参数的酉群U(n).这是使下列厄密形式 方，对 (3.13) 1 保持不变的群，由于矩阵A的么正性要求 AtA=可， （3.14) 因此，矩阵元4：的取值范围由下列必要条件 2ia划-a (3.15) 所限制.因而，142≤1.因此，在这种情况下，n2个参数的 值域就是有界的.稍后一点我们就会知道，这里的U()群 是一个紧群。 我们把GL(p+g,C)中使厄密形式 一3-…一p晴+p+1略+1+…+++g(3.16) 保特不变的矩阵群记作U(p,g).这里有 U(,0)=U(0,)eU(n) 显然 GL(p +g,C)U(p,q), (3.17) GL(n,C)U(n). (3.18) ()特殊西群.如果我们只考虑行列式为+1的西矩 阵群，我们就得到（加2一1）个参数的特殊西群或么模西群 SU(n).这里， SU(n)=U(n)SL(n,c). （3.19) 类似地 SU(,g)=U(p,g)nSL(p+g,C).(3.20) SL(2n,C)中的矩阵，如果与C#中的变换p (,w…,n)(,2,-,, 一) (3.21) 12◆
可换，则它们构成了一个群，通常记作U*(2). (c)正交群。由n阶复正交矩阵，可以构成一个具有 (”一1)个参数的群一一正交群，记作0(”，C).因为 AA一罗，所以有{A【=±【.子于是，这个群就分解成互不 连通的两叶，不能从一叶连续地过渡到另一叶上去。而行列 式为十1的正交矩阵，则构成了O(,C)的一个子群，即 n(”一1)个参数的复特殊正交群SO(,C).S0(n,C)中 的矩阵，具有保持复二次形式 (3.22) a 不变的重要性质。显然 sO(n,C)=SL(n,c)o(n,C). (3.23) ()特殊正交群.n阶实正交矩阵的集合，构成了具有 #(n一1)/2个参数的实正交群0(#，R):而行列式为十1的 实正交炬阵的集合，则构成了实特殊正交群S0(,R).同 样，O(n,R)也有互不连通的两叶，且以SO(",R)为其子 群.实特殊正交矩阵保持下列实二次形式不变 箱 (3.24) 1 5L(p十9，R)中，保持二次形式 （3.25) iz1 ip寸1 不变的矩阵，成为群S0(p,g)的元素. 最后，50(2，C)中，保持反厄密形式 一12+1十名4+12一·一2n*十名2，(3.26) 不变的矩阵，成为群S0*(2n)的元素。 (8)辛群。保持两个向量玉(x,…,xi,) 13·
和y=(,,y,…,的非退化反对称双线性形式 2(i-） (3.27) 不变的复正则矩阵，可以构成具有2(2m+1)个参数的辛群 Sp(2n,C). 显然，GL(2n,C)DS(2m,C),而且其中的矩阵不必是 西的、若限于实矩阵，则给出n(2n+1)个参数的群Sp(2n, R). 辛群S(2n)=U(2n)∩S(2n,C),称之为西辛群.这 个群跟S(2n,R)一样，也是一个(2n+1)个参数的群. 必须注意：仅当向量空间的维数是偶数时，才会有辛群. 习题 3,8设矩阵4保持由(3.27)式给出的双线性形式不变，证明： tJA=J. (3.28) 这里 (9) (3.29) 3.9试衍究能够保持双线性形式出一￥少，不变的矩阵所具有 的性质，这里(，x)和(y,:)是平面中的一对点的坐标. 3.10证明具有下列形式 cosh 6 sinh (3.30) sinh cosh 的矩阵保持实二次形式x一x量不变，而且它们的全体构成群SO, 1). 3.5矩阵的指数函数 在下面要讨论的连续群理论中，复正则矩阵A的指数函 数这一概念具有重要的作用.。我们定义矩阵4的指数函数为 *14·
下列级数： 4=.+A++4 2!31 会品 (3.31) 其中，A口9.是n阶的单位矩阵. 这里罗列一些关于矩阵的指数函数的定理。它们在许多 文献中都有详细的证明. 定理3.1 仅肖4的矩阵元的绝对值|i有。个上界时，指数函数 (3.31)式才是收敛的. 证明设“是A的矩阵元的绝对直的一个上界，即对所 有a有1al≤4.并设略是A(0≤p<∞)的矩阵元. 我们断定有 jl≤(nu)P 事实上，对于p一1，此式当然成立；若它对P成立，那么它对 卫十1也必定成立： 名吨≤gapy-(mrm 因此这个级数是收敛的（附注：注意到仅当，有界时此级数 才有界，这一点是重要的.稍迟将看到，对于任意紧群来说， 就有这样的情况). 由定理3,1可以推出以下各定理。 定理3.2 若A和B是两个可交换矩阵，那么 ctH=te月. (3.32) 定理3.3
若B是、个”阶正则矩阵，那么 Be4B-14B- (3.33) 定理3.4 设，…，1，是4的特征根，那么的特征根是 e,···,c2n, (3.34) 定理3.5 (3.34)式的指数函数满足下列普通指数函数的性质 c=(e4)*,e4=(e), =(c),e4=(e (3.35) 定理3.6 t4的行列式的值是e“ 定理3.7 若A是反对称的，邦么‘是正交的。而若A是反厄密 的，那么e4是西的。 习题 3.11若A和B是任意两个n阶矩阵，证明此付有 。48=日+六8,4+分0B,4小，4+”.(3.36) (这个式子，相应于所谓的坎普贝尔-寮斯道夫公式). ·16