第三章连续型随机变量 以,k=0.1,2 并且还知道其中的参数A为单位时间内(来到的呼唤数、乘客入数、飞机数、下蛋数等) 的平均值.如果现在考察的不是单位时间,而是[0,t],那么这个平均值应该与时间t成正 比,也就是At,又因为普哇松分布具有可加性,所以在[0,t]这段时间内(来到的呼唤数、 乘客数、飞机数、下蛋数等)应该服从 P(()4)(nc,k-12 这是一个参数为At的普哇松分布.由此可知,上述在[0,t]时间内来到的呼唤数、乘客 数、飞机数、下蛋数等虽然来源于不同的实际问题,却有相同的数量规律——都可以用 普哇松分布来描述,在数学(排队论)中称它们是“普哇松流”,以机场跑道为例,在来到 一架飞机以后,这条跑道就空闲着等待着下一架飞机的到来,这段空闲着的时间称为“等 待时间”,它的长短当然是随机的在公用事业(电话、公共汽车、飞机场等)的设计与规 划中,这个“等待时间”太长和太短都是不合理的,因而有必要研究这个“等待时间”有 怎样的统计规律?现在不妨仍以“母鸡下蛋”的语言来讨论这个问题,这就是下面的例 子 [例3.4]设母鸡在任意的[ta,to+t]的时间间隔内下蛋个数服从 P(5,(o)==(4)。-x,k=0,1,2, 问两次下蛋之间的“等待时间”n服从怎样的分布函数? [解]设前一次下蛋时刻为0,因为n不可能为负,所以当t≤0时,显然有 P(n<t)=0 而当t>0时,因为在等待时间内鸡不下蛋 (n>t)=(5()=0) 所以有 P(n)>=P(E,()=0)=6 于是 P(n≤t)=1P(n>t)=1-e4 还因为 (n4)Un≤1-n 由概率的下连续性(定理1.1)即得
第三章 连续型随机变量 ·７９· P( (ω)=k)= − e k k ! , k=0,1,2,… 并且还知道其中的参数 为单位时间内(来到的呼唤数、乘客入数、飞机数、下蛋数等) 的平均值.如果现在考察的不是单位时间,而是[0,t],那么这个平均值应该与时间t成正 比,也就是 t,又因为普哇松分布具有可加性,所以在[0,t]这段时间内(来到的呼唤数、 乘客数、飞机数、下蛋数等)应该服从 P( t(ω)=k)= t k e k t − ! ( ) , k=0,1,2,… 这是一个参数为 t 的普哇松分布.由此可知,上述在[0,t]时间内来到的呼唤数、乘客 数、飞机数、下蛋数等虽然来源于不同的实际问题,却有相同的数量规律----都可以用 普哇松分布来描述,在数学(排队论)中称它们是“普哇松流”,以机场跑道为例,在来到 一架飞机以后,这条跑道就空闲着等待着下一架飞机的到来,这段空闲着的时间称为“等 待时间”,它的长短当然是随机的.在公用事业(电话、公共汽车、飞机场等)的设计与规 划中,这个“等待时间”太长和太短都是不合理的,因而有必要研究这个“等待时间”有 怎样的统计规律？现在不妨仍以“母鸡下蛋”的语言来讨论这个问题,这就是下面的例 子. [例 3.4] 设母鸡在任意的[t0,t0+t]的时间间隔内下蛋个数服从 P( t(ω)=k)= t k e k t − ! ( ) , k=0,1,2,… 问两次下蛋之间的“等待时间” 服从怎样的分布函数？ [解] 设前一次下蛋时刻为 0,因为 不可能为负,所以当 t≤0 时,显然有 P( <t)=0 而当 t>0 时,因为在等待时间内鸡不下蛋 ( >t)=( t(ω)=0) 所以有 P( >t)=P( t(ω)=0)=e - t 于是 P( ≤t)=1-P( >t)=1-e - t 还因为 ( <t)= = − 1 1 n n t 由概率的下连续性(定理 1.1)即得
第三章连续型随机变量 P(nt)Pn≤t--}=mPn≤t lim 1-e 4-# 从而描述的分布函数为 e I> F(t)=p(n<t)= 0.t≤0 概率论中称这个分布函数是参数为λ的指数分布.我们已经看到,许多“等待时间” 是服从这个分布的,一些没有明显“衰老”机理的元器件(如半导体元件)的寿命也可以 用指数分布来描述,所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用 由上面的讨论可以看到分布函数是实变量x的单值函数这是我们在数学分析中早已熟 悉的对象而且F(x)又具有相当好的性质有利于进行数学处理因而引入随机变量和分布 函数这两个概念,就好像在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁,有了这座桥梁,“数 学分析”这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来由此可以体会到随机 变量及分布函数这两个概念的地位和作用在下面的讨论中还可以进一步看到数学分析 这个工具是如何发挥它的功能的 §32连续型随机变量 教学目的要求: 掌握连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会 求一些连续型随机变量的密度函数为后面的学习打下基础 教材分析 1.概括分析:在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.本节要研究另一类十分重要而且常见的随机变量 连续型随机变量.它是概率论中的基本内容之一学习本节,要求学生掌握连续型随机 变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会求一些连续型随机变 量的密度函数 2.教学重点:连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的性质,连续型随机变量的密度函数的求法 3.教学难点:连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的求法 教学过程 、连续型随机变量和概率密度函数的概念 在第二章里,已经对离散型随机变量作了一些研究,下面将要研究另一类十分重要 而且常见的随机变量——连续型随机变量
第三章 连续型随机变量 ·８０· P( <t)=P − = 1 1 n n t = − → n P t n 1 lim = − − − → n n e 1 1 lim 1 =1- t e − 从而描述 的分布函数为 F(t)=P( <t)= − − 0, 0 1 , 0 t e t t 概率论中称这个分布函数是参数为 的指数分布.我们已经看到,许多“等待时间” 是服从这个分布的,一些没有明显“衰老”机理的元器件(如半导体元件)的寿命也可以 用指数分布来描述,所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用. 由上面的讨论可以看到,分布函数是实变量 x 的单值函数,这是我们在数学分析中早已熟 悉的对象,而且 F(x)又具有相当好的性质,有利于进行数学处理,因而引入随机变量和分布 函数这两个概念,就好像在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁,有了这座桥梁,“数 学分析”这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来.由此可以体会到随机 变量及分布函数这两个概念的地位和作用.在下面的讨论中,还可以进一步看到数学分析 这个工具是如何发挥它的功能的. §3.2 连续型随机变量 教学目的要求： 掌握连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会 求一些连续型随机变量的密度函数,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.本节要研究另一类十分重要而且常见的随机变量 ----连续型随机变量.它是概率论中的基本内容之一.学习本节,要求学生掌握连续型随机 变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会求一些连续型随机变 量的密度函数. 2．教学重点：连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的性质,连续型随机变量的密度函数的求法. 3．教学难点：连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的求法. 教 学 过 程 ： 一、连续型随机变量和概率密度函数的概念: 在第二章里,已经对离散型随机变量作了一些研究,下面将要研究另一类十分重要 而且常见的随机变量----连续型随机变量
第三章连续型随机变量 定义3.2若5(ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数p(x),使对任意 的x,有 F(x)= p(y)dy 则称5(ω)对连续型随机变量,相应的F(x)为连续型分布函数,同时称p(x)是F(x)的概 率密度函数或简称为密度 密度函数的性质 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数p(x)必具有下述性质 (1)p(x)≥0; P(rdx= 反过来,任意一个R上的函数p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义3.2定义 个分布函数F(x) 如果随机变量5(o)的密度函数为p(x),则对任意的x、x2(x<x2),有 P(x<5(o)<x2)=F(x2)-F(x1)= p(y)d) 这一结果有很简单的几何意义:ξ(ω)落在[x,x]中的概率,恰好等于在区间[x,x2]上 由曲线y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图3.4中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x轴以上)的面积为 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量ξ(ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的x,P(5(o)=x)=0,于是有 P(x≤()0≤)P(x≤(o)x)+(0)=8)+P(x≤())p(地 如果p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对p(x)的连续点必有 F(x)=p(x) 四、应用举例: 在例3.1中已经知道
第三章 连续型随机变量 ·８１· 定义 3.2 若 (ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数 p(x),使对任意 的 x,有 F(x)= − x p(y)dy 则称 (ω)对连续型随机变量,相应的 F(x)为连续型分布函数,同时称 p(x)是 F(x)的概 率密度函数或简称为密度. 二、密度函数的性质: 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数 p(x)必具有下述性质: (1) p(x)≥0; (2) + − p(x)dx =1. 反过来,任意一个 R 上的函数 p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义 3.2 定义一 个分布函数 F(x). 如果随机变量 (ω)的密度函数为 p(x),则对任意的 x1、x2(x1<x2),有 P(x1≤ (ω)<x2)=F(x2)-F(x1)= 2 1 ( ) x x p y dy 这一结果有很简单的几何意义: (ω)落在[x1,x2]中的概率,恰好等于在区间[x1,x2]上 由曲线 y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图 3.4 中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x 轴以上)的面积为 1. 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系: 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量 (ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的 x,P( (ω)=x)=0,于是有 P(x1≤()≤x2)=P(x1≤()<x2)+P(()=x2)=P(x1≤()<x2)= 2 1 ( ) x x p y dy 如果 p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着 p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对 p(x)的连续点必有 ( ) ( ) ( ) F x p x dx dF x = = 四、应用举例: 在例 3.1 中已经知道
第三章连续型随机变量 x<a F(x)=x-a aa≤x≤b 显然这时有 0, F(x)=p(x)= a<x<b b >6 在x=a点和x=b点,F(x)的导数不存在,在这两个点上可以补充定义: 它的值也可以,因为两个点上的函数值并不影响p(x)在一个区间上的积分值),这时 显然有F(x)p)d成立,所以F(x)的密度函数为p(x),F()是一个连续型分布在 相应的随机变量可能取值的区间[ab]上,它的密度函数p(x)是一个常数(=—),这样的 分布常常称为“均匀分布”,其中“均匀”的意思就是例3.1中开始时提到的“等可能” 的意思.p(x)图形如图3.5所示 由图3.5可以看出,(o)落在[a,b]中任一子区间[x,x2]中的概率,即小曲边梯形的 面积,的确与[x,x]的位置无关,而只与[x,x2]的长度有关 [例3.4](续)在例3.4中,已知 F()s/1-e-,x>0 0,x≤0 如果 de 0 0 这时显然有F(x)=p()d,-0<x<+成立,所以指数分布也是一个连续型的分布 它的密度函数p(x)是一个指数函数,其图形如图3.6所示 [例3.5]若μ,G(σ>0)是两个常数,则 是一个密度函数,因为这时p(x)>0为显然,此外还可以验证有
第三章 连续型随机变量 ·８２· F(x)= − − x b a x b b a x a x a 1, , 0, 显然这时有 − = = x b a x b b a x a F x p x 0, , 1 0, ( ) ( ) 在 x=a 点和 x=b 点,F(x)的导数不存在,在这两个点上可以补充定义: p(x)= b − a 1 , x=a 或 x=b (其它的值也可以,因为两个点上的函数值并不影响 p(x)在一个区间上的积分值),这时 显然有 F(x)= − x p(u)du 成立,所以 F(x)的密度函数为 p(x),F(x)是一个连续型分布.在 相应的随机变量可能取值的区间[a,b]上,它的密度函数 p(x)是—个常数(= b − a 1 ),这样的 分布常常称为“均匀分布”,其中“均匀”的意思就是例 3.1 中开始时提到的“等可能” 的意思.p(x)图形如图 3.5 所示. 由图3.5可以看出, ()落在[a,b]中任一子区间[x1,x2]中的概率,即小曲边梯形的 面积,的确与[x1,x2]的位置无关,而只与[x1,x2]的长度有关. [例 3.4](续) 在例 3.4 中,已知 F(x)= − − 0, 0 1 , 0 x e x x 如果 p(x)= − 0, 0 , 0 x e x x 这时显然有 F(x)= − − + x p(u)du, x 成立,所以指数分布也是一个连续型的分布, 它的密度函数 p(x)是一个指数函数,其图形如图 3.6 所示. [例 3.5] 若,(>0)是两个常数,则 p(x)= 2 2 2 ( ) 2 1 − − x e ,-∞<x<∞ 是—个密度函数,因为这时 p(x)>0 为显然,此外还可以验证有