第三章连续型随机变量 三章型魔杌变 §3.1随机变量及分布函数 教学目的要求: 掌握随机变量、分布函数两个基本概念及分布函数的性质,并会求一些随机变量的分布 函数为后面的学习打下基础 教材分析: 1.概括分析:在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性在许多随机现象中出现的一些变量,它们的取值是可 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),概率论的任务是要研究它 们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计规律呢?因为单点 集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适的“工具 分布函数.本节是概率论中的基本内容之一学习本节,要求学生掌握随机变量、分布函数 等基本概念,并会求一些随机变量的分布函数 2.教学重点:随机变量、分布函数等基本概念,求一些随机变量的分布函数 3.教学难点:并会求一些随机变量的分布函数 教学过程: 、导入: 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个或可列个值, 这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,如“测量某地气温”,“某 型号显像管的寿命”,“某省髙考体格检査时每个考生的身高、体重”等,它们的取值是 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),如同离散型随机变量, 这些变量的取值是随着试验结果的变化而变化的,因而在试验之前是不确定的,概率论 的任务是要研究它们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统 计规律呢?不妨先看下述例子 [例3.1]等可能地在[a,b]上投点这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问 题.在这里“等可能”的含意是指,所投的点落在[a,b]中的任一子区间B=[c,d]中的概率, 与B的长度l成正比,而与B在[a,b]中的位置无关如果记“点落入B中”这一事件为 B,则上述等可能性即意味着 P(B)= b-a b-a 如果投在[a,b]中的点的坐标为o(a≤o≤b),令 (ω)=(a≤ω≤b) 这样就得到了一个随机变量ξ(ω),它的取值充满了整个区间[a,b.如何来描写
第三章 连续型随机变量 ·７４· 第三章 连续型随机变量 §3.1 随机变量及分布函数 教学目的要求： 掌握随机变量、分布函数两个基本概念及分布函数的性质,并会求一些随机变量的分布 函数,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,它们的取值是可 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),概率论的任务是要研究它 们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计规律呢？因为单点 集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适的“工具”---- 分布函数.本节是概率论中的基本内容之一.学习本节,要求学生掌握随机变量、分布函数 等基本概念,并会求一些随机变量的分布函数. 2．教学重点：随机变量、分布函数等基本概念,求一些随机变量的分布函数. 3．教学难点：并会求一些随机变量的分布函数. 教 学 过 程 ： 一、导入: 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个或可列个值, 这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,如“测量某地气温”,“某 型号显像管的寿命”,“某省高考体格检查时每个考生的身高、体重”等,它们的取值是 可以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),如同离散型随机变量, 这些变量的取值是随着试验结果的变化而变化的,因而在试验之前是不确定的,概率论 的任务是要研究它们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统 计规律呢？不妨先看下述例子. [例 3.1] 等可能地在[a,b]上投点.这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问 题.在这里“等可能”的含意是指,所投的点落在[a,b]中的任一子区间 B=[c,d]中的概率, 与 B 的长度 l B 成正比,而与 B 在[a,b]中的位置无关.如果记“点落入 B 中”这一事件为 B,则上述等可能性即意味着 P(B)= b a lB − = b a d c − − . 如果投在[a,b]中的点的坐标为ω(a≤ω≤b),令 (ω)=ω (a≤ω≤b) 这样就得到了一个随机变量 (ω),它的取值充满了整个区间[a,b].如何来描写
第三章连续型随机变量 ξ(ω)的统计规律呢?你可能会想到,既然对于离散型随机变量,可以用分布列描述它 们的统计规律,何不仍采用“分布列”这个工具呢?既然有这个想法,那就来看看这个 5(u)的“分布列”吧!对于上述的,它取[a,b]中任意一点值ωo的概率为 P((o)=)=P(=0) 因为单点集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适 的“工具”,前面己经指出“点落入B中”的概率与B的长度lB成正比,设B=[c,d]c[a,b], 就有 P(≤5≤d)=P(点落入B中)=P(B)=2a=c 又因为P{2=d}=0,所以 P(c≤≤d)=P(c≤5<d) 而 P(c≤5d)=P(5<d)-P(5<c) 于是 P(c≤≤d)=P(5<d)-P(<c) 这就告诉我们,为了掌握ξ(ω)的统计规律,只要对任意实数x,知道 P(5(ω)<x)=?就够了这个概率当然与x有关,为此记 F(x)=P(()<x) 于是F(x)对所有x∈(-∞,+∞)都有定义,因而F(x)是定义在(-∞,+∞)上,取值于 [0,1]的一个函数.现在就引入下述定义 随机变量及分布函数的概念: 定义3.1定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数ξ(ω),称为是样本空间9上 的(实值)随机变量,并称 F(x)=P(5(o)<x),x∈(-∞,-∞) 是随机变量ξ(ω)的概率分布函数简称为分布函数或分布 三、分布函数的性质 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数,都具有下述性质 (1)单调性.若x<x2,则F(x1)≤F(x2);
第三章 连续型随机变量 ·７５· (ω)的统计规律呢？你可能会想到,既然对于离散型随机变量,可以用分布列描述它 们的统计规律,何不仍采用“分布列”这个工具呢？既然有这个想法,那就来看看这个 (ω)的“分布列”吧!对于上述的,它取[a,b]中任意一点值ω0 的概率为 P( (ω)=ω0)=P(ω=ω0)= b a l − 0 =0 因为单点集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适 的“工具”,前面已经指出“点落入 B 中”的概率与 B 的长度 l B 成正比,设 B=[c,d]⊂[a,b], 就有 P(c≤ ≤d)=P(点落入 B 中)=P(B)= b a d c − − 又因为 P{ =d}=0,所以 P(c≤ ≤d)＝P(c≤ <d) 而 P(c≤ <d)=P( <d)-P( <c) 于是 P(c≤ ≤d)=P( <d)-P( <c) 这就告诉我们 , 为了掌握 ( ω ) 的统计规律 , 只要对任意实数 x, 知 道 P( (ω)<x)=？就够了.这个概率当然与 x 有关,为此记 F(x)＝P( (ω)<x) 于是 F(x)对所有 x∈(- ,+ )都有定义,因而 F(x)是定义在(- ,+ )上,取值于 [0,1]的一个函数.现在就引入下述定义. 二、随机变量及分布函数的概念: 定义 3.1 定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数 (ω),称为是样本空间Ω上 的(实值)随机变量,并称 F(x)=P( (ω)<x),x∈(- ,- ) 是随机变量 (ω)的概率分布函数.简称为分布函数或分布. 三、分布函数的性质: 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数,都具有下述性质: (1) 单调性. 若 x1<x2,则 F(x1)≤F(x2);
第三章连续型随机变量 (2)规范性.F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1 (3)左连续性.F(x-0)=F(x) 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3) 先证明(2),因为0≤F(x)≤1,且F(x)单调,故 lim F(x)=lim F(m) lim F(x)=lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1((0)=01(05n+小m≤50)<n+) im∑P≤5(o)<1+)=lmF(m)-mF(m) N-o r=m 所以必有 F(x)=0,F(x) 成立 再证明(3),因为F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xa<…,xn→x(n→∞) 明 lim F(x=F(x) 立即可.这时,有 F(x)-F(x)=P(x≤5<x)=P代U[n≤5(o)<xm ∑P(xn≤{(o)<xn)=∑[F(xn)-F(x lim [F(xn 1)-F(xu)]=lm F(xa1)-F(xu) 由此即得 F(x)=lim F(xn-1=F(x-o) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数 知道了随机变量ξ(ω)的分布函数F(x),不仅掌握了{5(o)<x}的概率,而且还可 以计算下述概率 P{2(o)≥x}=1-F(x)
第三章 连续型随机变量 ·７６· (2) 规范性. F(- )= x→− lim F(x)=0, F(+ )= x→+ lim F(x)=1; (3) 左连续性.F(x-0)=F(x). 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3). 先证明(2),因为 0≤F(x)≤1,且 F(x)单调,故 x→− lim F(x)= m→− lim F(m) x→+ lim F(x)= n→+ lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1=P(- < (ω)<+ )=P + + =− n n () n 1 = ( ) + =− + n P n () n 1 = ( ) = →− →+ + n i m m n lim P i () i 1 = n→+ lim F(n)- m→− lim F(m) 所以必有 F(x)=0, F(x)=1 成立. 再证明(3),因为 F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限 F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xn<…, xn→x(n→ ) 证明 n→+ lim F(xn)=F(x) 成立即可.这时,有 F(x)-F(x1)=P(x1≤ <x)=P ( ) = + 1 1 n n n x x = ( ) = + 1 1 ( ) n n n P x x = = + − 1 1 ( ) ( ) n n n F x F x = n→ lim [F(xn+1)-F(x1)]= n→ lim F(xn+1)-F(x1) 由此即得 F(x)= n→ lim F(xn+1)=F(x-0) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数. 知道了随机变量 (ω)的分布函数 F(x),不仅掌握了｛ (ω)<x｝的概率,而且还可 以计算下述概率. P{ (ω)≥x}=1-F(x)
第三章连续型随机变量 P{2(o) P{5(o)>x}1-F(x+0) P{5(o)=x}=F(x+0)-F(x) 进一步,形如{x:≤5()≤x2}、{x<()x、{x15()≤x2、{x1≤5(o)<x 这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由F(x)算出来 所以F(x)全面地描述了随机变量ξ(ω)的统计规律.既然分布函数能够描述一般的随机 变量的统计规律,因而分布函数这个概念比分布列更重要.不过,对离散型随机变量来说, 用得较多的还是分布列,那是因为它比较方便的缘故 四、离散型随机变量的分布函数与分布列之间的关系 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系?如果5(o) 是一个离散型随机变量,它的分布列为 (P, p2 那么ξ(ω)的分布函数为 F(x)=P(5(o)()=∑P(5(o)=a) 五、应用举例: [例3.2]若5只取一个值a,即有 P(5=a)=1 求的分布函数F(x) [解]易知 F(x)=P(5<x) 0.x≤a 其图形如图3.1所示 由图3.1我们看到F(x)是一个左连续的、阶梯状的函数,在x=处有一个跳跃,其跃 度为 1=P(5=a)
第三章 连续型随机变量 ·７７· P{ (ω)≤x}=F(x+0) P{ (ω)>x}1-F(x+0) P{ (ω)=x}=F(x+0)-F(x) 进一步,形如{x1≤ (ω)≤x2}、{x1< (ω)<x2}、{x1< (ω)≤x2}、{x1≤ (ω)<x2} 这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由 F(x)算出来, 所以 F(x)全面地描述了随机变量 (ω)的统计规律.既然分布函数能够描述一般的随机 变量的统计规律,因而分布函数这个概念比分布列更重要.不过,对离散型随机变量来说, 用得较多的还是分布列,那是因为它比较方便的缘故. 四、离散型随机变量的分布函数与分布列之间的关系: 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系？如果 (ω) 是一个离散型随机变量,它的分布列为 1 2 1 2 p p a a 那么 (ω)的分布函数为 F(x)=P( (ω)<x)= = a x i i P(() a ) 五、应用举例: [例 3.2] 若 只取一个值 a,即有 P( =a)=1 求 的分布函数 F(x). [解] 易知 F(x)=P( <x)= x a x a 0, 1, 其图形如图 3.1 所示. 由图 3.1 我们看到 F(x)是一个左连续的、阶梯状的函数,在 x=a 处有一个跳跃,其跃 度为 1=P( =a)
第三章连续型随机变量 [例3.3]设ξ是参数为的普哇松分布的随机变量, P(E-K KI k=0,1,2, 求的分布函数 [解]由公式知道 F(x)=P(5)=∑P(=k)=∑ 由此,F(x)的图形如图3.2所示 由图3.2可以看到,F(x)也是一个阶梯状的左连续函数,在x=k(k=0,1,2,…处有跳 跃,跃度为ξ在x=k处的概率 F(k+0)-F(k)=P(5=k),e-,k=0,1,2,… 现在再来看例31中的随机变量ξ(o),它的分布函数F(x)是什么? [例3.1](续)当x<a时,易知有 F(x)=P(2(u)<x) 当a≤x≤b时,则有 F(x)=P(2(o)(x)=P(a≤5(o)<x) 当xb时,显然有 F(x)=P(5(o)<x)=1 综上所得,()的分布函数为 0. x< a a≤x≤b 其图形如图3.3所示 在第二章中我们已经知道,在单位时间内来到电话交换局的电话呼唤次数、来到公 共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机数以及母鸡下蛋数等都可以用普哇松分布来 描述,即
第三章 连续型随机变量 ·７８· [例 3.3] 设 是参数为 的普哇松分布的随机变量,即 P( =k)= − e k k ! , k=0,1,2,… 求 的分布函数. [解] 由公式知道 F(x)=P( <x)= = k x P( k) = − k x k e k ! 由此,F(x)的图形如图 3.2 所示. 由图 3.2 可以看到,F(x)也是一个阶梯状的左连续函数,在 x=k(k=0,1,2,…)处有跳 跃,跃度为 在 x=k 处的概率. F(k+0)-F(k)=P( =k) − e k k ! , k=0,1,2,… 现在再来看例 3.1 中的随机变量 (ω),它的分布函数 F(x)是什么？ [例 3.1](续) 当 x<a 时,易知有 F(x)=P( (ω)<x)=0 当 a≤x≤b 时,则有 F(x)=P( (ω)<x)=P(a≤ (ω)<x)= b a x a − − 当 x>b 时,显然有 F(x)=P( (ω)<x)=1 综上所得, (ω)的分布函数为 F(x)= − − x b a x b b a x a x a 1, , 0, 其图形如图 3.3 所示. 在第二章中我们已经知道,在单位时间内来到电话交换局的电话呼唤次数、来到公 共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机数以及母鸡下蛋数等都可以用普哇松分布来 描述,即