西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（课程设计）指导书

F(S) >>b=[2091 Ir, p, k]=residue(b, a) 结果如下 0.0000-0.25001 0.0000+0.25001 -0.0000+2.0000 -0.0000-2.00001 1.0000 因而,部分分式展开为 2+-2+1025+-1025 2 1 s+ 1s2+4 函数[b,a]= residue(r,p,k将部分分式转化为多项式比P(s)Q(s) 1.3状态空间描述 集总参数的线性网络可用微分方程表示为 x(t)=Ax(t)+ Bu(t) (14) 该系统的一阶微分方程即为状态方程,X是状态向量。状态空间方法易采用数字或模拟 计算机求解。另外,状态空间方法容易拓展到非线性系统。状态方程可从n阶微分方程得到, 或者在系统模型中选用合适的状态变量直接写出。 13.1将微分方程化成状态方程 设一个n阶线性系统由微分方程描述,我们讨论如何选择状态变量,使该系统由状态方 程描述。 d dy aoy=u(t dt y(t),u(t)分别为系统的输出、输入

9 s s 4s 4 2s 9s 1 F(s) 3 2 3       >> b=[2 0 9 1]; >> a=[1 1 4 4]; >> [r, p, k]=residue(b, a) 结果如下： r = 0.0000 - 0.2500i 0.0000 + 0.2500i -2.0000 p = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 k = 2 因而，部分分式展开为 s 4 1 s 1 2 2 s j2 j0.25 s j2 j0.25 s 1 2 2 2               函数[b, a]=residue(r, p, k)将部分分式转化为多项式比 P(s)/Q(s)。 1.3 状态空间描述 集总参数的线性网络可用微分方程表示为 x(t)  Ax(t)  Bu(t) (1.4) 该系统的一阶微分方程即为状态方程，X 是状态向量。状态空间方法易采用数字或模拟 计算机求解。另外，状态空间方法容易拓展到非线性系统。状态方程可从 n 阶微分方程得到， 或者在系统模型中选用合适的状态变量直接写出。 1.3.1 将微分方程化成状态方程 设一个 n 阶线性系统由微分方程描述，我们讨论如何选择状态变量，使该系统由状态方 程描述。 a y u(t) dt dy a dt d y a dt d y n 1 1 0 n 1 n n 1 n          (1.5) y(t),u(t)分别为系统的输出、输入

状态模型不是唯一的,它依赖于状态变量的选择。一个有用的选择方法是定义 那么,y的n阶导数可用各状态变量的线性组合来表示 于是有 写成矩阵形式为 001 0 (1.7) 输出方程为 y=[00 (18) B C 例1.10给定系统的微分方程描述为 利用(1.9)即可写出其相应的一个状态空间描述为: 0 A=001 B=0 0 上述状态方程,称为能控标准型, 13.2矩阵的对角化 为什么要研究A矩阵的对角化问题呢?原因之一是将矩阵对角化后,对角元即为矩阵A

10 状态模型不是唯一的，它依赖于状态变量的选择。一个有用的选择方法是定义 (n 1) x1 y, x2 y, x3 y, , xn y         那么，y 的 n 阶导数可用各状态变量的线性组合来表示。 于是有 x1  x2  2 3 x  x ┇ xn1  xn x a x a x a x u(t)  n   0 1 1 2    n1 n  写成矩阵形式为 ut 1 0 0 0 x x x x a a a a 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x x x x n n 1 2 1 n 0 1 2 n 1 n 1 2 1                                             (1.7) 输出方程为 y=[1 0 0 … 0]x (1.8) 即           0 1 2 n1 a a a a 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A             1 0 0 0 B  (1.9) C  1 0 0  0 D=0 例 1.10 给定系统的微分方程描述为 y (3)+2y (2)+3y (1)+4y=5u(t) 利用(1.9)即可写出其相应的一个状态空间描述为：          4 3 2 0 0 1 0 1 0 A        5 0 0 B C  1 0 0 上述状态方程，称为能控标准型。 1.3.2 矩阵的对角化 为什么要研究 A 矩阵的对角化问题呢？原因之一是将矩阵对角化后，对角元即为矩阵 A

的特征值λ1,A2…,λn。从而,状态转移矩阵亦可化为对角元为ee2…em的对角矩阵 (假定A有n个互不相同的特征值)。 定线性系统。当A有n个互不相同的特征值时,我们可以找到非奇异变换矩阵P,令 (they(t) 将上面状态方程化为对角线规范型 y=ay+ bu(t) 其中 AP, b=p-B 有很多方法可以求得P,如利用A的特征向量可构造 例1.11定系统的状态空间描述为 6-116 +0 6-115 求它的对角规范型和变换矩阵P。 >>A=|01-1;-6-116;-6-115};B=[0,0,1 >>PLFeig(A) %L是一个对角元为特征值的对角矩阵 P是一个变换矩阵,其列是相应于特征值的特征向量 >>a=inv(P)A中P %A矩阵对角化 b=inv(P)"B 结果为 -0.7071-0.2182-0.092 -0.00000.4364-0.5523 -0.70710.8729-0.8285 1.0000-0.0000-0.0000 0.0000-20000-0.0000 -0.00000.0000-3.0000 2.8284 13.7477 108628 1.4模型转换 141传递函数向状态空间描述的转换

11 的特征值λ1,λ2,…,λn。从而，状态转移矩阵亦可化为对角元为 eλ1t,eλ2t,…,eλnt 的对角矩阵。 （假定 A 有 n 个互不相同的特征值）。 给定线性系统。当 A 有 n 个互不相同的特征值时，我们可以找到非奇异变换矩阵 P，令 x(t)=py(t) (1.10) 将上面状态方程化为对角线规范型 y  ay bu(t) (1.11) 其中 a=p -1AP, b=p -1B 有很多方法可以求得 P，如利用 A 的特征向量可构造 P。 例 1.11 定系统的状态空间描述为 u 1 0 0 x x x - 6 -11 5 - 6 -11 6 0 1 -1 x x x 3 2 1 3 2 1                              求它的对角规范型和变换矩阵 P。 >> A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5]; B=[0;0;1] >> [P,L]=eig(A); ％L 是一个对角元为特征值的对角矩阵 ％P 是一个变换矩阵，其列是相应于特征值的特征向量 >> a=inv(P)*A*P ％A 矩阵对角化 >> b=inv(P)*B 结果为： p = -0.7071 -0.2182 -0.0921 -0.0000 0.4364 -0.5523 -0.7071 0.8729 -0.8285 a = -1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -2.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -3.0000 b = 2.8284 13.7477 10.8628 1.4 模型转换 1.4.1 传递函数向状态空间描述的转换

控制系统工具箱包含一组模型转换的函数。[AB.C,D=t2smum,den)将传递函数转换为 状态空间描述 例1.12求下面传递函数的状态空间描述 R(s) 7s+2 s+9s2+26+24 >>num=172lden=192624] [A, B, C, DItf 状态方程各矩阵如下 A=100 010 B=0 142状态空间描述向传递函数的转换 已知状态方程和输出方程 文=Ax+Bu (1.13) 采用拉普拉斯变换有 Y(sC(sl-A)Bu(s)+ Du(s) 则 G(s)= Y(s-C(sl-A)B+D 1.14) 函数stfA.BC,Di)是将状态空间描述转换为对第一个输入的传递函数。 num,den}= ss2tf(A, B、CDi)是将状态空间描述化为分子、分母多项式形式的传递函数。 zpk=szp( A B C. D I)将状态空间描述化为零极点形式表示的传递函数 例1.13一个系统的状态空间描述如下 -1-2-3‖x y=100x 求传递函数Gs)=Y(S)/U(s)

12 控制系统工具箱包含一组模型转换的函数。[A,B,C,D]=tf2ss(num, den)将传递函数转换为 状态空间描述。 例 1.12 求下面传递函数的状态空间描述 >> num=[1 7 2]; den=[1 9 26 24]; >> [A, B, C, D]=tf2ss(num, den) 状态方程各矩阵如下：          0 1 0 1 0 0 9 26 24 A C  1 7 2        0 0 1 B D=0 1.4.2 状态空间描述向传递函数的转换 已知状态方程和输出方程 x  Ax Bu (1.12) y=Cx+Du (1.13) 采用拉普拉斯变换有 Y(s)=C(sI-A) -1Bu(s)+Du(s) 则 C(sI A) B D U(s) Y(s) G(s) 1      (1.14) 函数 ss2tf(A,B,C,D,i)是将状态空间描述转换为对第一个输入的传递函数。 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,i)是将状态空间描述化为分子、分母多项式形式的传递函数。 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,i)将状态空间描述化为零极点形式表示的传递函数。 例 1.13 一个系统的状态空间描述如下 u 0 0 10 x x x -1 - 2 - 3 0 0 1 0 1 0 x x x 3 2 1 3 2 1                              y=[1 0 0]x 求传递函数 G(s)=Y(s)/U(s)

>>A=010.0001;-1-2-3l;B={10,0,0 C=[100]D=0] >>[num, den=ss2tf(A, B, C, D, 1) lz,p, k=Ss2zp(A, B,C, D, 1) 其中,ss2tf(A,B,C,D,1)中“1”表示对第一个输入。 传递函数的分子、分母多项式系数如下: 010.000030.000020.0000 en- 1.00003.00002.00001.0000 传递函数的零、极点如下 -0.3376+0.5623i -0.3376-0.5623i 2.3247 k=10 因而传递函数为 G(s) 10(s2+3s+2) s3+3s2+2s+1 10(S+1)(s+2 (s+0.3376-0.56231)(s+03376+0.56231(s+2.3247) 143由方框图求状态空间描述和传递函数 控制系统工具箱中提供了函数[ABC,D]= connect(a, b,c,q,iu,iy)。将方框图描述转换成 状态空间描述和传递函数。其中q矩阵规定了各框之间的连接关系。其每一行的第一个元素 是框号,其余的元素依次是于该框连接的框号,iu,iy分别表示输入,输出施加的框号。 例1.14将图1-7由框图表示的系统转换成状态空间描述和传递函数。 >>ni=1;d=1;n=0.5;d2=1;ns=4,d=[14, >>n=1;d=[12];n=l,ds=13,n6=2,de=1; >>n=5;d产=1;ns=1;ds=1; >>blocks=8: blkbuild >>q=[10000 q矩阵表示框图的结构。 如第2个框于第1个框按

13 >>A=[0 1 0; 0 00 1; -1 -2 -3]; B=[10; 0; 0]; >>C=[1 0 0];D=[0]; >>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) >>[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1) 其中，ss2tf(A,B,C,D,1)中“1”表示对第一个输入。 传递函数的分子、分母多项式系数如下： num= 0 10.0000 30.0000 20.0000 den= 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 传递函数的零、极点如下： z= -1 -2 p= -0.3376+0.5623i -0.3376-0.5623i -2.3247 k=10 因而传递函数为 (s 0.3376 0.5623i)(s 0.3376 0.5623i)(s 2.3247) 10(s 1)(s 2) s 3s 2s 1 10(s 3s 2) G(s) 3 2 2               1.4.3 由方框图求状态空间描述和传递函数 控制系统工具箱中提供了函数[A,B,C,D]=connect(a, b, c, q, iu, iy)。将方框图描述转换成 状态空间描述和传递函数。其中 q 矩阵规定了各框之间的连接关系。其每一行的第一个元素 是框号，其余的元素依次是于该框连接的框号，iu,iy 分别表示输入，输出施加的框号。 例 1.14 将图 1-7 由框图表示的系统转换成状态空间描述和传递函数。 >>n1=1; d1=1; n2=0.5; d2=1; n3=4; d3=[1 4]; >>n4=1; d4=[1 2]; n5=1; d5=[1 3]; n6=2; d6=1; >>n7=5; d7=1; n8=1; d8=1; >>nblocks=8; blkbuild >>q=[1 0 0 0 0 ％q 矩阵表示框图的结构。 2 1 -6 -7 -8 如第 2 个框于第 1 个框按