当k≠0时 X(x)=Asin(hx)+ B cos(hx) A,B,C,D待定 Y(=Csh(hy)+ Dch(ky) P=LAsin(hr)+bcos(kx ) i[Csh(ky)+ Dch(ky) 由于三角函数具有周期性,因此解中的分离变量k可以取一系列特定 的值kn(n=1,2,3…),即 P=[A sin(k,x)+B, cos(k, x)[Cnsh(k, y)+Dnch(,y)n=1, 2, 3, 由于拉普拉斯方程是线性方程,因此方程的特解的线性组合仍 然是方程的解。 将所有的特解线性组合起来,得到电位函数的通解。 (Ax+ BoCCoy+Do)+ 2[A, sin(k, x)+B,cos(k, x)ICn sh(k, y)+D, ch(k,y)] 解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定
当k≠0时： ( ) sin( ) cos( ) , , , ( ) ( ) ( ) X x A kx B kx A B C D Y y Csh ky Dch ky = + = + 待定 = + + [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] A kx B kx Csh ky Dch ky 由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取一系列特定 的值kn(n=1,2,3……），即： [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] 1,2,3, = + + = A k x B k x C sh k y D ch k y n n n n n n n n n …… 由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍 然是方程的解。 将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。 0 0 0 0 ( )( ) [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] n n n n n n n n A x B C y D A k x B k x C sh k y D ch k y = + + + + n=1 ＋ 解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定
q=0 =0(0≤y<b)(1) =0(0≤y<b)(2) 。=0(0≤x≤a)() b b=U(0≤x≤a)(4) P=(A*+bo(coy+do)t >IA, sin(k, x)+B, cos(k, x)ICn sh(km, 3)+D, ch(kny)] 由条件(1)→B=0,B.=0 由条件(2)→A=0,kn=(n=1,2…) 由条件(3)→D=0 P=2A'n sin(-/x)sh(y)(A, =A,Cn) 由条件(4) l=∑ A sind("x)s(b)
2 = 0 0 0 (0 ) (1) x y b = = 0 (0 ) (2) x a y b = = 0 0 (0 ) (3) y x a = = (0 ) (4) y b U x a = = x y a b = u 0 0 0 0 ( )( ) [ sin( ) cos( )][ ( ) ( )] n n n n n n n n A x B C y D A k x B k x C sh k y D ch k y = + + + + n=1 ＋ 由条件（1） 0 0, 0 = = B B n 由条件（2） 0 0, ( 1,2, ) n n A k n a = = = 由条件（3） 0 = D n ' ' sin( ) ( ) ( ) n n n n n n A x sh y A A C a a = = n=1 由条件（4） ' sin( ) ( ) n n n u A x sh b a a = n=1
将u在(0,a)区间展开为sin(x)傅立叶级数 ∑/nsi =1 4u n=1,3,5. 0n=2.4.6. sh(b) 所以,接地导体槽内部电位分布为 4u n=1,3, dP2(nb sin( )sh(m)
sin( ) n n u f x a = n=1 将u在（0，a)区间展开为 sin( ) 傅立叶级数 n x a 0 4 2 1,3,5... sin 0 2,4,6... a n u n x n f u dx n a a n = = = = ' ( ) n n f A n sh b a = 所以，接地导体槽内部电位分布为 4 1 sin( ) ( ) ( ) u n x n y sh n b a a nsh a = n=1,3
4.3镜像法 ■几个实例: °求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 非均匀感应电荷●q 非均匀感应电荷产生 电位很难求解,可以 等效电荷 等效电荷的电位替代 接地导体球附近有一个点电荷,如图。 等效电荷 q 非均匀感应电荷产生的 q 电位很难求解,可以用 等效电荷的电位替代 工 非均匀感应电荷
4.3 镜像法 几个实例： q q′ 非均匀感应电荷 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 q 非均匀感应电荷 q′ 等效电荷 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代