因此使用公式（5）时没有必要对长度这样的量做特别的处理，摘录者注2.传递在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的，若y=f(x,x2,x），且各xi相互独立，则测量结果y的标准不确定度u()的传递公式为：r(0)=2(%)u(x,)(6)台(ax）由（6）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下：对加减法：=x±x，则(y) =u(x)+u (x2)(7)对乘除法：=xx，或y=，则X2[]-[ [](8)对乘方（或开方）：y=x"，则[-](9)五、不确定度的表示由于不确定度u(x)表示的是待测量x的真值在一定的置信概率下可能存在的范围，因而，测量结果常表示为x土u(x)，如：所测长度为(1.05±0.02)m这是不确定度的一般表示法。有时，以不确定度对于待测量的百分比来表示更能看出不确定度的相对大小2()×100%，如：所测长度为1.05m，相对不确即把测量结果的不确定度表示为x定度2%，这是不确定度的百分比表示法。除了以上两种常用的不确定度表示法外，还有一种更为简略的表示法，叫做9
9 因此使用公式（5）时没有必要对长度这样的量做特别的处理， 摘录者注） 2．传递 在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的，若 1 2 3 ( , , ,., ) N y f x x x x ，且各 x i 相互独立，则测量结果 y 的标准不确定度u( y)的传 递公式为： 2 2 2 1 ( ) ( ) N i i i f u y u x x (6) 由（6）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下： 对加减法： 1 2 y x x ，则 2 2 2 1 2 u ( y) u (x ) u (x ) (7) 对乘除法： 1 2 y x x ，或 1 2 x y x ，则 2 2 2 1 2 1 2 u( y) u(x ) u(x ) y x x (8) 对乘方（或开方）： n y x ，则 2 2 u( y) u(x) n y x (9) 五、 不确定度的表示 由于不确定度 u(x)表示的是待测量 x 的真值在一定的置信概率下可能存在的 范围，因而，测量结果常表示为 x u(x)，如：所测长度为(1.05 0.02)m 这是不 确定度的一般表示法。 有时，以不确定度对于待测量的百分比来表示更能看出不确定度的相对大小， 即把测量结果的不确定度表示为 0 0 ( ) 100 u x x ，如：所测长度为1.05m，相对不确 定度 0 2 0 ,这是不确定度的百分比表示法。 除了以上两种常用的不确定度表示法外，还有一种更为简略的表示法，叫做
不确定度的有效数字表不法。所谓有效数字，是指一个数值中，从第一个非0数字算起的所有数字。例如，x=0.0035中的3是第一个非0数字，因此x有两位有效数字：3和5，小数点前后的三个0都是表示数量级的，不是有效数字。又如，x=3.500有四位有效数字3，5，0，0都是有效数字，其中的两个0虽然对该数的大小并无意义，但它却表示这个数的准确程度可达到小数点后的第三位，即x的值约在3.495和3.504之间，它与x=3.5是显然不同的。后者表示小数点后的第一位数（即5）就是可疑的，不确定的。测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐，即测量结果的末位有效数字是不确定的（特殊情况下，不确定度的有效数字可取两位，即测量值的未两位有效数字都是不确定的）。这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量值的有效数字位数。在计算数据时，当有效数字位数确定后，须进行数字修约，修约规则为：四舍六入五成双“五成双”的意思是遇到被舍数字恰为“50”或只有“5”一位数字时，则“5”有时入，有时不入，应使有效数字未位保持为偶数，这样可使舍和入的机会均等，从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问题。例如：经计算所得的长度值为x=3.54825m，若不确定度为0.0003m，则应取测量值的结果为x=3.5482m；若不确定度为0.002m，则应取测量值的结果为x=3.548m；若不确定度为0.05m，则应取测量值的结果为x=3.55m；若不确定度为0.1m，则应取测量值的结果为x=3.5m（如以毫米为单位，则应写成3.5×10mm，不可写成3500mm）这样，从测量值的有效数字，就可大约知道它的不确定度，这就是不确定度的有效数字表示法，显然，这只是一种简略的表示法，在严格的定量实验中，应采用有确定度的一般表示法或百分比表示法。虽然测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，但在运算过程中，不确定度一般要取两位或更多，中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些，以免过早舍入，造成不合理的结果。有效数字的运算有一定的规则，最简单和常用的规则是：当两个数相加减时，有效数字的位数应对齐；当两个数相乘除时，有效数字的10
10 不确定度的有效数字表不法。所谓有效数字，是指一个数值中，从第一个非 0 数 字算起的所有数字。例如，x 0.0035 中的 3 是第一个非 0 数字，因此 x 有两位有 效数字：3 和 5，小数点前后的三个 0 都是表示数量级的，不是有效数字。又如， x 3.500 有四位有效数字 3，5，0，0 都是有效数字，其中的两个 0 虽然对该数的 大小并无意义，但它却表示这个数的准确程度可达到小数点后的第三位，即 x 的值 约在3.495和3.504之间，它与 x 3.5是显然不同的。后者表示小数点后的第一位 数（即 5）就是可疑的，不确定的。测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效 数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐,即测量结果的末 位有效数字是不确定的（特殊情况下，不确定度的有效数字可取两位，即测量值 的末两位有效数字都是不确定的）。这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量 值的有效数字位数。 在计算数据时，当有效数字位数确定后，须进行数字修约，修约规则为：四 舍六入五成双“五成双”的意思是遇到被舍数字恰为“50”或只有“5”一位数字 时，则“5”有时入，有时不入，应使有效数字末位保持为偶数，这样可使舍和入 的机会均等，从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问题。 例如：经计算所得的长度值为 x 3.54825m，若不确定度为0.0003m，则应取 测量值的结果为 x 3.5482m ；若不确定度为 0.002m ，则应取测量值的结果为 x 3.548m；若不确定度为0.05m，则应取测量值的结果为 x 3.55m；若不确定度 为 0.1m ， 则 应 取 测 量 值 的 结 果 为 x 3.5m （ 如 以 毫 米 为 单 位 ， 则 应 写 成 3.5 10 mm 3 ,不可写成3500mm ）.这样，从测量值的有效数字，就可大约知道它 的不确定度，这就是不确定度的有效数字表示法，显然，这只是一种简略的表示 法，在严格的定量实验中，应采用有确定度的一般表示法或百分比表示法。 虽然测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，但在运算过程中， 不确定度一般要取两位或更多，中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些， 以免过早舍入，造成不合理的结果。 有效数字的运算有一定的规则，最简单和常用的规则是： 当两个数相加减时，有效数字的位数应对齐；当两个数相乘除时，有效数字的
位数应与有效数字少的一致。例如，x=1.832m（共有4位有效数字，末位在小数点后第3位），y=1.69m（共有3位有效数字，末位在小数点第2位）则：x+y=3.52m（末位取小数点后第2位）；x-y=0.14m（末位取小数点后第2位);xy=3.10m2（共取3位有效数字）==1.08（共取3位有效数字）y六、实例用电子天平测得一个圆柱体的质量m=80.36g；电子天平的最小指示值为0.01g；不确定度限值为0.02g。用钢尺测量该圆柱体的高度H=H，-H，其中，H,=4.00cm，H,=19.32cm，钢尺的分度值为0.1cm，估读1/5分度；不确定度限值为0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径D（数据如下表所示）；游标卡尺的分度值为0.002cm；不确定度限值为0.002cm2.020D/cm2.0142.0162.0202.0182.0182.0202.0222.0162.020试根据上述数据，计算该圆柱体的密度及其不确定度。（1）圆柱体的质量m=80.36gu(m)= /(ugi(m) +(up2(m)2 = /(0.01)2 +(0.02 / /3)2 = 0.015g(2）圆柱体的高H=H，-H,=(19.32-4.00)cm=15.32cmu(H)= /(ugi(H,)* +(u2(H,)" +(ug(H,) +(ug (H,)*/2-((0.01)+(0.01/V3))=0.029cm(3）圆柱体的直径的平均值D=艺D，=2.0184cm10台11
11 位数应与有效数字少的一致。 例如， x 1.832m （共有 4 位有效数字，末位在小数点后第 3 位）， y 1.69m（共有 3 位有效数字，末位在小数点第 2 位） 则： x y 3.52m （末位取小数点后第 2 位）； x y 0.14m (末位取小数点后 第 2 位)； 2 xy 3.10m （共取 3 位有效数字） 1.08 x y （共取 3 位有效数字） 六、 实例 用电子天平测得一个圆柱体的质量 m 80.36g ；电子天平的最小指示值为 0.01g ；不确定度限值为0.02g 。用钢尺测量该圆柱体的高度 H H2 H1，其中， H1=4.00cm，H2 =19.32cm，钢尺的分度值为 0.1cm，估读 1/5 分度；不确定度限值 为 0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径 D（数据如下表所示）；游标卡尺的分 度值为 0.002cm；不确定度限值为 0.002cm. D/cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 2.018 2.020 2.022 2.016 2.020 试根据上述数据，计算该圆柱体的密度及其不确定度。 （1）圆柱体的质量m 80.36g u m u m u m g B B ( ) ( ( )) ( ( )) (0.01) (0.02/ 3) 0.015 2 2 2 2 2 1 （2）圆柱体的高H H2 H1 (19.32 4.00)cm 15.32cm 2 ((0.01) (0.01/ 3) ) 0.029cm u(H) (u (H )) (u (H )) (u (H )) (u (H )) 2 2 2 B2 2 2 B1 2 2 B2 1 2 B1 1 （3）圆柱体的直径的平均值 10 i 1 i D 2.0184cm 10 1 D
C(D,-D)/(10·(10-1)=0.00078cmU(D)u(D)= /(u (D) +(ugz2(D) = /0.000782 +(0.002 / /3) = 0.0014cm（4）根据上述数据计算材料的密度p。4m4×80.36m_=1.639g/cm3p:V3.1416×(2.0184)2×15.32元D2Hp= u(p)(μ(m) +(2 (D) +(μ(H) = 0.24% mDHpu(p)= u(p)×p=0.24%×p=0.004g/cmpp±u(p)=(1.639±0.004)g/cm第三节数据处理的基本方法一、列表法1、列表的作用在记录和处理数据时，常常把数据列成表格，可以简明地表示有关物理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否合理，及时发现、分析问题。数据列表还可以提高处理数据的效率，在处理数据时，有时把计算过程中的中间值列入表内，可以随时从列表中发现运算是否正确，以利于计算和分析误差。列表还有助于找出有关物理量之间规律性的联系，得出正确的结论或获得经验公式等。2、列表的要求（1）简单明了，便于看出有关量之间的关系。（2）表明所列表格中各符号所代表的物理量的意义，写明其单位，物理量的单位应写在标题栏目中，不要重复地写在各个数值的后面。（3）表格中的数据要正确反映被测物理量的有效数字。（4）必要时需对某一个项目加以说明。二、作图法一图示法和图解法12
12 u (D) (D D)/(10 (10 1)) 0.00078cm 10 i 1 A i u(D) (u A (D)) (uB (D)) 0.00078 (0.002/ 3) 0.0014cm 2 2 2 2 2 （4）根据上述数据计算材料的密度。 3 2 2 1.639 / 3.1416 (2.0184) 15.32 4 4 80.36 g cm D H m V m ) 0.24% H u(H) ) ( D u(D) ) (2 m u(m) ( u( ) 2 2 2 3 0.24% 0.004 / ( ) ( ) g cm u u 3 u() (1.639 0.004)g / cm 第三节 数据处理的基本方法 一、列表法 1、列表的作用 在记录和处理数据时，常常把数据列成表格，可以简明地表示有关物理量之间 的对应关系，便于随时检查测量结果是否合理，及时发现、分析问题。数据列表 还可以提高处理数据的效率，在处理数据时，有时把计算过程中的中间值列入表 内，可以随时从列表中发现运算是否正确，以利于计算和分析误差。列表还有助 于找出有关物理量之间规律性的联系，得出正确的结论或获得经验公式等。 2、列表的要求 （1） 简单明了，便于看出有关量之间的关系。 （2） 表明所列表格中各符号所代表的物理量的意义，写明其单位，物理量的 单位应写在标题栏目中，不要重复地写在各个数值的后面。 （3） 表格中的数据要正确反映被测物理量的有效数字。 （4） 必要时需对某一个项目加以说明。 二、作图法——图示法和图解法
1、作图法的作用与优点物理实验中得出的一系列数据，若用图线来表示，可以比较直观地表达所测物理量之间的关系，有时还可以不通过计算就能读得在某种情况下物理量之间对应值。因此，作图法是研究物理量之间变化规律，找出对应的函数关系，求经验公式的最常用方法之一。如果图线是根据许多数据点描出的平滑曲线，则作图法具有求出多次测量值平均效果的作用，并能对平均值进行修正。通过作图，能简便地从图线中求出实验所需要的某些结果：如对直线y=ax+b，可从图线斜率求出a的值，从截距求出b的值：可以作出仪器的标准曲线：图线还可帮助发现实验中个别的测量错误，并可通过图线对系统误差进行分析等。2、实验数据的图线表示法一一图示法和图解法用图示法表达物理量之间的关系时，应注意以下要求：（1）坐标点和实验图线必须画得清楚正确，不仅能正确反映物理量之间的数量关系，容易读数，而且要求在一张图中尽可能反映更多方面的变化特点。（2）因为所作的图线是供他人阅读的，就必须既无遗漏，又不含糊，使现象的物理本质揭露得清晰完整。现以毫米方格坐标纸作图为例，来说明作图的具体方法，如图2-1-1所示。Ta(cm/s)30.0025.003.800.25.0020.00图客：a~h图比 n inm aen15.00班级姓名.600,11.00简娟10.00601.5002.0002.5003.0003.500 4.000 4.500 5.000 h(cm)图2-1-1作图的例子（图中每一格代表毫米方格纸上1大格，即1厘米，其中应再有十个毫米格，因不容易画，故没有画出来）13
13 1、作图法的作用与优点 物理实验中得出的一系列数据，若用图线来表示，可以比较直观地表达所测 物理量之间的关系，有时还可以不通过计算就能读得在某种情况下物理量之间对 应值。因此，作图法是研究物理量之间变化规律，找出对应的函数关系，求经验 公式的最常用方法之一。 如果图线是根据许多数据点描出的平滑曲线，则作图法具有求出多次测量值 平均效果的作用，并能对平均值进行修正。 通过作图，能简便地从图线中求出实验所需要的某些结果：如对直线 y=ax+b， 可从图线斜率求出 a 的值，从截距求出 b 的值；可以作出仪器的标准曲线；图线 还可帮助发现实验中个别的测量错误，并可通过图线对系统误差进行分析等。 2、实验数据的图线表示法——图示法和图解法 用图示法表达物理量之间的关系时，应注意以下要求： （1）坐标点和实验图线必须画得清楚正确，不仅能正确反映物理量之间的数量 关系，容易读数，而且要求在一张图中尽可能反映更多方面的变化特点。 （2）因为所作的图线是供他人阅读的，就必须既无遗漏，又不含糊，使现象的 物理本质揭露得清晰完整。 现以毫米方格坐标纸作图为例，来说明作图的具体方法，如图 2-1-1 所示。 图 2-1-1 作图的例子 （图中每一格代表毫米方格纸上 1 大格，即 1 厘米，其中应再有十个毫米格，因不容易画，故没有画出来）