D01:10.13374/i.issn1001t63x.2011.03.002 第33卷第3期 北京科技大学学报 Vol 33 No 3 2011年3月 Journal of Un iversity of Science and Technology Beijng Mar.2011 基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 李国清 胡乃联 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 区通信作者，Email qqk@usth edu cn 摘要为解决不同边界品位下多金属矿床的储量快速估算问题，针对多金属矿床有用组分之间具有相关性的特点，基于多 维概率分布函数建立了多金属矿床储量估算数学模型·以某金铜矿床为例，分析证明了矿床中金、铜品位的概率密度呈对数 正态分布，并对金、铜品位分布的相关性特征进行检验·在此基础上将一维概率密度扩展至多维，建立了金铜矿旷床品位分布的 多维概率密度函数，得出了不同边界品位下矿床保有的资源储量，并进行了可靠性验证·结果表明，模型的计算误差在1%以 内，符合储量管理的精度要求 关键词多金属矿床：储量：概率密度函数；边界品位：正态分布 分类号D177.3 Reserve evaluation m odel of polym etallic deposits based on m ultidim ensional probability distributions LI Guoqing,HU Nai-lian School ofCivil and Envimmmental Engineering University of Seience and Technobgy Beijing Beijing 100083 Corresponding author Email qqed@ustb edu cn ABSTRACT A mathematicalmodel was built up to realize a quick reserve evalation of polymetallic deposits based on a multidinen- sional probability distribution fiunction in view of that there exists a certain correlation between valable components in the polymetallic deposits The model was verified by studying a goll-copper deposit case In the case it was proved that the pmobability density of both Au and Cu grades obeys a logarithm ic nomal distribution based on which the correlation between them was verified Then a finction of the multid mensional probability distribution of grades in the gol-copper deposit was established after the probability density distribu- tion was expanded from onediension to multidin ension The corresponding reserves for different cutoff grades were calculated with the help of the finction The model was proved reliable for the calculation error was less than 10%,which is an accepted accumcy for eserve evaluations KEY W ORDS polymetallic deposits reserves probability density fiunction:cutoff grade nomal distribution 随着国内外金属市场的不断升温，企业为了获 矿床储量和平均品位的数学模型，可以完成储量计 得更好的经济效益，充分利用有限的地质资源，重视 算工作).对于多金属矿床，则通常采用综合品位 品位指标的优化与调整，以期充分利用己有的基础 法，即按照等价原则，通过折算系数将次要组分的品 设施，在不增加新的基建投资的情况下达到增加矿 位换算为主要组分的等价品位，最终简化成为单金 产品产量、提高企业经济效益以及延长矿山服务年 属的储量计算问题6).采用这一方法尽管可以实 限的目的1-) 现多金属矿床的储量计算，但是它只是从经济角度 在品位指标优化调整过程中，最为重要的是在 将次要组分进行折算，没有考虑有用组分的空间分 给定的边界品位下快速进行储量估算，对于单金属 布情况及彼此的相关性，因而没有科学地反映出矿 矿床，通过构造以边界品位和工业品位为自变量求 床中有用组分的空间特性和地质特征；同时，由于在 收稿日期：2010-04-27 基金项目：国家高技术研究发展计划"十一五”重点资助项目(N。2006AA060203)
第 33卷 第 3期 2011年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．3 Ｍａｒ．2011 基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 李国清 胡乃联 北京科技大学土木与环境工程学院北京 100083 通信作者Ｅ-ｍａｉｌ：ｑｑｌｅｅ＠ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ 摘 要 为解决不同边界品位下多金属矿床的储量快速估算问题针对多金属矿床有用组分之间具有相关性的特点基于多 维概率分布函数建立了多金属矿床储量估算数学模型．以某金铜矿床为例分析证明了矿床中金、铜品位的概率密度呈对数 正态分布并对金、铜品位分布的相关性特征进行检验．在此基础上将一维概率密度扩展至多维建立了金铜矿床品位分布的 多维概率密度函数得出了不同边界品位下矿床保有的资源储量并进行了可靠性验证．结果表明模型的计算误差在 10％以 内符合储量管理的精度要求． 关键词 多金属矿床；储量；概率密度函数；边界品位；正态分布 分类号 ＴＤ177∙3 Ｒｅｓｅｒｖｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｐｏｌｙｍｅｔａｌｌｉｃｄｅｐｏｓｉｔｓｂａｓｅｄｏｎｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ＬＩＧｕｏ-ｑｉｎｇ ＨＵＮａｉ-ｌｉａｎ ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083 ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ-ｍａｉｌ：ｑｑｌｅｅ＠ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｗａｓｂｕｉｌｔｕｐｔｏｒｅａｌｉｚｅａｑｕｉｃｋｒｅｓｅｒｖｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｐｏｌｙｍｅｔａｌｌｉｃｄｅｐｏｓｉｔｓｂａｓｅｄｏｎａｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎ- ｓｉｏｎａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｖｉｅｗｏｆｔｈａｔｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｃｅｒｔａｉｎｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｖａｌｕａｂｌｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｉｎｔｈｅｐｏｌｙｍｅｔａｌｌｉｃ ｄｅｐｏｓｉｔｓ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌｗａｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇａｇｏｌｄ-ｃｏｐｐｅｒｄｅｐｏｓｉｔｃａｓｅ．Ｉｎｔｈｅｃａｓｅｉｔｗａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｏｆｂｏｔｈ ＡｕａｎｄＣｕｇｒａｄｅｓｏｂｅｙｓａｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｗｈｉｃｈｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍｗａｓｖｅｒｉｆｉｅｄ．Ｔｈｅｎａｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｇｒａｄｅｓｉｎｔｈｅｇｏｌｄ-ｃｏｐｐｅｒｄｅｐｏｓｉｔｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｆｔｅｒｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕ- ｔｉｏｎｗａｓｅｘｐａｎｄｅｄｆｒｏｍｏｎｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｔｏｍｕｌｔｉ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｅｒｖｅｓｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｕｔ-ｏｆｆｇｒａｄｅｓｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｗｉｔｈ ｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌｗａｓｐｒｏｖｅｄｒｅｌｉａｂｌｅｆｏｒｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｗａｓｌｅｓｓｔｈａｎ10％ｗｈｉｃｈｉｓａｎａｃｃｅｐｔｅｄａｃｃｕｒａｃｙｆｏｒ ｒｅｓｅｒｖｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｓ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｐｏｌｙｍｅｔａｌｌｉｃｄｅｐｏｓｉｔｓ；ｒｅｓｅｒｖｅｓ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｕｔ-ｏｆｆｇｒａｄｅ；ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 收稿日期：2010--04--27 基金项目：国家高技术研究发展计划 “十一五 ”重点资助项目 （Ｎｏ．2006ＡＡ060203） 随着国内外金属市场的不断升温企业为了获 得更好的经济效益充分利用有限的地质资源重视 品位指标的优化与调整以期充分利用已有的基础 设施在不增加新的基建投资的情况下达到增加矿 产品产量、提高企业经济效益以及延长矿山服务年 限的目的 ［1--3］． 在品位指标优化调整过程中最为重要的是在 给定的边界品位下快速进行储量估算．对于单金属 矿床通过构造以边界品位和工业品位为自变量求 矿床储量和平均品位的数学模型可以完成储量计 算工作 ［4--5］．对于多金属矿床则通常采用综合品位 法即按照等价原则通过折算系数将次要组分的品 位换算为主要组分的等价品位最终简化成为单金 属的储量计算问题 ［6--8］．采用这一方法尽管可以实 现多金属矿床的储量计算但是它只是从经济角度 将次要组分进行折算没有考虑有用组分的空间分 布情况及彼此的相关性因而没有科学地反映出矿 床中有用组分的空间特性和地质特征；同时由于在 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．03．002
,258 北京科技大学学报 第33卷 确定折算系数时通常采用价格法、产值法或是盈利 2储量与平均品位计算总体模型 法，因而在很难区分主要组分和次要组分，矿产品的 价格波动程度很大的情况下，这一方法表现出一定 某金铜矿是一家以多金属矿产资源开采与加工 的局限性，为解决这一问题，本文建立了基于多元 为主的矿山企业，通过对勘探取样化验数据、生产实 概率分布的多金属矿床储量估算模型，并以某金铜 践过程中所采集的出矿品位数据等进行详细分析， 矿床为例，对不同品位组合下的储量和平均品位进 发现矿床的金、铜品位之间存在有一定的相关关系， 行了估算 经分析检验，相关系数约为0.8).因此，在进行储 1模型构建的基本思路 量估算时，以金、铜品位为考察对象， 设x和y分别表示金和铜的品位，将金属品位 多金属矿床储量估算的基本思路是将单金属的 x与y的最高值与最低值之间分成等距离n份使 维概率分布扩展至多维，以多金属品位多维分布 XOY平面形成网格，统计落在每一小矩形格子中样 函数的确定为起点建立储量与品位估算模型，整个 品体积.然后，绘出三维直方图并且检验样本的二 建模过程如图1所示， 维概率分布， 建立储量与平均品位计算的总体模型 假设矿体总体积为V(m),样本总体积为 (m),各品位段样本经统计检验xy服从于以 一推正态 一维正态 (xy)为概率密度函数的二元概率分布，设在品位 分布检验 分布拟合 段(x十dx)~(sy十dx)上的矿体体积为dV样本 数据 B发-n 多维 体积为dvG(xy)为点（y)处的矿石体重， 理 变换 相关分析 m3,如图2所示.则有 多维正态 多维正态 进行数据 分布检验 分布拟合 前期处理 山=dW=p{≤≤十ds≤≤b十dy= vV 地质数据 多维分布模型 11 f(x y)dxdy (1) 储量计算模型中 模型 由式(1)可以得出 参数的确定 计算 结果缩出 V_dV-k v dy 图1基于多维概率分布的多金属矿床储量估算过程 式中，k为常数 FigI Evaluation pmcess of reserves in polymetallic deposits based on amultidiensionality probability distribution 铜品位% 由图1可以总结出，储量的计算围绕着总体计 算模型，分别确定模型中的概率分布函数和模型 的参数，最终完成计算过程，具体按如下思路 进行 。+ (1)建立根据边界品位计算储量与平均品位的 金品位10* 总体模型， (2)数据前期处理，将地质数据进行筛选，归 图2金，铜品位二维概率密度分布图 Fig 2 Two dimensional pmbability density distrbution of Au and Cu 化处理后去除过大或过小数据以及空值数据 (3)对地质钻孔数据中各金属的品位进行一 维分布拟合，分别确定金属品位的一维概率分布 dV=Vdv=V fx y)dx=kf(x y)dxdy 函数 (4)对各金属品位的多维相关性进行分析 若以Q表示矿石量（单位为），则单位矿石量 (5)进行金属品位分布的多维拟合，确定多维 可以写成 分布函数模型 dQ=kG(x y)f(x y)dxdy (2) (6)采用多维分布函数模型，确定模型的参数， 由式(2)可知，在储量与平均品位计算的总体 完成计算过程并得出计算结果， 模型中，k值的确定是一个关键的内容，需要首先确
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 确定折算系数时通常采用价格法、产值法或是盈利 法因而在很难区分主要组分和次要组分矿产品的 价格波动程度很大的情况下这一方法表现出一定 的局限性．为解决这一问题本文建立了基于多元 概率分布的多金属矿床储量估算模型并以某金铜 矿床为例对不同品位组合下的储量和平均品位进 行了估算． 1 模型构建的基本思路 多金属矿床储量估算的基本思路是将单金属的 一维概率分布扩展至多维以多金属品位多维分布 函数的确定为起点建立储量与品位估算模型．整个 建模过程如图 1所示． 图 1 基于多维概率分布的多金属矿床储量估算过程 Ｆｉｇ．1 Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｒｅｓｅｒｖｅｓｉｎｐｏｌｙｍｅｔａｌｌｉｃｄｅｐｏｓｉｔｓｂａｓｅｄ ｏｎａｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 由图 1可以总结出储量的计算围绕着总体计 算模型分别确定模型中的概率分布函数和模型 的参数最终完成计算过程．具 体 按 如 下 思 路 进行． （1） 建立根据边界品位计算储量与平均品位的 总体模型． （2） 数据前期处理．将地质数据进行筛选归 一化处理后去除过大或过小数据以及空值数据． （3） 对地质钻孔数据中各金属的品位进行一 维分布拟合分别确定金属品位的一维概率分布 函数． （4） 对各金属品位的多维相关性进行分析． （5） 进行金属品位分布的多维拟合确定多维 分布函数模型． （6） 采用多维分布函数模型确定模型的参数 完成计算过程并得出计算结果． 2 储量与平均品位计算总体模型 某金铜矿是一家以多金属矿产资源开采与加工 为主的矿山企业通过对勘探取样化验数据、生产实 践过程中所采集的出矿品位数据等进行详细分析 发现矿床的金、铜品位之间存在有一定的相关关系 经分析检验相关系数约为 0∙8 ［9］．因此在进行储 量估算时以金、铜品位为考察对象． 设 ｘ和 ｙ分别表示金和铜的品位．将金属品位 ｘ与 ｙ的最高值与最低值之间分成等距离 ｎ份使 ＸＯＹ平面形成网格统计落在每一小矩形格子中样 品体积．然后绘出三维直方图并且检验样本的二 维概率分布． 假设矿体总体积为 Ｖ（ｍ 3 ）样本总体积为 ｖ（ｍ 3 ）各品位段样本经统计检验 ｘ、ｙ服从于以 ｆ（ｘｙ）为概率密度函数的二元概率分布．设在品位 段 （ｘｘ＋ｄｘ）～（ｙｙ＋ｄｘ）上的矿体体积为 ｄＶ样本 体积为 ｄｖ．Ｇ（ｘｙ）为点 （ｘｙ）处的矿石体重ｔ· ｍ －3如图 2所示．则有 ｄｖ ｖ ＝ ｄＶ Ｖ ＝Ｐ｛ｘ0≤ｘ≤ｘ0＋ｄｘｙ0≤ｙ≤ｙ0＋ｄｙ｝＝ ∫ ｙ0＋ｄｙ ｙ0 ∫ ｘ0＋ｄｘ ｘ0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （1） 由式 （1）可以得出 Ｖ ｖ ＝ ｄＶ ｄｖ ＝ｋ 式中ｋ为常数． 图 2 金、铜品位二维概率密度分布图 Ｆｉｇ．2 Ｔｗｏ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆＡｕａｎｄＣｕ ｇｒａｄｅｓ ｄＶ＝ Ｖ ｖ ｄｖ＝ Ｖ ｖ ｆ（ｘｙ）ｄｘ＝ｋｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ． 若以 Ｑ表示矿石量 （单位为 ｔ）则单位矿石量 可以写成 ｄＱ＝ｋＧ（ｘｙ）ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （2） 由式 （2）可知在储量与平均品位计算的总体 模型中ｋ值的确定是一个关键的内容需要首先确 ·258·
第3期 李国清等：基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 ,259. 定常数k的计算方法，在此基础上完成储量、平均品 yf(x y)dxdy 位及金属量的计算模型建立， u (x y)-Qo yf(x y)dxdy (1)常数k的求得，如果已知在边界品位( f(x y)dxdy ,≥D)下矿体的体积为%，则可以求出常数k Vo (10) (3) f(x y)dxdy kf(x y)dxdy yf(x y)dxdy (2)储量计算公式，由式(2)可以得出，对任意 9 f(x y)dxdy f(x y)dxdy Au品位≥xCu品位≥y时的矿石量可以表达为 Q(x y)=k G(x y)f(x y)dx (4) (11) 式中， 积分区域D如图3所示， Qo (12) 铜品位悦， f(x y)dxdy 3金、铜品位的二维概率分布模型 由式(8)~(12)可以看出，储量与平均品位的 计算模型中，最为关键、也最为困难的是求得金、铜 金品位10* 品位的二维概率分布模型，即式中的(y)由于 金、铜品位之间具有一定的相关性，因此在进行金、 图3积分区域 铜品位二维概率分布模型的拟合时，依据图1中的 Fig 3 In tegration range 研究思路需要先分别考察金、铜品位的一维分布模 (3)金属量的计算.，金、铜的金属量计算公式 型，再结合其相关性确定金、铜品位的二元分布 分别如下： 3.1金、铜品位的一维概率分布模型 (x y)=k xG(x y)f(x y)dxdy 5) 考察某铜矿床的地测数据，获得样本数据960 条，经过对样本中金与铜品位频率分析，其单金属 (x y)=k yG(x y)f(x y)dxdy (6) 品位不属于正态分布，如图4所示， (I)Box-Cox转换，为了使数据靠近正态性， 式中：是积分区域内的金金属量，kg是铜金属 通常采用的方法是对数据进行变换，然后再进行正 量，t 态性检验0-山.常用的有效变换方法有对数幂变 (4)平均品位的计算.金、铜的平均品位（9， 换、数变换、平方根变换和费希尔(Fher)的Z变换 e.分别为： Q.-4(xy(xy) 等，而Box-Cox的选择幂变换更具有通用性，这种 ，Q(xy)） (7) 方法对数据的变换形式如下2-) Q(x y) (5)计算公式的简化处理，如果矿石体重变化 -1 λ≠0 (13) 不大，则体重均值处理后，式(4)一(7)份别简化为： 入=0 f(x y)dxdy 它在x>0时对入是连续的，给定观测值， Q(&y)=Q0 =wo f(x y)dxdy ,,X,选择适当的幂入的Box-Cox解是使下式 (x y)dxdy 得到最大化的解： Do (8 1(入)= 是空(-西月+a-1会 4u(y）)=Qo y)dsdy (14) If(x y)dxdy 变换后的数据通常更向正态性靠近，图5显示 (9) 了取对数后该矿金和铜品位的频率图
第 3期 李国清等： 基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 定常数 ｋ的计算方法在此基础上完成储量、平均品 位及金属量的计算模型建立． （1） 常数 ｋ的求得．如果已知在边界品位 （ｘ≥ ｘ0ｙ≥ｙ0）下矿体的体积为 Ｖ0则可以求出常数 ｋ： ｋ＝ Ｖ0 ｖ0 ＝ Ｖ0 ∫ ＋∞ ｙ0 ∫ ＋∞ ｘ0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （3） （2） 储量计算公式．由式 （2）可以得出对任意 Ａｕ品位≥ｘＣｕ品位≥ｙ时的矿石量可以表达为 Ｑ（ｘｙ）＝ｋ∫ ＋∞ ｙ ∫ ＋∞ ｘ Ｇ（ｘｙ）ｆ（ｘｙ）ｄｘ （4） 积分区域 Ｄ如图 3所示． 图 3 积分区域 Ｆｉｇ．3 Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｒａｎｇｅ （3） 金属量的计算．金、铜的金属量计算公式 分别如下： ｑＡｕ（ｘｙ）＝ｋ∬Ｄ ｘＧ（ｘｙ）ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （5） ｑＣｕ（ｘｙ）＝ｋ∬Ｄ ｙＧ（ｘｙ）ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （6） 式中：ｑＡｕ是积分区域内的金金属量ｋｇ；ｑＣｕ是铜金属 量ｔ． （4） 平均品位的计算．金、铜的平均品位 （ｃＡｕ ｃＣｕ）分别为： ｃＡｕ＝ ｑＡｕ（ｘｙ） Ｑ（ｘｙ） ｃＣｕ＝ ｑＣｕ（ｘｙ） Ｑ（ｘｙ） （7） （5） 计算公式的简化处理．如果矿石体重变化 不大则体重均值处理后式 （4）～（7）分别简化为： Ｑ（ｘｙ）＝Ｑ0 ∬Ｄ ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ Ｄ∬0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ＝ｗ0∬Ｄ ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （8） ｑＡｕ（ｘｙ）＝Ｑ0 ∬Ｄ ｘｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ Ｄ∬0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ＝ｗ0∬Ｄ ｘｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （9） ｑＣｕ（ｘｙ）＝Ｑ0 ∬Ｄ ｙｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ Ｄ∬0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ＝ｗ0∬Ｄ ｙｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （10） ｃＡｕ＝ ∬Ｄ ｘｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ∬Ｄ ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ｃＣｕ＝ ∬Ｄ ｙｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ ∬Ｄ ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （11） 式中 ｗ0＝ Ｑ0 Ｄ∬0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ （12） 3 金、铜品位的二维概率分布模型 由式 （8）～（12）可以看出储量与平均品位的 计算模型中最为关键、也最为困难的是求得金、铜 品位的二维概率分布模型即式中的 ｆ（ｘｙ）．由于 金、铜品位之间具有一定的相关性因此在进行金、 铜品位二维概率分布模型的拟合时依据图 1中的 研究思路需要先分别考察金、铜品位的一维分布模 型再结合其相关性确定金、铜品位的二元分布． 3∙1 金、铜品位的一维概率分布模型 考察某铜矿床的地测数据获得样本数据 960 条．经过对样本中金与铜品位频率分析其单金属 品位不属于正态分布如图 4所示． （1） Ｂｏｘ--Ｃｏｘ转换．为了使数据靠近正态性 通常采用的方法是对数据进行变换然后再进行正 态性检验 ［10--11］．常用的有效变换方法有对数幂变 换、数变换、平方根变换和费希尔 （Ｆｉｓｈｅｒ）的 Ｚ变换 等而 Ｂｏｘ--Ｃｏｘ的选择幂变换更具有通用性．这种 方法对数据的变换形式如下 ［12--13］： ｙ＝ ｘ λ －1 λ λ≠0 ｌｎｘ λ＝0 （13） 它在 ｘ＞0时对 λ是连续的．给定观测值 ｘ1 ｘ2…ｘｎ选择适当的幂 λ的 Ｂｏｘ--Ｃｏｘ解是使下式 得到最大化的解： ｌ（λ）＝ － ｎ 2 ｌｎ 1 ｎ∑ ｎ ｉ＝1 （ｘ （λ） ｊ －ｘ （λ） ） 2 ＋（λ－1）∑ ｎ ｊ＝1 ｌｎｘｊ （14） 变换后的数据通常更向正态性靠近．图 5显示 了取对数后该矿金和铜品位的频率图． ·259·
·260 北京科技大学学报 第33卷 0.8F 0.9 0.6 0.6 图04 03 02 2 01.53.04.56.07.59.0105 01.53.04.56.0759.010.5 金品位10 铜品位/% 图4品位分布图：(a)金：(b)铜 Fig 4 Distribution of gmades (a)Au (b)Cu 0.9叶(a 09F (h) 0.6 0.6 0.3 03 0年 -2.0-1.6-1.2-0.8-0.400.40.8 -2.0-1.6-12-0.8-0.400.40.8 lnAt品位) ln(Cu品位) 图5取对数后品位分布图，(a)金；(b)铜 Fig 5 Distribution of logarithm ical gmades (a)Au (b)Cu 对金和铜品位数据进行Box-Cox转换后的结 铜品位： 果为：金，入.=-0.010上铜，入=+0.0372 4,≈42=hY=-0.1585325, 入a、入都接近于Q金、铜品位可能服从对数正态 02≈02=Sy=1.0652 分布， 则有金的概率密度函数： (2)正态检测，对数据进行Box-Cox转换之后 [x-12 f(x)= e 2? (15) 需对数据进行正态检测，采用Anderson-Darling.正 o1xN2π 态假设检测，根据显著性检验方法所得到的P值 铜的概率密度函数： (Pvale probability)来检验假设.在此取O.O5为 1 [hw-2]2 (y)= e 2a (16) 显著，即如果Pvae大于0.O5,则接受Anderson- 02y2 Darling假设Ho:样本服从正态分布，最后，对正态 金、铜品位相关性检验（取对数后）得到 分布的参数μ和©进行估计，以确定分布的概率分 p=0xhY=0.8462955. 布密度函数[4-15] 这说明金、铜品位之间具有一定的相关性 通过对其进行Anderson Darlingi正态假设检测， 3.2金、铜品位二维概率分布函数的确定 得到如下结果：金，A.=0.5986 Pvale=0.1175> 在分别确定金、铜品位分布的概率密度函数后， 0.05铜，A.=0.2944,Pvalue=0.5982>0.05. 需要针对二者之间的相关性，确定金、铜品位的二元 Pvale都大于0.O5,因此接受Anderson Darling假 分布，在960个样本中，若以x表示金品位，y表示 设H:样本服从正态分布， 铜品位，u和v分别为x和y取对数后的值，则对于 (3)概率密度函数的确定，由上可知，金和铜 W三(U,V)',由金、铜品位的统计数据计算统计均 分别属于对数正态分布，统计量的极大似然估计结 值W: 果如下 -0.00248948 金品位： -0.15853250 计算协方差矩阵$为： ≈h=nX=-0.00248948, 1.09265210.9423107 o1≈o1=Shx=1.0453 0.94231071.1346510
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 图 4 品位分布图：（ａ） 金；（ｂ） 铜 Ｆｉｇ．4 Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｇｒａｄｅｓ：（ａ） Ａｕ；（ｂ） Ｃｕ 图 5 取对数后品位分布图．（ａ） 金；（ｂ） 铜 Ｆｉｇ．5 Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｇｒａｄｅｓ（ａ） Ａｕ；（ｂ） Ｃｕ 对金和铜品位数据进行 Ｂｏｘ--Ｃｏｘ转换后的结 果为：金λＡｕ ＝－0∙0101；铜λＣｕ ＝ ＋0∙0372． λＡｕ、λＣｕ都接近于 0金、铜品位可能服从对数正态 分布． （2） 正态检测．对数据进行 Ｂｏｘ--Ｃｏｘ转换之后 需对数据进行正态检测．采用 Ａｎｄｅｒｓｏｎ--Ｄａｒｌｉｎｇ正 态假设检测根据显著性检验方法所得到的 Ｐ值 （Ｐ-ｖａｌｕｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ）来检验假设．在此取 0∙05为 显著即如果 Ｐ-ｖａｌｕｅ大于 0∙05则接受 Ａｎｄｅｒｓｏｎ- Ｄａｒｌｉｎｇ假设 Ｈ0：样本服从正态分布．最后对正态 分布的参数 μ和 δ进行估计以确定分布的概率分 布密度函数 ［14--15］． 通过对其进行 Ａｎｄｅｒｓｏｎ-Ｄａｒｌｉｎｇ正态假设检测 得到如下结果：金ＡＡｕ ＝0∙5986Ｐ-ｖａｌｕｅ＝0∙1175＞ 0∙05；铜ＡＣｕ ＝0∙2944Ｐ-ｖａｌｕｅ＝0∙5982＞0∙05． Ｐ-ｖａｌｕｅ都大于 0∙05因此接受 Ａｎｄｅｒｓｏｎ-Ｄａｒｌｉｎｇ假 设 Ｈ0：样本服从正态分布． （3） 概率密度函数的确定．由上可知金和铜 分别属于对数正态分布统计量的极大似然估计结 果如下． 金品位： μ＾1≈μ1＝ｌｎＸ＝－0∙00248948 σ＾1≈σ1＝ＳｌｎＸ ＝1∙0453． 铜品位： μ＾2≈μ2＝ｌｎＹ＝－0∙1585325 σ＾2≈σ2＝ＳｌｎＹ＝1∙0652． 则有金的概率密度函数： ｆＸ （ｘ）＝ 1 σ1ｘ 2π ｅ － ［ｌｎｘ－μ1］2 2σ2 1 （15） 铜的概率密度函数： ｆＹ（ｙ）＝ 1 σ2ｙ 2π ｅ － ［ｌｎｙ－μ2］2 2σ2 2 （16） 金、铜品位相关性检验 （取对数后 ）得到 ρ＾≈ρ＝ρｌｎＸｌｎＹ＝0∙8462955． 这说明金、铜品位之间具有一定的相关性． 3∙2 金、铜品位二维概率分布函数的确定 在分别确定金、铜品位分布的概率密度函数后 需要针对二者之间的相关性确定金、铜品位的二元 分布．在 960个样本中若以 ｘ表示金品位ｙ表示 铜品位ｕ和 ｖ分别为 ｘ和 ｙ取对数后的值则对于 Ｗ＝（ＵＶ） Ｔ由金、铜品位的统计数据计算统计均 值 Ｗ： Ｗ＝ －0∙00248948 －0∙15853250 ． 计算协方差矩阵 Ｓ为： Ｓ＝ 1∙0926521 0∙9423107 0∙9423107 1∙1346510 ． ·260·
第3期 李国清等：基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 ,261. 以公式f=(W-W)'s(W-W)计算出所有 点的广义距离.根据多元统计学，如果有半数以上 点的广义距离小于(0.5)=1.93并且所作的卡 方图为近似斜率1的直线，则说明样本具有二元正 态性， 经过计算广义距离小于发(0.5)的比率为 70.6 57%,其卡方图如图6所示. 0204060810立140 金品位106 15 图7金、铜品位二维对数正态分布概率密度函数 10 Fig7 Pmbability density fiunction with a to dinensional lgaritlm ic nomal distrbution of Au and Cu grades 简化公式(8)~(12)来计算，其中需要确定的参数 为wo 排序后的方差 根据各表内储量表和矿床工业指标，可以计算 出wo:表1为某矿2009年6月底表内储量表，表2 图6金、铜品位二维卡方检测 为矿床工业指标表 Fig 6 Twodinensional chi-square test for Au and Cu grades 表12009年6月底表内储量 图形是近似斜率为1的直线，表明金、铜品位取 Table 1 Reserves by the end of June 2009 对数后符合N(凸，，σ1，σ2，P)二元正态分布，其概 矿石量/ Au平均 Cu平均 Au金属 C金属 率密度如下： 103t 品位10-6 品位% 量kg 量/： f(u v)= 682.7 2.01 1.84 13920.34 125923.85 2xo12J1=。ea-22 12 表2矿床工业指标 Table2 Industrial ndicators of deposits (17) 矿石 Cu边界 Au边界 平均体重/ 式中的凸、、o1、o和P为3.1中得到的结果 类型 品位% 品位10一6 (m-3) 现在已得知随机变量(U=n(X),V=h(Y)) 铜金矿石 ≥0.3 ≥0.3 服从二元正态分布，则(XY)所服从二元正态分布 铜矿石 ≥0.3 2.964 的概率密度函数如下： 金矿石 ≥0.3 Fx(sy)=P{X≤x≤y=Pe≤e≤y= P Inx≤hy}=fv(hwhy) 计算w如下：Q=6827000: f(x y)dxdy= 则有 Do 0.9080其中D:1ye0.3≥0.3.则有 f(&y)= 子E(s)_子F(hshy= axdy axav 682700 w-0.9080 7518548.8680 (hs hy) πo102yJ1-7 4.2模型的计算结果 e[7-L4山2 总结以上的模型建立过程得出储量计算公式为 0182 (18) Q(xy)=7518548.8680 其x(y)图形如图7所示. f(x y)dxdy (19) D 4计算结果与分析 平均品位公式见式(11)，式(19)中的二维概率 分布函数(y)见式(18)式(18)中的相关参数见 4.1模型中各参数的确定 3.1至此即可计算出在给定边界品位下的储量和 该矿矿石体重的范围变化不大，因而视为常数， 平均品位.在本文中分别将金和铜从0.1到0.5以 平均为2.964m3,则储量、金属量和平均品位以 步长为0.1进行储量计算，结果如表3所示
第 3期 李国清等： 基于多维概率分布的多金属矿床储量估算模型 以公式 ｄ 2＝（Ｗ－Ｗ）′Ｓ －1 （Ｗ－Ｗ）计算出所有 点的广义距离．根据多元统计学如果有半数以上 点的广义距离小于 χ 2 2 （0∙5） ＝1∙93并且所作的卡 方图为近似斜率 1的直线则说明样本具有二元正 态性． 经过计算广义距离小于 χ 2 2 （0∙5）的比率为 57％其卡方图如图 6所示． 图 6 金、铜品位二维卡方检测 Ｆｉｇ．6 Ｔｗｏ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｈｉ-ｓｑｕａｒｅｔｅｓｔｆｏｒＡｕａｎｄＣｕｇｒａｄｅｓ 图形是近似斜率为 1的直线表明金、铜品位取 对数后符合 Ｎ（μ1μ2σ1σ2ρ）二元正态分布其概 率密度如下： ｆ（ｕｖ）＝ 1 2πσ1σ2 1－ρ 2ｅ － 1 2（1－ρ2） （ｕ－μ1）2 σ1 －2ρ （ｕ－μ1）（ｖ－μ2） σ1σ2 ＋ （ｖ－μ2）2 σ2 （17） 式中的 μ1、μ2、σ1、σ2和 ρ为 3∙1中得到的结果． 现在已得知随机变量 （Ｕ＝ｌｎ（Ｘ）Ｖ＝ｌｎ（Ｙ）） 服从二元正态分布则 （ＸＹ）所服从二元正态分布 的概率密度函数如下： ＦＸＹ（ｘｙ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘＹ≤ｙ｝＝Ｐ｛ｅ Ｕ≤ｘｅ Ｖ≤ｙ｝＝ Ｐ｛Ｕ≤ｌｎｘＶ≤ｌｎｙ｝＝ＦＵＶ（ｌｎｘｌｎｙ）∙ 则有 ｆＸＹ（ｘｙ）＝ ∂ 2ＦＸＹ（ｘｙ） ∂ｘ∂ｙ ＝ ∂ 2ＦＵＶ（ｌｎｘｌｎｙ） ∂ｘ∂ｙ ＝ 1 ｘｙ ｆＵＶ（ｌｎｘｌｎｙ）＝ 1 2πσ1σ2ｘｙ 1－ρ 2· ｅ － 1 2（1－ρ2） （ｌｎｘ－μ1）2 σ21 －2ρ （ｌｎｘ－μ1）（ｌｎｙ－μ2） σ1σ2 ＋ （ｌｎｙ－μ2）2 σ22 （18） 其 ｆＸＹ（ｘｙ）图形如图 7所示． 4 计算结果与分析 4∙1 模型中各参数的确定 该矿矿石体重的范围变化不大因而视为常数 平均为 2∙964ｔ·ｍ －3则储量、金属量和平均品位以 图 7 金、铜品位二维对数正态分布概率密度函数 Ｆｉｇ．7 Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｗｉｔｈａｔｗｏ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆＡｕａｎｄＣｕｇｒａｄｅｓ 简化公式 （8）～（12）来计算其中需要确定的参数 为 ｗ0． 根据各表内储量表和矿床工业指标可以计算 出 ｗ0．表 1为某矿 2009年 6月底表内储量表表 2 为矿床工业指标表． 表 1 2009年 6月底表内储量 Ｔａｂｌｅ1 ＲｅｓｅｒｖｅｓｂｙｔｈｅｅｎｄｏｆＪｕｎｅ2009 矿石量／ 104ｔ Ａｕ平均 品位／10－6 Ｃｕ平均 品位／％ Ａｕ金属 量／ｋｇ Ｃｕ金属 量／ｔ 682∙7 2∙04 1∙84 13920∙34 125923∙85 表 2 矿床工业指标 Ｔａｂｌｅ2 Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｏｆｄｅｐｏｓｉｔｓ 矿石 类型 Ｃｕ边界 品位／％ Ａｕ边界 品位／10－6 平均体重／ （ｔ·ｍ－3） 铜金矿石 ≥0∙3 ≥0∙3 － 铜矿石 ≥0∙3 ¾ 2∙964 金矿石 ¾ ≥0∙3 － 计算 ｗ0如下：Ｑ0 ＝6827000； Ｄ∬0 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ＝ 0∙9080其中 Ｄ0：｛ｘｙ｜ｘ≥0∙3ｙ≥0∙3｝．则有 ｗ0＝ 682700 0∙9080 ＝7518548∙8680． 4∙2 模型的计算结果 总结以上的模型建立过程得出储量计算公式为 Ｑ（ｘｙ）＝7518548∙8680∬Ｄ ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ（19） 平均品位公式见式 （11）式 （19）中的二维概率 分布函数 ｆ（ｘｙ）见式 （18）式 （18）中的相关参数见 3∙1．至此即可计算出在给定边界品位下的储量和 平均品位．在本文中分别将金和铜从 0∙1到 0∙5以 步长为 0∙1进行储量计算结果如表 3所示． ·261·