第一章静电场分析 (4)电位表达式 点电荷 (r)=4ncR N 点电荷系 (r）= 80 体分布电荷 (r）= 4πEpR 面分布电荷 (r)= 4πesR 线分布电荷 = (5)电位的边界条件 - n (6)典型的电位分布 有限长直线电荷的电位 5)=n,t2三 -(12+)+(12+)2+ 无限长直线电荷的电位 r)c 带电圆环轴线上的电位 0,0,)=28d+) 电偶极子的电位 (六)导体系统的电容和部分电容 (1)导体的性质
(4 ) 电位表达式 点电荷 φ( r) = q′ 4πεR 点电荷系 φ( r) = 1 4πε∑ N i = 1 q′ i Ri 体分布电荷 φ( r) = 1 4π∫εV ρ( r′) R dV′ 面分布电荷 φ( r) = 1 4π∫εS σ( r′) R d S′ 线分布电荷 φ( r) = 1 4π∫ε C ρl ( r′) R d l′ (5 ) 电位的边界条件 φ1 = φ2 ε2 φ2 n - ε1 φ1 n = - σ (6 ) 典型的电位分布 有限长直线电荷的电位 φ( r, z) = ρl 2πε ln ( l/ 2 - z) + ( l/ 2 - z) 2 + r 2 - ( l/ 2 + z) + ( l/ 2 + z) 2 + r 2 无限长直线电荷的电位 φ( r) = ρl 2πε ln 1 r + c 带电圆环轴线上的电位 φ(0, 0, z) = aρl 2ε( a 2 + z 2 ) 1/ 2 电偶极子的电位 φ( r) = p·r 4πεr 3 = pcosθ 4πεr 2 (六) 导体系统的电容和部分电容 (1 ) 导体的性质 第一章 静电场分析 5
6 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 导体内部 E=0,p=0,导体为等位体 导体表面 nXE=0,n·D=o 中=常数，e电=·0 n (2)电容 孤立导体 C=4φ 电容器 C=qU 电容的大小与导体的形状、尺寸、相互位置以及周围介质有 关，与电位和电荷无关。 (3)部分电容 由N个导体组成的系统中，有 4=a95(i=1,2,.,W) 式中：ay为电位系数。 4=$（i=1,2,.,N) 式中：B为电容系数。 9=Cmφ+∑Cg(4-φ)(i=1,2,.,N) 式中：C=·B(i≠)为导体i与导体j间的部分电容； C=∑B为导体i与地之间的部分电容。 (七)静电能量和静电力 电荷系统能量 W.-,odv 电场能量 所=，E·Dur 能量密度 w.-ED
导体内部 E = 0,ρ= 0, 导体为等位体; 导体表面 n× E = 0, n·D = σ φ = 常数,ε φ n = - σ (2 ) 电容 孤立导体 C = q/ φ 电容器 C = q/ U 电容的大小与导体的形状、尺寸、相互位置以及周围介质有 关,与电位和电荷无关。 (3 ) 部分电容 由 N 个导体组成的系统中, 有 φi = ∑ N j = 1 αi j qj ( i = 1, 2, ., N) 式中:αij 为电位系数。 qi = ∑ N j = 1 βijφj ( i = 1, 2,., N) 式中:βij 为电容系数。 qi = Ciiφi + ∑ N j ≠ i Cij (φi - φj ) ( i = 1 ,2 ,., N) 式中: Cij = - βij ( i ≠ j) 为导体 i 与导体 j 间的部分电容; Cii = ∑ N j = 1 βi j 为导体 i 与地之间的部分电容。 (七) 静电能量和静电力 电荷系统能量 We = 1 2∫V ρφd V 电场能量 We = 1 2∫V E· DdV 能量密度 we = 1 2 E·D 6 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 1 导体系统能量 所=2∑9 电容器储能 W.gu2 CU/2 ql (2C) 虚位移法 F=-èW。|g=cont=èW。|◆=mmt (八)静电场解题 静电场解题的主要问题包括：①由已知电荷分布求电场和电 位分布；②由已知电场或电位分布求电荷分布；③求电容、静电能 量和静电力。 (1)电场的求解方法 已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法： )直接应用电场强度的计算公式求解。这一方法主要用于计 算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场。 2)应用高斯定律求解电场强度。当电场分布具有某种空间对 称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定律求解电场 强度最为简单，应重点掌握。对于某些非对称分布的场，若能将其 表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用高斯定律求解。 3)由电位的梯度求电场强度。但应注意：一般情况下，必须求 出电位在空间的普遍表达式，才能由E=·è中求出电场强度。 (2)电位的求解方法 求解电位分布主要有三种方法： 1)直接应用电位的计算公式求解。这一方法主要用于计算一 些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电位。 2)由电场强度的积分求电位。 3)求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题。这一解法将在 第二章中讨论。 (3)自由电荷或极化电荷的计算 当已知电场或电位分布时，可由p=è·D或p=·e2中求
导体系统能量 We = 1 2 ∑ i qiφi 电容器储能 We = qU/ 2 = CU 2 / 2 = q 2 / (2 C) 虚位移法 F = - è We | q = con st = è We |φ= co ns t (八) 静电场解题 静电场解题的主要问题包括:① 由已知电荷分布求电场和电 位分布;② 由已知电场或电位分布求电荷分布;③ 求电容、静电能 量和静电力。 (1 ) 电场的求解方法 已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法: 1) 直接应用电场强度的计算公式求解。这一方法主要用于计 算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场。 2) 应用高斯定律求解电场强度。当电场分布具有某种空间对 称性(如平面对称、轴对称、球对称等) 时, 应用高斯定律求解电场 强度最为简单, 应重点掌握。对于某些非对称分布的场, 若能将其 表示为若干个对称分布的场的叠加,也能应用高斯定律求解。 3) 由电位的梯度求电场强度。但应注意: 一般情况下, 必须求 出电位在空间的普遍表达式,才能由 E = - è φ求出电场强度。 (2 ) 电位的求解方法 求解电位分布主要有三种方法: 1) 直接应用电位的计算公式求解。这一方法主要用于计算一 些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电位。 2) 由电场强度的积分求电位。 3) 求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题。这一解法将在 第二章中讨论。 (3 ) 自由电荷或极化电荷的计算 当已知电场或电位分布时,可由ρ= è · D或ρ = - εè 2φ求 第一章 静电场分析 7
8 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 出电荷体密度，由A=·è·P求出极化电荷体密度，由边界条件 求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。 (4)电容的计算 通常可采用两种方法来计算电容： 1)假设极板上的电荷q,按q→E一U→C的步骤计算。当场 分布具有对称性时，这种方法最简便； 2)假设已知极板间的电压U,解电位Φ的边值问题，按U→中 一E→q一C的步骤计算。 (5)静电力的计算 静电力的计算可采用库仑定律或虚位移法。在一般情况下，应 用虚位移法比较简便。 二、典型题解析 例11长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度 为p0o (1)计算线电荷平分面上任意点的电位中 (2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E, 用E=·è中核对。 分析直接利用电位的积分公式计算电位：计算电场时，线 电荷元md:的电场有e:和e,两个分量，由于电荷关于平分面对 称分布，可在对称位置上再取一个线电荷元，两个对称线电荷元的 电场只有g分量，而e分量相互抵消，从而将矢量函数的积分化 为标量函数的积分，简化了计算。 解(1)建立如图1-1所示坐标系根据电位的积分表达式， 线电荷平分面上任意点P的电位为 Po dz' r,0)=:4®F+于
出电荷体密度,由ρp = - è ·P 求出极化电荷体密度, 由边界条件 求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。 (4 ) 电容的计算 通常可采用两种方法来计算电容: 1) 假设极板上的电荷 q, 按 q→ E → U → C的步骤计算。当场 分布具有对称性时,这种方法最简便; 2) 假设已知极板间的电压 U ,解电位 φ的边值问题,按 U → φ → E → q → C的步骤计算。 (5 ) 静电力的计算 静电力的计算可采用库仑定律或虚位移法。在一般情况下, 应 用虚位移法比较简便。 二、典型题解析 例 1 .1 长度为 L 的细导 线带有均匀电荷, 其电荷 线密度 为ρl0 。 (1 ) 计算线电荷平分面上任意点的电位 φ; (2 ) 利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E, 并 用 E = - è φ核对。 分析 直接利用电位的积分公式计算电位φ;计算电场时, 线 电荷元ρl0 d z′的电场有 ez 和 er 两个分量, 由于电荷关于平分面对 称分布,可在对称位置上再取一个线电荷元, 两个对称线电荷元的 电场只有 er 分量,而 ez 分量相互抵消, 从而将矢量函数的积分化 为标量函数的积分,简化了计算。 解 ( 1) 建立如图 1 1 所示坐标系。根据电位的积分表达式, 线电荷平分面上任意点 P 的电位为 φ( r, 0) =∫ L/ 2 - L/ 2 ρl0 d z′ 4πε0 r 2 + z′ 2 = 8 电磁场与电磁波典型题解析及自测试题
第一章静电场分析 9 |2 4n(+P+)i: n P+122+12= 4r0 P+(2)2.12 2+(12)2+W2 12 L/2 -L/2 图1-1 (2)根据对称性，可得两个对称线电荷元pd在点P的电 场为 Po dz' dE-edEecos0- po rd 62π(F+22) 故长为L的线电荷在点P的电场为 je可。2+历号 p如rd |2 64rrP+(U2)
ρl0 4πε0 ln( z′+ r 2 + z′ 2 ) L/ 2 - L/ 2 = ρl0 4πε0 ln r 2 + ( L/ 2 ) 2 + L/ 2 r 2 + ( L/ 2 ) 2 - L/ 2 = ρl0 2πε0 ln r 2 + ( L/ 2 ) 2 + L/ 2 r 图 1 1 (2 ) 根据对称性, 可得两个对称线电荷元ρl0 d z′在点 P 的电 场为 d E = er d Er = er ρl0 d z′ 2πε0 ( r 2 + z′2 ) cosθ= er ρl0 rd z′ 2πε0 ( r 2 + z′ 2 ) 3/ 2 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 E =∫d E = ∫er L/ 2 0 ρl0 rd z′ 2πε0 ( r 2 + z′ 2 ) 3/ 2 = er ρl0 2πε0 r ( z′ r 2 + z′ 2 ) L/ 2 0 = er ρl0 4πε0 r L r 2 + ( L/ 2 ) 2 第一章 静电场分析 9