第三章由正则矩阵构成的群 31群的公设 元素A,B,C,··的一个集合，如果这些元素之间的 组合方法满足下列四条群的公设，就说它构成了-…个群G: 1.单位元。在这一集合中，存在着一个称之为单位元（或 恒等元)的元素9，对于群G中的任意元素A,有 A9口9A和A、 (3.1) 2.封闭性，群G中，任意两个元素的乘积，对应于此群中 一个唯一的元素. 3,逆元.对于群G中的任意元素4，都存在着一个逆元 素4，使得： AA-1mA-1A→9， (3.2) 4.结合律。如果三个或更多元素在群乘法下被组合起 来，那么相乘的先后次序是无关紧要的，即 A(BC)(AB)C=-ABC. (3.3) 为了构成一个群，必须使上述四个公设全部得到满足，群 元素的集合，其中元的个数可以是有限的，在这种情况下，我 们讨论的是一个有限群.如果群元素有无限个，但它们是可 数的，那么这种群叫做无限离散群。如果其元素组成一个连 续统（在拓朴的意义上），那么我们把这种群称为连续群， 习 色 3.1证明：土1，士：这四个元素在乘法下构成群
,3.2证明下列置换的巢合 (》(g》(9》 (g沙(g》(g) 构成一个有限群。 3,3证明下列矩阵的集合 构成一个有限群。 3.4设日在0与z之间连续变动，证明由它们所确定的矩阵 (ag“0 的无限集合构成一个连续群。 3,5证明下列三角矩阵的无限集合构成一个连续群： (。) 这里，“是实数，且是无界的. 32正则矩阵群 在某些条件下，我们可以证明，n义n方阵4的一组集 合，是满足前面提到的群的公设的： 1.单位元是下列n×"单位矩阵 8
(3.4) 2.如果我们只考虑满秩矩阵，即 det!Al≠0 (3.5) 的矩阵，那么逆元是存在的. 3.矩阵乘法是满足乘法结合律的. 4.对于此矩阵的集合，乘法的封闭性成立. 正则矩阵构成的群，可以是有限的，也可以是无限的，可 以是离散的，也可以是连续的；而且，可以有实元素（实数集合 用R表示)，也可以有复元素（复数集合用C表示）.实空间 R"中的变量用黑=(1，·，xn)来表示，而复空间C”中的 变量用z=(名，·，“)来表示。一个n阶正则矩阵作用于 R"(或C")上，将产生一个x→x(或z→)的变换。在 物理问题中，我们常常关心那种使得x(或z)的某种函数形 式不变的变换.例如，在一个各向同性的三维欧几里得空闻 中，我们希望考虑那些保持形式？十行十号不变的变换；或 者，在一个四维闵可夫斯基空间中，考虑那些保持形式x好十 x子十号x不变的变换. 习 3.6证明：矩 ( (0≤9≤2x) 作用于上，产生的变换，保持形式十x不变。 3.7证明：在三维空间中，具有下列形式 x=Ar+●
的所有变换（这里A是一个满状矩阵，而“是一个向置），构成一个12 个参数的群（即所调的仿射群）。 33一些特殊矩阵的性质 为了今后使用上的方便，我们简短地概括一下一些特殊 矩阵的性质.为此，分别用符号A,‘A,A*和A来表示矩 阵A的逆矩阵、转置矩阵、复数共轭矩阵和厄密共轭矩阵。下 面的表格，列出了这些特殊炬阵的性质. 矩阵·关系 矩阵名称 A=‘A 对称矩阵 A+A=0 反对称炬阵 月d三四 正交矩阵 从=A来 实矩阵 。A=一体 避矩阵 A-4t 厄密矩阵 A十At=0 反厄密矩阵 ATA=9 西矩阵 34连续矩阵群 考虑由所有二阶满秩实矩阵 (3.6) 所构成的群。除了满足下列满秩性的条件 a1an≠412aa (3.7) 外，对此矩阵的矩阵元取值范围不加任何限制.我们把(3.6) 式里的矩阵元重新写成 am8H十cf3 (3.8) 如果所有一0，那么得到单位元- ·10·
9-() (3.9) 显然，我们可以把a,看成是独立的实参数，并通过c:的一个 连续变化而生成此群的所有元素.参数的取值范围是无界 的，而只受到(37)式所示的满秩条件的限制.此群的任意元 素，都可以通过给出与其相关的参数；的值而加以标定、 由n阶正则矩阵（其矩阵元是实数或复数），可以构成多 种多样的群.下面，我们列出一些重要的连续矩阵群。舍瓦 累和黑尔加桑6已经对它们给出了广泛的叙述. (a)一般线性群，最完全的线性矩阵群，就是由n阶复 正则矩阵构成的复，般线性群GL(,C).其中，一个特定 的矩阵，可由个矩阵元确定.每一个矩阵元，可以有一个 实部和一个虚部。这2n2个部分（即2个实部和2个虚部）的 连续变化，将生成整个矩阵群.因此，此群是2x2维的，并且 可以用2n2个实参数来加以标定， 如果，把GL(n,C)的矩阵元限制于只取实数值，我们就 得到具有2个参数的子群GL(n,R).显而易见 GL(n,C)GL(n,R). (3.10) 当然，群GL(n,C)还含有许多其它子群， (b)特殊线性群.对GL(n,C)中的复矩阵，加上行列 式为+1的限制，我们就得到复特殊线传群SL(x,C.这个 群是用2(n2一1)个参数来标定的.行列式为+1的实矩阵 构成了实特殊线性群SL(,R),它有n2一1个参数.显然， GL(,C)SL(n,C)SL(n,R), (3.11) 并且 GL(n,R)SL(n,R). (3.12) 我们有时也把特殊线性群称为特殊么模群。 ()酉群.以n阶酉矩阵4为元素，可以构成具有m2个 ·11