12矢量场的通量散度 矢量线(力线 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 、矢量场的散度 若矢量场4(八)分布于空间中,在 空间中取任意曲面S,定义: Φ=∫、A()·dS 为矢量A(r沿有向曲面S的通量。 若S为闭合曲面 ④=dA(F).dS 矢量场的通量 物理意义:表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和
1.2 矢量场的通量 散度 一、矢量线（力线） 矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若S 为闭合曲面 ( ) s = r d A S ( ) S = A S r d 若矢量场 分布于空间中，在 空间中取任意曲面S，定义： A r( ) 为矢量 A r( ) 沿有向曲面S 的通量。 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 二、矢量场的散度
讨论:■面元矢量S定义:面积很小的有向曲面 dS:面元面积,其值可认为无限小; n:面元法线方向,垂直于面元平面。 Φ=中A(r)cos(r)s S ds ■通过闭合面S的通量的物理意义 若D>0,闭合面内有产生矢量线的正源 若<0,闭合面内有吸收矢量线的负源 若D=0,闭合面内无源 矢量场的散度 散度的定义 在场空间A(r)中任意点M处作一个闭合曲面,所围的体积 为△V,则定义场矢量A(r)在M点处的散度为 A(F)·d diva(r)=lim s △→>0
( ) cos ( ) s = A r r ds dS n 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面 dS ：面元面积，其值可认为无限小； n ：面元法线方向，垂直于面元平面。 通过闭合面S的通量的物理意义 若 0 ，闭合面内有产生矢量线的正源 若 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源 若 = 0 ，闭合面内无源 三、矢量场的散度 散度的定义 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： A r( ) V A r( ) 0 ( ) div ( ) lim A S A s V r d r → V = 讨论：
散度的物理意义 →矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 ◆矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 (dvF()=p>0正)dhvF()=p<0负娠) (dvF(F)=0无娠) 讨论:在矢量场中, 若div4(r)=p≠0,则该矢量场称为有源场,p为源密度 若dln我(F)=0处处成立,则该矢量场称为无源场
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 若 divA r( ) 0 = ，则该矢量场称为有源场，为源密度 若 divA r( ) 0 = 处处成立，则该矢量场称为无源场 讨论：在矢量场中， ( divF r( ) 0 = 正源) divF r( ) 0 = 负源) ( divF r( ) 0 = 无源）
散度的计算 直角坐标系下: OA OA, aA. diva(r) (e te, +e.)(e A+e,,+eA. ax V·A(F) O 式中:V=(x+e,+e2-)—哈密顿算符 圆柱坐标系下: 1 +e2-) ar raaz w.02=1aA)+101+ r ar r a
( ) x y z A A A divA r x y z = + + ( ) ( ) x y z x x y y z z e e e e A e A e A x y z = + + + + = A r( ) 式中： ( ) x y z e e e x y z = + + 哈密顿算符 散度的计算 直角坐标系下： 圆柱坐标系下： 1 ( ) r z e e e r r z = + + 1 1 ( ) ( ) r z rA A A A r r r r z = + +
球面坐标系下 r ae raine a OA VA4(7)=2(r2A)+ (Sin 0Ae)+ raine ae rsin 0 a 四、散度定理(矢量场的高斯定理) 「v.OM=小A,S 该公式表明了矢量场F(r)的散度在体积V内的积分等于矢量场在 限定该体积的边界面S上的积分(通量)。 散度定理的证明
1 1 ( ( ) ) sin r e e e r r r = + + 2 2 1 1 1 ( ) ( ) (sin ) sin sin r A A r r A A r r r r = + + 球面坐标系下： 四、散度定理（矢量场的高斯定理） ( ) ( ) V s = A r dV A r dS 该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场在 限定该体积的边界面S上的积分（通量）。 F r( ) 散度定理的证明