中国人民大学：《计量经济学》第四章 多元线性回归模型

上述结果,亦可从矩阵表示的模型 Y=XB+u 出发, 完全用矩阵代数推导出来 残差可用矩阵表示为: e=22|=y-y其中:Y=XB

16 上述结果，亦可从矩阵表示的模型 出发， 完全用矩阵代数推导出来。 残差可用矩阵表示为： 其中：   Y = Xβ  = −               = Y Y e e e n e ... 2 1 Y = X  + u

残差平方和 ∑ -ee (Y-)(Y-y =(Y-XBY-XB (r-B'X)(-XB Y'Y-B'XY-YXB+BX'XB

17 残差平方和 ( ) ( )   = Y −Y  Y −Y ( β) ( β)   = Y − X  Y − X ( β )( β)   = Y −  X  Y − X     = YY −β X Y −YXβ+β X Xβ S =e = e  e t 2

注意到上式中所有项都是标量,且 (XY=YXB 故 S=rY-2B'XY+B'XXB (S)=0 用矩阵微分法,我们可得到XX=XY 与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果,我们有 B=(XXXY

18 注意到上式中所有项都是标量，且 故 令 用矩阵微分法，我们可得到 与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果，我们有  ( ˆ X Y) = YXβ    S = YY − 2β X Y +β X Xβ 0 β ( ) =    S X X = X Y  β = X X X Y −  1 β ( )

三.最小二乘估计量的性质 我们的模型为Y=XB+ 估计式为y=X 1·阝的均值 B=(XXXY =(XXX(XB+u) =(XX)XXB+(XX)Xu B+(Xu

19 = X X X Y −  1 β ( ) 三. 最小二乘估计量 的性质 我们的模型为 估计式为 1． 的均值  β  β  Y ˆ = Xβ Y = X  + u ( ) ( β u) 1 =   + − X X X X ( ) β ( ) u 1 1 = X X X X + X X X  − − β ( ) u 1 = + X X X  −

E(B)=B+(XX)XE(u)(由假设3) (由假设1) Bo E(30) 1 E(31) β.β E(BK) 这表明,OLS估计量β是无偏估计量

20 （由假设3） (由假设1) 即 这表明，OLS估计量 是无偏估计量。  β               =                 =                                   K K E K E E E β ... β β (β ) ...... (β ) (β ) β ... β β 1 0 1 0 1 0 β (β) β ( ) (u) 1 = = +   −  E X X X E