的结果可以从几何上解释为有且仅有一条n次代数曲线,通过平面上事先给定 的n+1个点(x,y)1=01…n,其中x≠x(≠ Lagrange插值公式(l.8)具有结构清晰、紧凑的特点,因而适合于作理论分 析和应用 例1已知f(-1)=2,f()=1,f(2)=1。求f(x)的 Lagrange插值多项式 解依公式有(xo=-1x1=1,x2=2) 1()=(x0-x)x0-x)6(2-3x+2 x l(x)= x1-x0x1-x2 l2(x) Xo XI 从而 P2(x)=2(x2-3x+2)-3(x2-x-2)+2(x2-1)=(x2-3x+8) 例2设∫(x)=e则f(-)=0.36787,()=271828./(2)=738906 依 Lagrange插值公式,有 e'≈p2(x)=1.16519x2+17520x+0.37788 §2. Newton插值公式 Lagrange插值公式的缺点是,当插值结点的个数有所变动时(例如,为了提 高精度有时需增加插值节点的个数) Lagrange因子l(x=01,…,n)就要虽之发 生变化从而整个公式的结构也要发生变化这在计算实践中是不方便的为了克 服它的上述缺点在这一节中我们引进了 Newton形的插值公式 显然n+1个结点x0,x1…,x上的n次 Lagrange插值多项式也可以写成下列 形式 p、(x)=a+a1(x-x0)+…+an(x-x0x-x1)(x-xn)
的结果可以从几何上解释为,有且仅有一条 n 次代数曲线，通过平面上事先给定 的 n+1 个点 (x , y ),i 0,1, n, i i = .其中 x x (i j) i j Lagrange 插值公式（1.8）具有结构清晰、紧凑的特点，因而适合于作理论分 析和应用. 例 1 已知 f (−1) = 2, f (1) =1, f (2) =1 。求 f (x) 的 Lagrange 插值多项式 解 依公式有 ( 1, 1, 2) x0 = − x1 = x2 = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( 1). 3 1 2 , 2 1 3 2 , 6 1 2 2 0 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 0 = − − − − − = = − − − − − − − = = − + − − − − = x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x 从而 ( ) ( ) ( ) ( 3 8). 6 1 2 3 2 3 2 2 1 6 1 ( ) 2 2 2 2 p2 x = x − x + − x − x − + x − = x − x + 例 2 设 ( ) x f x = e 则 f (−1) = 0.367 87, f (1) = 2.718 28, f (2) = 7.389 06 依 Lagrange 插值公式，有 ( ) 1.16519 1.175 20 0.377 88 2 e p2 x = x + x + x §2. Newton 插值公式 Lagrange 插值公式的缺点是，当插值结点的个数有所变动时（例如，为了提 高精度,有时需增加插值节点的个数）Lagrange 因子 l (x)(i n) i = 0,1, , 就要虽之发 生变化,从而整个公式的结构也要发生变化,这在计算实践中是不方便的.为了克 服它的上述缺点,在这一节中我们引进了 Newton 形的插值公式 显然,n+1 个结点 n x , x , , x 0 1 上的 n 次 Lagrange 插值多项式也可以写成下列 形式： ( ) ( ) ( )( ) ( ) n = 0 + 1 − 0 + + n − 0 − 1 − n−1 p x a a x x a x x x x x x
下面,来确定上式中的a0,a12…an 令Pn(x)表示n个结点x02x1,…xm上的(n-1)次 Lagrange插值多项式,由于 pn(x)=pn(x)=y,(=0.…n-1), 所以 Pn p, c(x-xoXx-x1)( 此处c为常数,由条件p(xn)=yn可以定出 c=.=x x, -x).(x, -x-d 又因P-1(xn)=∑yl(x) 故又有 Xxn-x1)…(x (x2-x0)…(x1-x1)Xx1-x1)…(x-xn) 引进记号 f(xx…x)=c=∑y{n(x-x 得p(x)与P(x)之间的关系 P P 同理 Pa-1(x)=pn-2(x)+f(xo, x,, , x,-1Xx-xo,)-(x-xn-2) 继续下去,最终得到
下面，来确定上式中的 , , . a0 a1 an 令 p (x) n−1 表示 n 个结点 0 1 1 , , , n− x x x 上的（n-1）次 Lagrange 插值多项式，由于 ( ) ( ) , ( 0, 1) pn xi = pn−1 xi = yi i = n − , 所以 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n − n−1 = − 0 − 1 − n−1 p x p x c x x x x x x 此处 c 为常数，由条件 ( ) n n p x = y 可以定出 ( ) ( )( ) ( ) 0 1 1 1 − − − − − − = n n n n n n n x x x x x x y p x c 又因 ( ) ( ) − = − = 1 0 1 n i n n i i n p x y l x 故又有 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 0 1 1 − = = − + − = − − − − − + − − − = n i n l i l i i l i i i i i i n i n n n n n y x x x x x x x x x x y x x x x x x y c 引进记号 ( ) ( ) 1 0 0 0 1 , , , − = = = = − n i n l i l n i i l f x x x c y x x 得 p (x) n 与 p (x) n−1 之间的关系 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 , , , n = n− + n − − − n− p x p x f x x x x x x x x x 同理 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 0 1 1 0 1 2 , , , n− = n− + n− − − − n− p x p x f x x x x x x x x x 继续下去，最终得到
pn、(x)=f(x0)+f(xn,x;)x-x0)+…+∫(xn,x,…,xn)x-x0)(x-x)…(x-xn)(2) 公式(22)就是 Newton型插值公式系数f(x)f(x,x)…,f(x0,x1,…,xn)由(21) 式确定 Newton插值公式的导数很不好记因此有必要另寻方法确定它们为此我们引 进差商的概念并指出 Newton插值公式中各导数f(x0,x1,…,x)=1…,n)即是 f(x)的i阶差商设已知不同的自变量xx1…,x上的函数值f(x)(=1…,n)称 ≠ x 为f(x)的一阶差商或均差)一阶差商的一阶差商 fl, x,)-5, x) ≠ x -x 叫做f(x)的二阶差商一般说来我们称(n-1)阶差商的一阶差商 为函数∫(x)的n阶差商 差商有以下诸性质 1.若F(x)=cf(x),c为常数,则 F(xn,xn1…,x)=cf(xn,xn-1…,x 2.若F(x)=f(x)+g(x),则 xo=flax 3.若∫(x)=xm,m为自然数则 (xn,xm…,x)={1 诸x的m-n次的齐次函数,n<m 4.差商∫(xn,xn1…,x)是x,x1…xn的对称函数,亦即当任意调换
( ) ( ) ( , )( ) ( , , , )( )( ) ( ) (2.2) n = 0 + 0 1 − 0 + + 0 1 n − 0 − 1 − n−1 p x f x f x x x x f x x x x x x x x x 公式（2.2）就是 Newton 型插值公式.系数 ( ) ( ) ( ) n f x , f x , x , , f x , x , , x 0 0 1 0 1 由（2.1） 式确 定(1) . Newton插值公式的导数很不好记,因此有必要另寻方法确定它们.为此我们引 进差商的概念,并指出 Newton 插值公式中各导数 f (x x x )(i n) i , , , 1, , 0 1 = 即是 f (x) 的 i 阶差商.设已知不同的自变量 n x , x , , x 0 1 上的函数值 f (x )(i n) i =1, , 称 ( ) ( ) ( ) (i j) x x f x f x f x x i j i j i j − − , = 为 f (x) 的一阶差商(或均差). 一阶差商的一阶差商 ( ) ( ) ( ) (i k) x x f x x f x x f x x x i k i j j k i j k − − = , , , , 叫做 f (x) 的二阶差商.一般说来我们称(n-1)阶差商的一阶差商 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 2 0 1 0 , , , , , , , , , x x f x x x f x x x f x x x n n n n n n n − − = − − − − 为函数 f (x) 的 n 阶差商 差商有以下诸性质 1．若 F(x) = cf (x)，c 为常数，则 ( ) ( ) 1 0 1 0 F x , x , , x cf x , x , , x n n− = n n− 2．若 F(x) = f (x)+ g(x) ，则 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 F x , x , , x f x , x , , x g x , x , , x n n− = n n− + n n− 3．若 ( ) m f x = x ，m 为自然数,则 ( ) − = − = . 1, , 0, , , , , 1 0 x m n n m n m n m f x x x i n n 诸 的 次的齐次函数， 4．差 商 ( ) 1 0 f x , x , , x n n− 是 n x , x , , x 0 1 的对称函数 , 亦 即 当 任 意 调 换
x02x1…,x的位置时差商的值不变例如 ∫(x0,x…xn)=∫(xn,xn1…x)=f(xn,x0…,xn1 5.差商可以表示成两行列式之商 注0规定,当n=0时,{∏(x-x1)=1 f(xo, xu x,) f(x0)f(x1)…f(xn)|x 性质1和性质2由定义可以直接推出。现在我们证明性质3。x"的一阶差商 可根据定义直接计算出来 fo =x1+x1x0++xm- 如所见,它是x12x0的m-1次齐次函数。 相继作出各阶差商并依完全归纳法,可证实下列公式 f(x,xmx)=∑xxx, +Fn-1+…+l=m-n 此处求和运算遍及所有可能的形如xnxm1x8的xn2xn1x0的m-n次齐次项。 这样便证明了性质3。 再来证明性质4。作出相继的各阶各差商之后,读者不难看出它们是由形如 f(x)/∏(x-x)的(m+1个项的和表示出来的。由完全归纳法,易求得 ∫(x0,x1xn)可由(2.1)式的右端表出。使用前面的记号
n x , x , , x 0 1 的位置时,差商的值不变,例如 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 1 , , , , , , , , n = n n− = n n− f x x x f x x x f x x x 5. 差商可以表示成两行列式之商: 注 (1) 规定，当 n=0 时， ( ) − = n l i l i l x x 0 =1 f (x0 , x1 ,...xn ) = ( ) ( ) ... ( ) ... ... ... ... ... ... 1 1 ... 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 n n n n n n f x f x f x x x x x x x − − − : n n n n n n n n n x x x x x x x x x ... ... ... ... ... ... ... 1 1 ... 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 − − − . 性质 1 和性质 2 由定义可以直接推出。现在我们证明性质 3。 m x 的一阶差商 可根据定义直接计算出来： ( , ) ... . 1 0 0 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 − − − = + + + − − = m m m m m x x x x x x x x f x x 如所见，它是 1 0 x , x 的 m−1 次齐次函数。 相继作出各阶差商并依完全归纳法，可证实下列公式： ( , ,... ) ... , 0 1 1 0 0 1 n r n r r n n f x x x =x x x − ... . rn + rn−1 + + r0 = m − n 此处求和运算遍及所有可能的形如 1 0 1 0 ... r r n r n x x x n n− − 的 1 0 x , x ,...x n n− 的 m− n 次齐次项。 这样便证明了性质 3。 再来证明性质 4。作出相继的各阶各差商之后，读者不难看出它们是由形如 = − n l i l i i l f x x x 0 ( ) ( ) 的 (n +1) 个项的和表示出来的。由完全归纳法，易求得 ( , ,... ) 0 1 n f x x x 可由（ 2.1 ）式的右端表出。使用前面的记号
o(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn)也可将它写成 f(,) 如此便证明了性质4 最后,用完全归纳法同样可以证明性质5。 为了作数值计算,常利用形式如下的差商表 f(x) 一阶差商 二阶差商 阶差商 f(x0) f(x,) f(x0,x1) f( x2 f(x1,x2) )|f(x,x,x2,x) f(x3) f(x2,x3) 由性质4得知 Newton插值公式(2.2)中的系数 f(x),∫(x0,x)…∫(x0,x1…,x)恰标出)。因此,当已知y2=f(x1)(i=0,1…,n)时 利用差商表可以很容易地算出f(x)的各阶差商的值,而不必去记忆公式(2.1)。 因为在(n+1)个不同的点x0,x1…x上取给定值的次数不超过n的多项式 是唯一的,所以次数相同的 Newton插值多项式与 Lagrange插值多项式是恒等 的,它们的差异仅是书写形式不同而已。但是,这种差异却为计算实践带来了很 大的方便。实际上,对于 Newton插值公式来说,当需要增加一个插值结点时, 只需在原插值多项式的后面再添加一个新项就可以了。 例1已知列表函数: 3 5 2 4 求这个函数的插值多项式
( ) ( ) ( )...( ), 0 1 n ω x = x − x x − x x − x 也可将它写成 . '( ) ( ) ( , ... ) 0 0 1, = = n i i i n x f x f x x x ω 如此便证明了性质 4。 最后，用完全归纳法同样可以证明性质 5。 为了作数值计算，常利用形式如下的差商表： f (x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 3 2 1 0 x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 0 f x f x f x f x ( , ) ( , ) ( , ) 2 3 1 2 0 1 f x x f x x f x x ( , , ) ( , , ) 1 2 3 0 1 2 f x x x f x x x ( , , , ) 0 1 2 3 f x x x x 由性质 4 得 知 Newton 插 值 公 式 (2.2) 中 的 系 数 ( ), ( , ), , ( , , , ) 0 0 1 0 1 n f x f x x f x x x 恰标出）。因此，当已知 y f (x )(i 0,1, ,n) i = i = 时 利用差商表可以很容易地算出 f (x) 的各阶差商的值，而不必去记忆公式 (2.1) 。 因为在 (n +1) 个不同的点 n x , x , , x 0 1 上取给定值的次数不超过ｎ的多项式 是唯一的，所以次数相同的 Newton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式是恒等 的，它们的差异仅是书写形式不同而已。但是，这种差异却为计算实践带来了很 大的方便。实际上，对于 Newton 插值公式来说，当需要增加一个插值结点时， 只需在原插值多项式的后面再添加一个新项就可以了。 例１ 已知列表函数： x ２ ３ ５ ６ y ５ ２ ３ ４ 求这个函数的插值多项式