章节题目 第三节幂级数 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 内|幂级数的运算 容 提 要 求幂级数的收敛区间、半径 分析性质并利用分析性质求和函数 重点分析 求和函数 收敛区间端点的收敛性的判定 难点分析 习题布置 P2631(单)2 备注
1 章 节 题 目 第三节 幂级数 内 容 提 要 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 重 点 分 析 求幂级数的收敛区间、半径 分析性质并利用分析性质求和函数 难 点 分 析 求和函数 收敛区间端点的收敛性的判定 习 题 布 置 263 p 1（单）、2 备 注
教学内容 函数项级数的一般概念 1.定义:设u4(x)a2(x)…ln(x)…是定义在IcR上的函数,则 ln(x)=l1(x)+l2(x)+…+u(x)+…称为定义在区间/上的(函数项)无穷级 数 例如级数∑x"=1+x+x2+ 2收敛点与收敛域:如果x∈1,数项级数∑un(x)收敛,则称x为级数 今1(x)的收敛点,否则称为发散点函数项级数∑un(x)的所有收敛点的全体 称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域 3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=l1(x)+l2(x)+…+ln(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和sn(x),lmsn(x)=s(x) 余项rn(x)=(x)-Sn(x) imz(x)=0(x在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上是数项级数的收敛问题 例1求级数(-1)(y的收敛域 n 1+x 解由达朗贝尔判别法 u+(x) n→0 u, (x) n+11+x1+x ()当n<1,→+对>1即x>0x<-2时,原级数绝对收敛 1+ 当+对 >1→1+x<1即-2<x<O时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2 2
2 教 学 内 容 一、函数项级数的一般概念 1. 定 义 : 设 u1 (x),u2 (x), ,un (x), 是定义在 I R 上的函数 , 则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x n n n 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级 数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 2. 收敛点与收敛域: 如果 x I 0 , 数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称 0 x 为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点.函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体 称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域. 3.和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 s(x) ,称 s(x) 为函数项级数的和函数. s(x) = u1 (x) +u2 (x) ++un (x) + (定义域是?) 函数项级数的部分和 s (x), n lim s (x) s(x) n n = → 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 → r x n n (x 在收敛域上) 注意 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 例 1 求级数 n n n x ) 1 1 ( ( 1) + − 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 1+ x 1, 即x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1,即−2 x 0时, 原级数发散. (3) 当|1+ x |=1, x = 0或x = −2
当x=0时弋(-1收敛 当x=-2时,级数∑二发散 故级数的收敛域为(-∞,-2)[0,+∞) 幂级数及其收敛性 1定义:形如∑a1(x-x0)”的级数称为幂级数 当x。=0时,∑anx,其中an为幂级数系数 2收敛性:例如级数∑x"=1+x+x2+…当对<时收敛 当对≥时,发散收敛域(-1.1)发散域(-∞-1[+∞) 定理1(Abel定理)如果级数∑anx在x=x(x≠0)处收敛,则它在满足不等 式<x的一切x处绝对收敛如果级数∑anx”在x=x处发散则它在满足 不等式>x的一切x处发散 证明()∵∑anx收敛,ima-xb=0 M,使得{xM(n=012,) M <时,等比级数∑M收敛 ∑|x收敛,即级数∑ax收敛 (2)假设当x=x时发散而有一点x适合>(x使级数收敛由(1)结论则级
3 当x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n n a (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n n x a x = 当 = 时 其中 n a 为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n n a x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛, 则它在满足不等 式 0 x x 的一切 x 处绝对收敛;如果级数 n=0 n n a x 在 0 x = x 处发散,则它在满足 不等式 0 x x 的一切 x 处发散. 证明 (1) , 0 0 收敛 n= n n a x lim 0, 0 = → n n n a x M , ( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n n a x ; 0 即级数 收敛 n= n n a x (2) , 假设当x = x0时发散 而有一点 1 x 适合 1 0 x x 使级数收敛,由(1)结论 则级
数当x=x0时应收敛这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域 R发散区域 推论如果幂级数∑ax”不是仅在x=0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质 当x<R时,幂级数绝对收敛 当x>R时,幂级数发散 当x=R与x=-R时幂级数可能收敛也可能发散 定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 (-R,R),[-R,R),(-R,R],[-R,R] 规定(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0,收敛区间x=0 (2)幂级数对一切x都收敛,R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 问题如何求幂级数的收敛半径? 定理2如果幂级数∑anx”的所有系数an≠0,设im p(或 lim =p)则 (1)当p≠0时,R=1:()当p=0时 (3)当p=+∞时,R=0 证明对级数∑|x应用达朗贝尔判别法 lim x=pb n→a, n→
4 数当 0 x = x 时应收敛,这与所设矛盾. 几何说明 推论 如果幂级数 n=0 n n a x 不是仅在 x = 0 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R 时,幂级数绝对收敛; 当 x R 时,幂级数发散; 当 x = R与x = −R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. (−R, R), [−R, R), (−R, R], [−R, R]. 规定(1) 幂级数只在 x = 0 处收敛, R = 0, 收敛区间 x = 0 ; (2) 幂级数对一切 x 都收敛, R = +, 收敛区间 (−,+) . 问题 如何求幂级数的收敛半径? 定理 2 如果幂级数 n=0 n n a x 的所有系数 an 0 ,设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) 则 (1) 当 0 时, 1 R = ; (2) 当 = 0 时, R = + ; (3) 当 = + 时, R = 0 . 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n n a x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x , x o • • • • • • • • • • • − R R 收敛区域 发散区域 发散区域
()如果m=p(p≠0)存在由比值审敛法 当|xk时,级数∑|anx1收敛 从而级数∑ax绝对收敛 当|x>-时级数∑|anx"1发散 并且从某个m开始{anx|anxl,1anx”→0 从而级数∑ax发散收敛半径R=1 (2)如果p=0,Vx≠0,有 →0(n→∞)级数∑lanx”收敛 从而级数∑anx绝对收敛收敛半径R=+∞ (3)如果p=+∞Vx≠O,级数∑anx"必发散 (否则由定理知将有点x≠0使∑!anx”收敛) 收敛半径R=0.定理证毕 例2求下列幂级数的收敛区间 )∑(-1);(2)∑(-m);(3)∑;(4)∑-1=(x- 解():P=lmn =lim =1∴.R=1 an x=时,级数为∑该级数收敛 n 当x=-时,级数为∑,该级数发散 n
5 (1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n n a x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n n a x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n n a x 并且从某个n开始| | | |, 1 1 n n n n a x a x + + | |→ 0 n n a x . 0 n= n n 从而级数 a x 发散 ; 1 收敛半径 R = (2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n n a x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n n a x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n n 级数 a x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛 = n n n x a x 收敛半径R = 0. 定理证毕. 例 2 求下列幂级数的收敛区间: (1) ( 1) ; 1 n x n n n = − (2) ( ) ; 1 = − n n nx ; ! (3) 1 n= n n x ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n − − = 解 (1) n n n a a 1 lim + → = 1 lim + = → n n n = 1R =1 当x =1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 该级数收敛 当x = −1时, , 1 1 n= n 级数为 该级数发散