置信概率,分别控制的置信域不等于联合控制的置信域;不仅置信 域形状不同,置信域大小也不同。以二元情况为例,假定X、Y是彼 此独立的正态变量,已知其均值为零,其标准差分别为a1,a2,各别 控制时取X和Y的显著水平均为a,则它们的置信界分别为: X:士 Y:±z1-d2d2 由于XY互相独立,所以XY同时受控的概率为(1-a)2。令矩 形控制的虚报概率为a,则相应的置信度为 (-a)2 由上式可以求出 即 1-a/2=(1+√1-a)/2 因为X、Y的置信区间长度分别为 a)/2O2 所以矩形控制域的面积A1为 小a)201 2.10) 从联合控制看,式(2.7)变成 y k 由于x、y都服从N(0,d2),而两个标准正态变量之和服从x2 分布,则有 2<x。=1 对应置信度(1-a)的置信域边界方程为 +22=2 这是一个椭圆,其面积A2为 A2=r2or 36
当自由度为2时,由x的密度函数,知 f(x2)= 72 (2.11) 对(2.11)积分,下界为零,上界为a则有 f(2)dxa x 即 2/2 经过简单变换,可得 X2,。=-2l ia 于是联合控制时,置信域的面积A2为 A 2o,o2In (2.12) 比较式(2.10)和(212),得 A12x31+a rIna 注意,对于小概率a,矩形控制域的面积A3总是大于椭圆控 表2-1 Al/ajaz A2/ano A1/A2 0.10 15.193 14.468 1.050 0.05 20.008 18.823 1.063 e.025 24.908 23.178 1.075 31.485 28.935 1.088 0.005 36.3H 33.290 1.991 制域的面积A2。表2.1示例列出了这两种质量控制方法的控制域 面积比,不难看出随着a的减小,比值A1/A2越来越大。这种畸变 现象随着欲控质量特性数目p的增加越来越严重。读者可以自已 验证一下,比如当P=2,a=0.01时,A1!A2=1.088,如果p=3,a 0.01,则椭球的体积比A1A2=1.257
第二节总体协差阵己知蚋均俏 向量控制图(X2图) 、由u图类推到X图 同一元控制类似,多元控制实质上就是一个假设检验问题。令 多元正态分布的均值向量为μ,则工序均值问量控制等价于以下 假设检验 H u=po 这里,为指定值或估定的标准值 首先假定总体协差阵Σ是已知的当只有1个质量特性,即p 1时,多元正态分布退化为一元正态分布N(p,a2),上式变为 p=uo H1:≠ 使用熟知的检验统计量ε进行检验。 /n(x-) (2.13) 这里u是标准化正态变量,服从以均值为零、标准差为1的正态分 布。由统计量a构成的休哈待控制图可以表达为 CL=0 LCL=-3 如果采样值不进行标准化变换,则当总体标准差已知时由检 验统计量z构成的控制图可以表达为 UCL=十Aao CL LCL=Ho-Ao 38
上式是一元质量控中鸿知的表达式,式中A=3/√n,n为样本 含量、尽管d通常是用样本标准差s估计的,但总是按正态分布 建立控制图。这是休哈特图的基本特点之一。在第一章里讨论过 把已知总体标准差的一元均值检验类推到多元情况,得到关于均 值向量的检验统计量x2, x2=n(X-)∑(X-) (2.14) 式(2.14)中,(X-)为p维向量,Σ为已知的或规定的总体协差 阵。给定显著水平a,借助x2表查到临界值,即为检验由X表达的 均值问量μ是否显著偏离已知总体均值问量坫。由式(2.14)表达 的统计量x建立的控制图,称为X2图。取显著水平为a,则x图 的上控制界为 UCL=X (2.15) 式(2.15)中,M.表示自由度为p的x2分布的上侧a分位数,即 显然,所谓控制图就是对工序重复进行显著性检验的图示工 具,显著水平就是质量管理中常用的术语虚报概率。为了符合习惯 用语,以后一律称虚报概率 注意在式(2.14)中,(X一)习(X一)等价于由点 (x1,x 到点=(10,p20,…,H)的马氏距离。距离是非负的,所以x图 的下控制界总是为零。如果样本的ⅹ计算值始大于上控制界,就 认为该工序失控,应当查明异常原因并予以排除。 、椭圆控制域的确定 在本章第-节中,曾证明二元联合控制的置信域是一个椭圆, 当然对于二元情况也可以不用上下控制界,而画出置信椭圆界,把 两个质量特性的采样数据直接描在坐标面上。如果点子落在椭圆
内就认为工序受控,落在椭圆外就认为工序失控。 把式(2.14)右端按二元情况展开,并取统计量x2的临界值为 x.,就得到椭圆控制域的边界方程。为了符合习惯记法,在下式中 用x,y分别代替x1,x2 X2, a roY (-P)2,(y一,)220(x一,)(y一px (2.16) 如果用标准化变量的记法,式(2.16)可以改写为 n(1-r2)(+共-2rg11)=x2, (2.17) 关于椭圆的画法,尽管可以用一般解析几何的坐标变换法,但 很不方便。比较简便的方法是通过求特征根确定椭圆的长轴和短 轴,再借助公式(2.9a)确定长轴的倾角,然后用工程制图中常用的 “四圆弧法”画出近似椭圆。由 得特征根方程 Σ一A|=2-(a2+a3)A+a2o3-a2y 2.18) 解(2.18),得特征根 (G+a)土√(a2+G》2-4(c22-a2 (2.19) 按照二次方程根与系数的关系式,可以通过以下两式对两个 特征根的正确性加以检验 A1+l2=02+a λ12=a3-a2y 从椭圆的标准表达式,可以直接写出椭圆的两个半径,即半长 对于多元控制图,通常规定点子越过控制界表明工序处于失控状态;如果点子落 在控制界上认为工序仍处于受控状态,这同一元控制图的判断准则有所不同 40