章节题目 第三节格林公式及其应用 连通区域的概念 重积分与曲线积分的联系 内/格林公式的应用 容 提 要 格林公式应用 重点分析 利用格林公式计算积分时,函数P(x,y)及Q(x,y)在区域D内某点 不具有连续偏导数时,如何构造新的闭区域 难|利用格林公式简化二重积分、曲线积分、求平面图形面积 点分析 1842(3)、3 题布置 备注
1 章 节 题 目 第三节 格林公式及其应用 内 容 提 要 连通区域的概念 二重积分与曲线积分的联系 格林公式的应用 重 点 分 析 格林公式应用 难 点 分 析 利用格林公式计算积分时，函数 P(x, y)及Q(x, y) 在区域 D 内某点 不具有连续偏导数时，如何构造新的闭区域 利用格林公式简化二重积分、曲线积分、求平面图形面积 习 题 布 置 P184 2（3）、3 备 注
教学内容 、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平 面单连通区域,否则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域 设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间 维单连通域如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间 维单连通区域 一维单连通二维单连通维单连通二维不连通 维不连通二维单连通 、格林公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有 2
2 教 学 内 容 一、区域连通性的分类 设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平 面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二 维单连通域;如果 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间 一维单连通区域. 一维单连通二维单连通 一维单连通二维不连通 一维不连通二维单连通 二、格林公式 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P(x, y)及Q(x, y) 在 D 上具有 D D G G G
阶连续偏导数则有(8b=+Qh() 其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式 L由L与L2连成 L由L与L2组成 L 证明(1) y=2(x) y=91(x) h
3 一阶连续偏导数, 则有 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 证明(1) L2 D L1 L2 L1 D y x o a b D c d ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x A B
x=v2(y) 若区域D既是X-型又是Y-型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点 D={(xy)(x)≤y≤q(x)a≤x≤b D={(x,y)W(y)≤x≤v2(y)c≤y≤d r se drdy= d [on ald O(),y)dy- O(v(),y)dy LR OCx, D)dy-LrO(x,y)dy O(x,y)dy+.e(x,y)dy @(x, y)dy 同理可证 dy=. P(x,y)dx 两式相加得 dxdy=k Pdx+ody 证明(2) 若区域D由按段光滑的闭曲线围成如图, 将D分成三个既是X-型又是Y-型的区域D,D2,D3
4 若区域 D 既是 X − 型又是 Y − 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d dx x Q dxdy dy x Q y y d c D = ( ) ( ) 2 1 = − d c d c Q( (y), y)dy Q( (y), y)dy 2 1 = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q(x, y)dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx y P ( , ) 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) 证明(2) 若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 . y x o d ( ) 2 x = y D c C E ( ) 1 x = y L L1 L2 L3 D D1 D2 D3
a0OP、 aP Dad D+D)+D. ax ay Ddxdy+ ax ay cdy+jo f, Pax+@dy+f, Pax+Ody+f, Pdx+@dy Pdx+ Ody (L1L2,L3对D来说为正方向) 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成添加直线段AB,CE则D的边界曲线由 AB,L2,BA AFC, CE,L3,EC及CGA构成 a0 aP 由(2)知 dxdy 志+a(P+b) =(2+5,+5,P+b) =5Pk+by(L2,L对D来说为正方向) 格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系 便于记忆形式 ax addy=t Pdx+ody P O
5 + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q − + − + − 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy = + L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段 AB,CE.则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. 由(2)知 − D dxdy y P x Q ( ) = + + + + AB L2 BA AFC CE { + + + + L EC CGA } (Pdx Qdy) 3 = + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy = + L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 便于记忆形式: = + L D dxdy Pdx Qdy P Q x y . G D L3 L2 F C E L1 A B