电子科技大学：《电磁场与波》第一章（1.2）矢量场的环流旋度

1.3矢量场的环流旋度 、矢量的环量 在场矢量A(r)空间中,取一有向闭合 △S=n△S 路径1,则称A(1积分的结果称为 A 矢彙)沿1的环量。即 环流的计算 T=中A(r)l 讨论: 在直角坐标系中 A= e A+e M=c+小+已→=4+4+4女 环流意义:若矢量场环流不为零,则回路所围面积中存在 产生矢量场的漩涡源。 4<

1.3 矢量场的环流 旋度 一、矢量的环量  =  S nˆ S 环流的计算 A C P 在场矢量 空间中，取一有向闭合 路径l，则称 沿l积分的结果称为 矢量 沿l的环量。即： A r( )A r( ) A r( ) ( ) l  = A r dl  环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在 产生矢量场的漩涡源。 在直角坐标系中： A e A e A e A = + + x x y y z z x yy z dl e dx e dy e dz = + + x y z C A dx A dy A dz     = + +   讨论：

1.3矢量场的环流旋度 、矢量的环量 在场矢量A(r)空间中,取一有向闭合 △S=n△S 路径1,则称A(1积分的结果称为 A 矢彙)沿1的环量。即 环流的计算 T=中A(r)l 讨论: 在直角坐标系中 A= e A+e M=c+小+已→=4+4+4女 环流意义:若矢量场环流不为零,则回路所围面积中存在 产生矢量场的漩涡源。 4<

1.3 矢量场的环流 旋度 一、矢量的环量  =  S nˆ S 环流的计算 A C P 在场矢量 空间中，取一有向闭合 路径l，则称 沿l积分的结果称为 矢量 沿l的环量。即： A r( )A r( ) A r( ) ( ) l  = A r dl  环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在 产生矢量场的漩涡源。 在直角坐标系中： A e A e A e A = + + x x y y z z x yy z dl e dx e dy e dz = + + x y z C A dx A dy A dz     = + +   讨论：

口旋度的物理意义 →矢量的旋度为矢量,是空间坐标的函数; 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 旋度的计算 →在直角坐标系下: rotF=e rot fte rot f te rot F OF OF OF aF oF aF e ax ay =(n+日0+2)x(aF+F+已F) ax OX Ov Z FFF

旋度的物理意义 旋度的计算 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 在直角坐标系下： x x y y z z rotF e rot F e rot F e rot F = + + ( ) ( ) ( ) z z y y x x x y z F F F F F F eee y z z x x y       = − + − + −       ( ) e e e e F e F e F x y z x x y y z z ( ) x y z    = + +  + +    =  F x y z xxx e e e x y z FFF    =   

三、斯托克斯定理 A.d=(V×A) △S 意义:矢量场的旋度在曲面上的积分等于 该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。 斯托克斯定理的证明: A·a=(V×A) 由旋度的定义 A·a=(V×A)·c dmos=(rot A); e ∮A·d=(v×A) ∮A·d=J(vxA)d 对于有限大面积s,可将其按如图 方式进行分割,对每一小面积元有 得证!

三、斯托克斯定理 ( ) c  =   d d  A A S l ( ) 0 lim rot ˆ c n S d  → S  =    Α l A e 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图 方式进行分割，对每一小面积元有 c +) • • • 1 1 ( ) c  =    d d  A A S l 2 2 ( ) c  =    d d  A A S l ( ) s  d  A S c d  A l ( ) l S  =    d d   A l A S 斯托克斯定理的证明： ＝ 得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于 该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分

四、矢量场旋度的重要性质 V(V×F)≡0 任意矢量场旋度的散度等于零。 证明:左边=(e+g+日) az aFaF OF aF oF aF e.+ )e] Oy az x -NoF aF 2F02F )+( Oxoy axdz ayaz cxo Oxo ayaz =0

四、矢量场旋度的重要性质    ( ) 0 F [( ) ( ) ( ) ] x y z z z y y x x x y z e e e x y z F F F F F F e e e y z z x x y    +          − + − + −       证明：左边=( + ) 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ( )] 0 z z y y x x F F F F F F x y x z y z x y x z y z       = − + − + −             = 任意矢量场旋度的散度等于零