第四章李群的局部性质 4.1群元素的参数化 我们已经看到，由n阶正则矩阵构成的群元紫，在某种条 件下（这些条件以后再讨论），可以用r个参数：来表征，即 AA(,·,a) （4.1) 通常，单位矩阵今，可以用一组零参数表征 9m=4(0,··,0). (4.2) 于是，个参数的连续变化可能会产生整个群流形. 对于群GL(,C),我们可以认为，矩阵4A的升个元素 标定了维复欧几里得空间中的点.换一种说法，我们也可 以认为，这些矩阵的松个实分量和2个虚分量标定了2n维 欧几里得空间中的一些点.于是，这2r个参数的变化，使我 们从欧几里得空间中的一点到达另一点.因此，GZ(",C) 的各种r个参数的子群，可以用这2维的欧几里得空间中 的一些？维子空间来表征， 4.2·连通性 如果我们从一个任意元素A,通过·个参数的连续变 化，可以到达单位元素夕。那么，这个群是连通的。这情况 等于说：可以用由群参数的连续变化而产生出来的一条弧， 把群空间中的任意一对点连结起来. 转动群S0(n)显然是连通的.但是，完全正交群O(n) 却不是连通的.因为对于完全正交群，不可能从行列式为+1 的正交矩阵，连续地过渡到行列式为一1的正交矩阵。在这 ·17
种情况下，我们说群D()是由不相交的两叶构成的.与单 位元连通的那一叶，它自己构成一个群，这就是群SO(). 取定与单位元相连通的那一叶，并把它与另一叶中的某 个元素相乘，我们就能构造出另一叶来。因此，在O(2)的情 况中，我们取S0(2)的所有元素 (cos 8 -sin升 sin cos8J为 把它们与元素 （0-1 相乘，就可得到行列式为一1的元素的整个集合. 群O()是混合连续群的一个例子.在混合连续群的情 况中，必须用”个连续参数，加上一纽离敢指标（指标的个数 等于不相交的叶的个数)，才能标定群元.因此，对于O(”, R),我们可以用(”一1)/2个实连续参数以及该元素的行 列式的符号来标定群元素。 习顺 4.1证明：O(”,)中，连通的那一叶中的元素对应于真转动； 而不连通的那一叶中的元素对应于非真转动（即转动后再进行一个反 射). 4.3李群的定义 我们假定群G的元素A可以用r个连续参数来表征，写 A(c)=(,…,）。 (4.3) 这里群的单位元A()是用一组零参数来表征的. 群运算的封闭性要求，任意两个群元，例如A（)和 ￥18
A(),其乘积也是该群的一个元素A(Y),这里 A(Y)=A(a)A(B)=A((a,), (4.4) 因此 r=f(a,B). (4.5) 如果这个函数是所有参数：和P的连续可微函数，那么群参 数Y的连续性便得到了保证.从（4.5)式可知，对于单位元 A(0)必有 Y=t(y,0)=f(0,y). (4.6) 如果逆元A(c)1一4(a)存在，则要求参数c是参数a的 连续可微函数. 最后，结合律 A(s)(B(B)C(Y))(A()B(B))C(Y), (4.7) 要求 [c;f(B,Y)]=f[f(a,B),Y】. (4.8) 满足上述要求的连续群，称为李群。 附注：虽然我们偶而用到群参数的函数是连续可微这一 概念，但假定群元素是胖参数的连续函数已足够了.1900 年，希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会上指出，对于定义群 的函数，不假定它们的可微性，也可以发展出连续变换群的李 氏概念，这就是所谓的希尔伯特“第五问题”.毛林以及芒 特戈迈勒和济宾50已经对解答这一问题的历史过程作了概 述. 习原 4.2证明：与二维转动相联系的矩阵构成一个单参数李群. 4,3正明：直线上的所有平移变换构成一个单参数李群。 44无穷小群生成元 对于单位元A(0),我们已指定用零参数来表征它们.现 19
在研究在单位元的邻域中，群元素应具有的一些性质、当参 数值足够小时，通过泰勒级数展开，我们可以把接近于单位元 的元素A(a)表示为 4(o-a0)+会( +会会(+oe (4.9) A(0+“X&+24x,+o() 为 (4.10) 这里，引入符号 &-(0》’ (4.11) 并把X称作与单位元相邻近的元素的无穷小群生成元.如 果逆元A(a)一也在单位元的邻域中，那么 4(o)P=a0)-是x 无1 +2会会mx+0(o,42) 因而 A(a)lA(a)=A(0)+O(2), (4.13) 我们把与单位元A(0)相邻近的两个群元A(B)和A(Y) 的交换子积，定义为A(B)一A(Y)-A(B)A(Y).此交换子积 本身，必然确定了A(0)附近的一个群元素A(P,Y).应用 (4.10)和(4.12)式，在群参数足够小的情况下，近似到B和Y 的二阶项时，我们有 ·20·
A(B)-A(Y)尸A(B)A(Y)=A(0)+BY[Xk,大：]. (9.14) 这里 【X,X]=XX:-XXk (4.15) 是群生成元X,X:的交换子积.从(4.10)式我们必定有 A(B,Y)-A(c)=A(0)+∑amXm+·.(4.I6) 但（4.14)与(4.16)式应当是一样的，将它们逐项比较可得 [Xt,Xi]=CRX, (4.17) 这里 am =ChtBxYi (4.18) 量C,称为无穷小李群的构造常数。 无穷小李群的构造常数有几个重要性质： 1.对于下标来说，它们是反对称的，即 C0=-C. (4.19) 2.因为无穷小生成元满足雅可比恒等式 [[Xt,X:],Xm]+[[X:,Xm],X]+[IXm,X],X:]=0 (4.20) 构造常数就必定满足下列等式 CRCa+C7mC是。十CCn=0. (4.21) 等式(.17)和(4.21)成为发展李代数，理论的基础。 然而在继续深入以前，较详细地去研究一下群生成元的各种 性质，对我们来说是很有用的.为此，我们首先来讨论几个简 单的例子 4.5二维转动群S0(2) 考察xy平面中的一个向量r,它的终端由坐标(x,y)给 出.将此向量（反时针地）转过一个角度6，这就给出了一 个新向量r,它的终端由(x,y)给出. 。21