第六则际力学 611刚体的性质 国3.刚体的内力作功为零 科 将动能定理应用于刚体时,应注意刚体的一个特点: 学 内力所作的总功为零。现在证明如下:试考察刚体的第j 技 个质点与第k个质点相互作用的F与F这一对内力。 术 如刚体稍微改变其位置,第j个质点与第k个质点的位 大 移各为可与dr,则这一对内力所作功的和为 F,odr tf odr=F, .dr -F, .dr 学 =Fko(dr -drk=eik od(r -rk) 杨由于刚体内任意两质点间的距离保持不变,故有: 维 (r;-r)(r-rk)=常量 盆微分一次,得: 2(r -rkod(r-r=0 即:(r-r)⊥d(r-rk)而Fk∥(r-rk) 于是知刚体的内力作功为零
6.1.1 刚体的性质 3. 刚体的内力作功为零 将动能定理应用于刚体时，应注意刚体的一个特点： 内力所作的总功为零。现在证明如下：试考察刚体的第 j 个质点与第 k 个质点相互作用的 Fjk 与 Fkj 这一对内力。 如刚体稍微改变其位置，第 j 个质点与第 k 个质点的位 移各为 drj 与 drk ，则这一对内力所作功的和为： i k d i ki d k i k d i i k d k F • r +F • r = F • r −F • r ( ) ik d i d k = F • r − r ( ) ik d i k = F • r −r 由于刚体内任意两质点间的距离保持不变，故有： (ri −rk ) •(ri −rk ) =常量 微分一次，得： 2(ri − rk ) • d(ri − rk ) = 0 即：( ) ( ) i k d i k r − r ⊥ r − r 而 // ( ) ik i k F r − r 于是知刚体的内力作功为零。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第六则际力学 中 611刚体的性质 国3.刚体的内力作功为零 科)于是,对于刚体,动能定理4213)就成为: 学 Ek()-Ek(to)=Ayp 技若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功,而 术制保守力作的功可以用势能的减少来表达,即 大 A外=A保外+A1 非保外 4保外=(t0)-(t) 学题于是刚体的功能原理为: TEK (t+V(t)]=Ek(to 0)+r(t)=A 非保外 杨国若4像外=0,则可得刚体的机械能守恒定律: 维 Ek(t)+V()]=[Ek(t0)+V(t0)=E 纮回对于刚体,不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及 内力,就连在动能定理中也无须计及内力,这是不于 般质点组的
6.1.1 刚体的性质 3. 刚体的内力作功为零 于是，对于刚体，动能定理(4.2.13)就成为： Ek (t) − Ek (t 0 ) = A外 若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而 保守力作的功可以用势能的减少来表达，即： A外 = A保外 + A非保外 ( ) ( ) 0 A保外 =V t −V t 于是刚体的功能原理为： [Ek (t) +V(t)] −[Ek (t 0 ) +V(t 0 )] = A非保外 若 A非保外 = 0 ，则可得刚体的机械能守恒定律： [Ek (t) +V(t)] =[Ek (t 0 ) +V(t 0 )] = E 对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及 内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一 般质点组的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第六则际力学 612刚体的几种特殊运动 国 由于受到不同的约束,刚体可以有各种运动形式, 科)每种运动形式对应的自由度也不相同。 学1.平动:作平动时,刚体上每一点的运动情况完全相同, 技 刚体的运动可用一质点来代表,因而这种运动的描述 与质点相同。其自由度为3,或称有3个平动自由度。 术 测2.定轴转动:刚体运动时,刚体上的各质点均绕同一直 大 线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴,这种运动 学 称为刚体的定轴转动。在定轴转动时,刚体上凡是与 轴平行的直线上的质点运动情况相同,即有相同的位 杨 移、速度和加速度。因此,讨论时只需考虑与转轴垂 维 直的一个截面的运动,刚体的位形由此截面的位形决 定。而截面的位形只需不在轴上的一个质点的方位 纮 (常用角位置)表示。显然,定轴转动只有一个自由 度
6.1.2 刚体的几种特殊运动 由于受到不同的约束，刚体可以有各种运动形式， 每种运动形式对应的自由度也不相同。 1. 平动：作平动时，刚体上每一点的运动情况完全相同， 刚体的运动可用一质点来代表，因而这种运动的描述 与质点相同。其自由度为3，或称有3个平动自由度。 2. 定轴转动：刚体运动时，刚体上的各质点均绕同一直 线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴，这种运动 称为刚体的定轴转动。在定轴转动时，刚体上凡是与 轴平行的直线上的质点运动情况相同，即有相同的位 移、速度和加速度。因此，讨论时只需考虑与转轴垂 直的一个截面的运动，刚体的位形由此截面的位形决 定。而截面的位形只需不在轴上的一个质点的方位 （常用角位置）表示。显然，定轴转动只有一个自由 度。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第六则际力学 612刚体的几种特殊运动 国 科)3.平面平行运动:刚体在运动过程中,其上每一点都在 与某固定平面相平行的平面内运动,这种运动称为刚 学 体的平面平行运动,这时。刚体内任一与固定平面相 技 垂直的直线上所有点的运动情况完全相同,因而刚体 米奶表,而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上 的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代 大 学 任一点A(称为基点)在平面上的移动与该截面绕过 该点且垂直于平面的轴线的转动的组合。确定基点的 位置需要两个平动参量,在与基点相对静止的参照系 杨 上,刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动,即定 维 轴转动,这需要一个转动参量。于是,刚体的平面平 纮 行运动的自由度为3
6.1.2 刚体的几种特殊运动 3. 平面平行运动：刚体在运动过程中，其上每一点都在 与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚 体的平面平行运动，这时。刚体内任一与固定平面相 垂直的直线上所有点的运动情况完全相同，因而刚体 的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代 表，而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上 任一点A（称为基点）在平面上的移动与该截面绕过 该点且垂直于平面的轴线的转动的组合。确定基点的 位置需要两个平动参量，在与基点相对静止的参照系 上，刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动，即定 轴转动，这需要一个转动参量。于是，刚体的平面平 行运动的自由度为3。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第六则际力学 612刚体的几种特殊运动 国 4.定点转动:刚体运动时,始终绕一固定点转动,这 科 种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体 学 上,也可以在刚体的延拓部分。可以证明,作定点 技 转动的刚体,在任一瞬时,总可看成绕通过该定点 的某一瞬时轴的转动(下一瞬时则为绕另一瞬时轴 米圆的转动)。不难看出,定点转动的自由度为3(3个 大 转动自由度)。 学 由以上分析可见,刚体平动的描述与质点的运动相 杨口当,只需考虑质心的运动即可,不必另加讨论。所以我 维们以后各节将分别討论刚体的其它三种运动 纮
6.1.2 刚体的几种特殊运动 4. 定点转动：刚体运动时，始终绕一固定点转动，这 种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体 上，也可以在刚体的延拓部分。可以证明，作定点 转动的刚体，在任一瞬时，总可看成绕通过该定点 的某一瞬时轴的转动（下一瞬时则为绕另一瞬时轴 的转动）。不难看出，定点转动的自由度为3（3个 转动自由度）。 由以上分析可见，刚体平动的描述与质点的运动相 当，只需考虑质心的运动即可，不必另加讨论。所以我 们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮