第7章线性禹散系统的分析与校正 重点与难点 、基本概念 1.脉冲传递函数及其特性 +∞(t=0 脉冲函数的定义:(1)= 0(t≠0) 脉冲函数的基本性质:d()dn=1 脉冲函数的抽样性质:x()6(-0)dt=x() 冲函数的频幸特性6()的频谱:⊥)c-dr=1 时移脉冲6(-10)的频谱:」o(-b6)e-d=e 均匀脉冲序列:67()=∑(t-m7 其频谱为 dr(De-joundr 22 ∑a(o-non)=a2o(o) 式中o 为采样角频率 按照傅里叶反变换公式可得: 6,0)=r2(o)-do=1∑ 2.信号的采样及恢复 设连续信号x()的频谱为x(a)=x()edo,x()的采样信号为 x(1)=x(1)6n(01)=∑x(n7)o(-nT 故采样信号的频谱为 X(o)=r(e"d=T 2X(-noo2Xo-nt
·1· 第 7 章 线性离散系统的分析与校正 重点与难点 一、基本概念 1. 脉冲传递函数及其特性 脉冲函数的定义： 0 ( 0) ( 0) ( ) t t t 脉冲函数的基本性质： (t)dt 1 脉冲函数的抽样性质： ( ) ( )d ( ) 0 0 x t t t t x t 脉冲函数的频率特性[ (t)的频谱]： (t)e dt 1 jt 时移脉冲 ( ) 0 t t 的频谱： 0 ( ) d 0 j t j t t t e t e 均匀脉冲序列： n T (t) (t nT ) 其频谱为： n j t T n T t e t ( ) ( ) 2 ( ) d 0 0 0 式中 T 2 0 为采样角频率。 按照傅里叶反变换公式可得： n j t jn t T e T t e 0 0 1 ( ) d 2 1 ( ) 0 2. 信号的采样及恢复 设连续信号 x(t) 的频谱为 ( ) ( ) d , ( ) 0 X x t e t x t jt 的采样信号为 0 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n T x t x t t x nT t nT 故采样信号的频谱为： T X n T X n T X x t e t n n j t 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) d 0 * *
即连续信号经采样后,频谱产生周期性延拓 如果要使采样信号x(1)不失真地复显出x(1),采样频率Oo(或采样周期T)与频 谱X(O)必须满足以下条件 X()当有载止频率o,即|o卜o时X(o)=0 O 或T 为了避免高于ω_/2频率的干扰频谱进入采样,造成频谱混淆,可以在采样信号后 加一低通滤波器。最简单的低通滤波器是零阶保持器,它能把某一时刻nT的采样值,恒 值地保持到下一个采样时刻(n+1)T,其传递函数为 频率特性为 G1(j0)=7.Sn(o7/2),-1/2 T/2 3.z变换 离散函数x(m)的Z变换定义为 X(-)=2x(n)=∑x(m) z变换存在的条件是 ∑|x(m)|=n<∞ 离散函数的Z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法等 Z反变换的方法有长除法、部分分式法、留数计算法等 4.离散控制系统的数字描述 差分方程表达了系统输出在采样时刻的性能。对于完全是离散的系统,其输入、输 出信号均为离散信号的线性系统,可用N阶线性差方程来描述: y(n)=∑axmn-)-∑by(n-0 如图7.1所示的开环系统,g()为 (1) (1) 系统的连续时间脉冲响应。根据卷积和 g(t) 公式,t=kT时系统的输出为 y(7)=∑[g(k-n)]x(n7 y(O 图7.1开环采样系统
·2· x(t) x*(t) y*(t) y (t) 即连续信号经采样后，频谱产生周期性延拓。 如果要使采样信号 ( ) * x t 不失真地复显出 x(t) ，采样频率 0 （或采样周期T ）与频 谱 X () 必须满足以下条件： c c c c T X X 或 当有载止频率 即 时 2 ( ) , | | ( ) 0 0 为了避免高于 / 2 c 频率的干扰频谱进入采样，造成频谱混淆，可以在采样信号后 加一低通滤波器。最简单的低通滤波器是零阶保持器，它能把某一时刻 nT 的采样值，恒 值地保持到下一个采样时刻 (n 1)T ，其传递函数为 s e G s Ts h 1 ( ) 频率特性为 / 2 / 2 sin( / 2) ( ) j T h e T T G j T 3. Z 变换 离散函数 x(n) 的 Z 变换定义为 0 ( ) [ ( )] ( ) n n X z Z x n x n z Z 变换存在的条件是 0 | ( ) | n n x n z 离散函数的 Z 变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法等。 Z 反变换的方法有长除法、部分分式法、留数计算法等。 4. 离散控制系统的数字描述 差分方程表达了系统输出在采样时刻的性能。对于完全是离散的系统，其输入、输 出信号均为离散信号的线性系统，可用 N 阶线性差方程来描述： n i n i i i y n a x n i b y n i 0 1 ( ) ( ) ( ) 如图 7.1 所示的开环系统，g(t)为 系统的连续时间脉冲响应。根据卷积和 公式，t kT 时系统的输出为： kn y kT g k n T x nT 0 ( ) [ ( ) ] ( ) g(t) 图 7.1 开环采样系统
当系统给定时,g(iT)为常数。这样根据上式就可写出系统的差分方程。 系统的脉冲传递函数(又叫〓传递函数)是指在零初始条件下,系统输出的Z变换 与输入的Z变换之比,即 G() X(二 脉冲传递函数即可根据系统连续传递函数G(s)或脉冲响应g(1)求取,也可根据系 统的差分方程求取 可以证明:当若干个环节串联时,如果环节间均有同步采样器,则系统总的传递 函数等于各组成环节z传递函数的乘积,即 G(=)=G1()G2(=)…Gn(二) 如果串联环节之间无同步采样器,则系统的〓传递函数G(二)等于各组成环节的s传 递函数相乘后的Z变换,即 (=)=G1G2…Gn(=) 闭环系统的〓传递函数,根据采样开关的位置不同有不同的形式。几种典型闭环离 散系统的方框图及其输出的Z变换参见表7-1 表7-1几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的Z变换 序号 系统方框图 输出的Z变换Y() Y()=G()R() 1+GH(=) (=)=.G=R() GR(=) G2() (-)sG2(z)GR() 1+G1G2H(=)
·3· 当系统给定时， g(iT ) 为常数。这样根据上式就可写出系统的差分方程。 系统的脉冲传递函数（又叫 z 传递函数）是指在零初始条件下，系统输出的 Z 变换 与输入的 Z 变换之比，即 ( ) ( ) ( ) X z Y z G z 脉冲传递函数即可根据系统连续传递函数G(s) 或脉冲响应 g(t) 求取，也可根据系 统的差分方程求取。 可以证明：当若干个环节串联时，如果环节间均有同步采样器，则系统总的 z 传递 函数等于各组成环节 z 传递函数的乘积，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G z G z G z G z n 如果串联环节之间无同步采样器，则系统的 z 传递函数G(z) 等于各组成环节的 s 传 递函数相乘后的 Z 变换，即 ( ) ( ) 1 2 G z G G G z n 闭环系统的 z 传递函数，根据采样开关的位置不同有不同的形式。几种典型闭环离 散系统的方框图及其输出的 Z 变换参见表 7-1。 表 7-1 几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的 Z 变换 序号 系 统 方 框 图 输出的 Z 变换 Y(z) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) GH z G z R z Y z 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G z H z G z R z Y z 3 1 ( ) ( ) ( ) GH z GR z Y z 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 G G H z G z G R z Y z
G() k~01x0 G1(=)G2(=)R(=) 1+G(=)G2H(=) G() GO)Lr( r()=-G()G2()R(=) 1+G1(=)G2()H(=) G2(=)G3(=)G1R(=) G2()GG3H(=) 5.离散控制系统分析 离散控制系统的分析主要是稳定性、瞬态质量和稳态误差的分析。 (1)稳定性。对于离散系统,其稳定的条件是系统的极点均在平面上以原点为圆 心的单位圆内。判定系统的极点是否在以原点为圆心的单位圆内可以对系统的〓传递函 数进行W变换或R变换,即 1+W -1 H变换 1-W z+1 1-R 或R= R变换 +R 然后对变换后的W(或R)传递函数的特征方程,应用劳斯判据进行系统稳定性判别 (2)瞬态质量。如果离散系统的数学模型已知,则通过Z变换,可以方便地求出 系统在典型信号作用下的瞬态响应,从而知道系统的瞬态质量。离散系统的瞬态响应决 定于系统传递函数的零极点在z平面上的分布。图72和图7.3示意性地绘制出了系统 的极点位置与瞬态响应的对应关系 图7.2不同实数根对应的时间响应
·4· 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 G z G H z G z G z R z Y z 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 G z G z H z G z G z R z Y z 7 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 1 G z G G H z G z G z G R z Y z 5. 离散控制系统分析 离散控制系统的分析主要是稳定性、瞬态质量和稳态误差的分析。 （1）稳定性。对于离散系统，其稳定的条件是系统的极点均在 z 平面上以原点为圆 心的单位圆内。判定系统的极点是否在以原点为圆心的单位圆内可以对系统的 z 传递函 数进行W 变换或 R 变换，即 或 变换 或 变换 R z z R R R z W z z W W W z 1 1 1 1 1 1 1 1 然后对变换后的W （或 R ）传递函数的特征方程，应用劳斯判据进行系统稳定性判别。 （2）瞬态质量。如果离散系统的数学模型已知，则通过 Z 变换，可以方便地求出 系统在典型信号作用下的瞬态响应，从而知道系统的瞬态质量。离散系统的瞬态响应决 定于系统 z 传递函数的零极点在 z 平面上的分布。图 7.2 和图 7.3 示意性地绘制出了系统 的极点位置与瞬态响应的对应关系。 图 7.2 不同实数根对应的时间响应
(1)P>1,极点在单位圆外正实轴上,时间响应是发散的:(2)P1=1,极点在正实轴的单位圆上,时间 应始终等于Ak:(3)0<Pk<1,极点在单位圆内正实轴上,时间响应为单调衰减过程:(4)0<Pk<1,同 (3),更接近圆心,衰减过程更快:(5)0>Pk>1,极点在单位圆内负实轴上,时间响应为衰减振荡过程,系正负 交替衰减振荡,振荡频率最高(周期为2T):(6)Pk=-1,极点在负实轴的单位圆上,响应的幅值为Ak的正负交 替等幅振荡:(7)P<-1,极点在单位圆外负实轴上,响应为正负交替发散振荡过程 (3)稳态误差。单位反馈系统的稳态误差为 R(=) e(oo)=lime(0)=lim(2-1)1+G(=) 由此可见,离散系统的稳态误差与输入信号和系统本身均有关系。和连续系统一样 对于不同参考输入,其稳态误差分别如下。 当单位阶跃输入时, e(∞)=lim(=-1) 1+G(=)2-1 1+linG(=) K 式中Kn=1+limG(z),称为位置误差系数。 图7.3不同实数根对应的时间响应 (1)|Pk卜1,极点在单位圆外正实轴上,时间响应序列是发散振荡的:(2)|Pk上=1,极点在正实轴的单位 圆上,时间响应序列为等幅振荡:(3)Pkk1,极点在单位圆内,时间响应是衰减振荡序列,振荡周期为nr 如P3的 的振荡周期为87,P4的O 的振荡周期为4T °5的=2z 的振荡周期为3T
·5· （1） 1 kp ，极点在单位圆外正实轴上，时间响应是发散的；（2） 1 kp ，极点在正实轴的单位圆上，时间 响应始终等于 k A ；（3） 0 1 kp ，极点在单位圆内正实轴上，时间响应为单调衰减过程；（4） 0 1 kp ，同 （3），更接近圆心，衰减过程更快；（5） 0 1 kp ，极点在单位圆内负实轴上，时间响应为衰减振荡过程，系正负 交替衰减振荡，振荡频率最高（周期为 2T）；（6） 1 kp ，极点在负实轴的单位圆上，响应的幅值为 k A 的正负交 替等幅振荡；（7） 1 kp ，极点在单位圆外负实轴上，响应为正负交替发散振荡过程。 （3）稳态误差。单位反馈系统的稳态误差为 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim( 1) 1 * * G z R z e e t z l z 由此可见，离散系统的稳态误差与输入信号和系统本身均有关系。和连续系统一样， 对于不同参考输入，其稳态误差分别如下。 当单位阶跃输入时， p z z z G z K z G z e z 1 1 lim ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) lim( 1) 1 1 * 式中 1 lim ( ) 1 K G z z p ，称为位置误差系数。 图 7.3 不同实数根对应的时间响应 （1）| |1 kp ，极点在单位圆外正实轴上，时间响应序列是发散振荡的；（2）| | 1 kp ，极点在正实轴的单位 圆上，时间响应序列为等幅振荡；（3）| | 1 kp ，极点在单位圆内，时间响应是衰减振荡序列，振荡周期为 T k nT 2 ， 如 3 p 的 3 4 的振荡周期为 8T ， 4 p 的 4 2 的振荡周期为 4T ， 5 p 的 3 2 5 的振荡周期为 3T