能直接用电场的矢量积分 公式计算。 第一章 静电场分析 11
12 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 解半圆环上的电荷元pd1=pad'在轴线上产生的电 场为 (dyd 式中：r=ez; f=a(ecos'+gsin')。 a匪46 s.fecos+6sind (2+d)2 在半圆环上对上式积分，得到 E()=∫dE= pa":e:=aecos 'tesin ')d 4r6J.2 (2+d)￥2 pa e:nze2a 4π6(：+G)" 轴线上的电位 -小i队)ed:=2i产 zdz 46(2+d)Ψ 【评注】半圆环电荷在轴线上产生的电位等于整个圆环电荷在轴线上 产生的电位的一半，但半圆环电荷在轴线上产生的电场却不等于整个圆环电 荷在轴线上产生的电场的一半。这是因为电位是标量叠加，而电场是矢量 叠加。 例14一个半径为a的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝 缘膜，球内充满总电荷量为Q的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q已知球内部的电场为E=(片)'(e为单位矢量)，设球内介质 为真空。计算：
解 半圆环上的电荷元 ρl d l′= ρl ad ′在轴线上产生的电 场为 d E = ρl a 4πε0 r - r′ ( z 2 + a 2 ) 3/ 2 d ′ 式中: r = ez z; r′= a( ex cos ′+ ey sin ′)。 故 d E = ρl a 4πε0 ez z - a( ex cos ′+ ey sin ′) ( z 2 + a 2 ) 3/ 2 d ′ 在半圆环上对上式积分,得到 E( z) =∫d E = ρl a 4πε∫0 π/ 2 - π/ 2 ez z - a( ex cos ′+ ey sin ′) ( z 2 + a 2 ) 3/ 2 d ′= ρl a 4πε0 ezπz - ex 2 a ( z 2 + a 2 ) 3/ 2 轴线上的电位 φ( z) =∫ ∞ z E( z)· ez d z = ρl a 4ε∫0 ∞ z z d z ( z 2 + a 2 ) 3/ 2 = ρl a 4ε0 ( z 2 + a 2 ) 1/ 2 【评注】 半圆环电荷在轴线上产生的电位等于整个圆环电荷在轴线上 产生的电位的一半 ,但半圆环电荷在轴线上产生的电场却不等于整个圆环电 荷在轴线上产生的电场的一半。这是因为电位是标量叠加 , 而电场是矢量 叠加。 例 1 .4 一个半径为 a 的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝 缘膜,球内充满总电荷量为 Q 的体电荷, 球壳上又另充有电荷量 Q。已知球内部的电场为 E = er ( r a ) 4 ( er 为单位矢量) , 设球内介质 为真空。计算: 12 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 13 (1)球内的电荷分布； (2)球壳外表面的电荷面密度： (3)球壳内外的电位分布。 分析球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷·Q,而且在 球壳外表面上还要感应电荷Q,故球壳外表面上的总电荷为2Q, 且均匀分布在外表面上。由p=e·E求出p,再由Q=∫pdV求 得Q后，即可求得球壳外表面的电荷面密度。 解(1)由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 ps8·E]- -6 (2)球体内的总电量Q为 Q=∫，pdv=∫6s若4idr=4sd 故球壳外表面上的电荷分布为 =品=20 (3)由高斯定律可得到球壳外的电场为 5=e20-e号(r>a 故球壳外的电位为 -,Ed-了gar=u>0 球壳内的电位为 n-,Er-了r+小r (6a)(r<
(1 ) 球内的电荷分布; (2 ) 球壳外表面的电荷面密度; (3 ) 球壳内外的电位分布。 分析 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 - Q, 而且在 球壳外表面上还要感应电荷 Q, 故球壳外表面上的总电荷为 2 Q, 且均匀分布在外表面上。由ρ= ε0 è ·E求出ρ, 再由 Q =∫V ρdV 求 得 Q 后,即可求得球壳外表面的电荷面密度。 解 (1 ) 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 ρ= ε0 è · E = ε0 1 r 2 d d r ( r 2 E) = ε0 1 r 2 d d r ( r 2 r 4 a 4 ) = 6ε0 r 3 a 4 (2 ) 球体内的总电量 Q 为 Q =∫V ρd V =∫ a 0 6ε0 r 3 a 4 4πr 2 d r = 4πε0 a 2 故球壳外表面上的电荷分布为 σ= 2Q 4πa 2 = 2ε0 (3 ) 由高斯定律可得到球壳外的电场为 E = er 2 Q 4πε0 r 2 = er a 2 r 2 ( r > a) 故球壳外的电位为 φ( r) =∫ ∞ r E·d r =∫ ∞ r a 2 r 2 d r = a 2 r ( r > a) 球壳内的电位为 φ( r) =∫ ∞ r E·d r =∫ a r r 4 a 4 d r +∫ ∞ a a 2 r 2 d r = 1 5 ( 6 a - r 5 a 4 ) ( r < a) 第一章 静电场分析 13
14 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 【评注】求解此题的要点在于正确分析球壳上的感应电荷分布。 例151911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原 子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为·Z的电子云，在球心 有一正电荷Ze(Z是原子序数，e是质子电荷量)。 (1)通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D=e 裂户·引，试证明之： (2)证明球体内的电位表达式为 =}+元·别 3 分析原子内的电场是由正、负电荷共同产生的。由于电荷 成球对称分布，可用高斯定律分别求出电子云的电通量密度和位 于球心的正电荷Z的电通量密度，然后再进行叠加。 解(1)位于球心的正电荷Z在原子内产生的电通量密 度为 D=e4产 原子内电子云的电荷体密度为 形治 Le 电子云在原子内产生的电通量密度则为 n=。-e张方 Ze r 4nr 故原子内总的电通量密度为 0=n+a=e烈月制 (2)位于球心的正电荷Z在原子外产生的电通量密度为 a=e希 电子云在原子外产生的电通量密度则为
【评注】 求解此题的要点在于正确分析球壳上的感应电荷分布。 例 1 .5 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ra 的球体原 子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为 - Ze 的电子云, 在球心 有一正电荷 Ze ( Z 是原子序数, e 是质子电荷量)。 (1 ) 通过实验得到 球体内的 电通量密 度表达式 为 D0 = er Ze 4π 1 r 2 - r r 3 a , 试证明之; (2 ) 证明球体内的电位表达式为 φ( r) = Ze 4πε0 1 r + r 2 2 ra - 3 2 ra 分析 原子内的电场是由正、负电荷共同产生的。由于电荷 成球对称分布, 可用高斯定律分别求出电子云的电通量密度和位 于球心的正电荷 Ze 的电通量密度, 然后再进行叠加。 解 (1 ) 位于球心的正电荷 Ze 在原 子内产生 的电通量 密 度为 D1 = er Ze 4πr 2 原子内电子云的电荷体密度为 ρ= - Ze 4πr 3 a/ 3 = - 3 Ze 4πr 3 a 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2 = er ρ4πr 3 / 3 4πr 2 = - er Ze 4π r r 3 a 故原子内总的电通量密度为 D = D1 + D2 = er Ze 4π 1 r 2 - r r 3 a (2 ) 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 D1 = er Ze 4πr 2 电子云在原子外产生的电通量密度则为 14 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题