第二章均值向量控制图 在多元质量控制中,均值向量控制开发得最早,理论也较为完 整。为了从理论上阐明多元质量控制同一元质量控制的区别,本章 开始先给出关于多元控制不能用各别一元控制代替的证明,并通 过二元情况直观地加以例证。接着讨论的ⅹ图如T2图都注意了 同一元情况类比,以便于读者理解和掌握这些方法。本章还对T2 图的优化设计及小样本条件下的T2图作了讨论。 第一节关于多元控制不能用个别一 元控制代替的证明 一般情况的证明 假定有p个欲控质量特性,令 X=(x1,x2,…,x,) 不失一般性,使坐标原点位于均值处时,正态分布的密度函数为 f(x)=12x-5||-exp|-1x2x (2.1) 式中,Σ为协差阵。取显著水平为a,则 …f(X)dx1dx:…dxe=1-a (2.2) 式(2.2)中,积分域D就是p元联合控制的控制域 由于正态分布的对称性,在控制域D的边界上分布密度应当 处处相等。所以给定α就相当于取一个等值界, f(x)=k (2.3) 式中k—与a相对应的常数。 比较式(23)和(2.1),得
XEX=k (2.4) 式中k一与k相对应的即与a相对应的常数。 我们知道,X∑X是向量X的二次式。方程(2.4)所表达的 是p维空间的一个椭球。椭球中心在零向量处,XΣX用解析形 式写出,即 XEX R R (2.5) 1·∫=1 式中R-随机向量的相关阵行列式; R—r,的余因子。 于是,对应于显著水平a,有 R sk (2.6) d;; 如果各分量间互不相关,即 0,当i≠时 则椭球的主轴同坐标轴重合。 如果各分量间存在相关,即 r;≠0,当i≠j时, 则椭球的对称轴同p个坐标轴之间有一定夹角。用正交变换可以 确定各主轴方向。无论哪种情况,多元质量特性的联合控制域总是 一个椭球或超椭球;而对各质量特性进行个别控制时,其控制域则 是p维空间的超长方体。因此可以得出结论:当P≥2且变量之间 相关时,不能用p个变量的各别控制代替力个变量的联合控制。 这就是说,在多元正态分布下变量之间相关时,如果把p元均值 向量的显著性检验,化为p个一元正态变量的显著性检验,必然 会导致错误的结论。 从定量上分析,取显著水平为a则联合超椭球控制域的置信 度为(1-a)。但对各变量分别进行控制时,按 Bonferroni公式,若 力个变量间互相独立,则超长方体控制域的置信度为(1-a/)2 即虚报概率为 32·
当然,在一般情况下各变量间是不独立的,上式也不成立。从条件 概率导出各别控制时的虚报概率表达式是十分复杂的。但可以推 想随着p的增大和变量间棉关程度的提高,各别控制时控制域 的扭曲会变得更加严重,因而欠控和过控现象也更加剧 当p增加且变量之间相关程度较弱时,可以把变量近似看作 不相关,在a较小时有 即可用各别检验代替联合检验,但各别检验显著水平为 二、二元情况示例 下面以p=2的情况加以说明: 为了方便,令x1=x,x2=y,则式(2.6)变成 + k 根据解析几何关于有心二次曲线的性质,对于标准型,即 Az+2Bry+Cy=D 曲线的类型可以由以下判别式判定 当AC-B2>0,曲线为椭圆; 当AC-B2<0,曲线为双曲线 由式(2.7), AC-B2 (2.8) 关于r有以下三种情况: 当r=0,即随机变量X、Y互相独立时,式(2.7)的图象为椭 圆,其对称轴与坐标轴重合。 当r=±1时,XY属无心曲线,不在所讨论之列。 在一般情况下,0<|<1,这时式(2.8) AC--B2 33 卢体
式(2.7)的图象为椭圆,椭圆的中心在坐标原点。由解析几何还知 道,椭圆的半长轴与x轴的半夹角θ(锐角)由下式确定: tan 128 C 2 fan 研究式(2.9)、(2.9a),可以引出以下结论: 当σ=,1>>0,即r>0时,椭圆的半长轴同x轴成45°夹角 (因为反正切无穷大对应90°); 当σ=σy,a2<0,即r<0时,椭圆的半长轴同x轴成135°夹 角; 当a=σy,o2y=0,即r=0时,变为不确定椭圆退化为一族 圆,当然圆的任意两个互相垂直的直径都是对称轴; 当σ≠a,y>0,即r>0时,椭圆长轴偏离45线,>σ,向 顺时针方向偏转,反之向逆时针方向偏转; 当a≠σ1,o<0,即r<0时,椭圆长轴偏离135°线,n>,向 逆时针方向偏转,反之向顺时针方向偏转; 当a2>,xy=0,即r=0时,椭圆长轴与x轴重合 当σ<σ,n,=0,即r=0时椭圆长轴与y轴重合。 另外,从相关系数的含义容易得出结论: r的绝对值越大,椭圆越扁平; r的绝对值越小,椭圆越接近圆。当r=0时,椭圆退化为圆 图2-1是关于二元联合控制域若干典型情况的示意图 图2-2为X,Y联合控制和分别控制下两种不同控制域的示 意图。前者为主轴呈O角倾斜的椭圆,后者为矩形。图中分别控制 的置信界为+20,对应置信度为0.9545;点状阴影区表示过控,即 本来未失控的工序发出了虚假报警信号;格状阴影区表示欠控,即 本来已经失控的工序却未发出告警信号。从图上还可以看出;相关 程度越高(对应椭圆越扁平),过控和欠控现象越严重即使完全不 相关,并且σ4=ay,而使椭圆退化为圆,过控和欠控现象也不能消 除 ·34
从定量上分析,取显著水平为a,则联合控制域的置信度为(1 a)。但分别控制时,若两变量互相独立,并取同一显著水平(即a2 =a2),按 Bonferroni不等式,则矩形控置域的置信度为 (!--a/2)2。比如取a=0.05,则联合控制的置信度为0.95,而分别 控制的置信度为0.9506。若两变量不独立,a1和a2都小于a/2,则 分别控制的置信度将大于0.9506,也就是说这两种控制方法不仅 控制域不同,失控概率则相差更大一些。 r 图2-1联合控划域典型情况示意图22联合和分别控制下不同挖制域示 (1)同形状、不同大小的椭圆表示对应不同置信度的控制域;椭圆长轴在x轴上, 表示Gr=σ,,r>0; 2)椭圆长轴在y轴t,表示a=ay,r<0; 3)圆表示a,=ay,r=0 二元情况示例的进一步讨论 以上证明了:对于同样的显著水平α,分别控制的置信概率不 等于联合控制的置信概率。下面从另外一个角度证明,对于相同的 35