x—一测量集合中某测量值 2.相对误差Er 绝对误差与真值之比称为相对误差 D (2-7) 相对误差常用百分数或千分数表示。因此不同物理量的相对误差可以互相比较,相对 误差与被测之量的大小及绝对误差的数值都有关系。 3.引用误差 仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分值。引用误差常用来表示仪表的 精度 222测量列(集合)的误差表示 1.范围误差 范围误差是指一组测量中的最高值与最低值之差,以此作为误差变化的范围。使用中 常应用误差的系数的概念。 L a 式中:K一一最大误差系数 范围误差 C-—算术平均值 范围误差最大缺点是使K只以决于两极端值。而与测量次数无关, 2.算术平均误差 算术平均误差是表示误差的较好方法,其定义为 ∑d 2 式中:n——观测次数 d,--测量值与平均值的偏差,d,=x,-a。 算术平均误差的缺点是无法表示出各次测量间彼此符合的情况。 3.标准误差 标准误差也称为根误差。 (2-10) 标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏,成为表示精确度的较好 方法。 上式适用无限次测量的场合。实际测量中,测量次数是有限的,改写为 (2-11) 标准误差不是一个具体的误差,σ的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的 任一次观察值对其算术平均值的分散程度,如果σ的值小,说明该测量集合中相应小的误 差就占优势,任一次观测值对其算术平均值的分散度就小,测量的可靠性就大
x ——测量集合中某测量值 2．相对误差 Er 绝对误差与真值之比称为相对误差 X D Er = （2-7） 相对误差常用百分数或千分数表示。因此不同物理量的相对误差可以互相比较，相对 误差与被测之量的大小及绝对误差的数值都有关系。 3．引用误差 仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分值。引用误差常用来表示仪表的 精度。 2.2.2 测量列（集合）的误差表示 1．范围误差 范围误差是指一组测量中的最高值与最低值之差，以此作为误差变化的范围。使用中 常应用误差的系数的概念。 L K = （2-8） 式中： K ——最大误差系数； L ——范围误差； ——算术平均值。 范围误差最大缺点是使 K 只以决于两极端值。而与测量次数无关。 2．算术平均误差 算术平均误差是表示误差的较好方法，其定义为 δ= n di ，i = 1,2, n （2-9） 式中： n——观测次数； i d —－测量值与平均值的偏差， di = xi − 。 算术平均误差的缺点是无法表示出各次测量间彼此符合的情况。 3．标准误差 标准误差也称为根误差。 n di = 2 （2-10） 标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，成为表示精确度的较好 方法。 上式适用无限次测量的场合。实际测量中，测量次数是有限的，改写为 1 2 − = n di （2-11） 标准误差不是一个具体的误差， 的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的 任一次观察值对其算术平均值的分散程度，如果 的值小，说明该测量集合中相应小的误 差就占优势，任一次观测值对其算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大
算术平均误差和标准误差的计算式中第i次误差可分别代入绝对误差和相对误差,相对 得到的值表示测量集合的绝对误差和相对误差 上述的各种误差表示方法中,不论是比较各种测量的精度或是评定测量结果的质量, 均以相对误差和标准误差表示为佳,而在文献中标准误差更常被采用。 223仪表的精确度与测量值的误差 1.电工仪表等一些仪表的精确度与测量误差 这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的等级来表示。仪表的最大 引用误差的定义为 最大引用误差 仪表显示值的绝对误差 ×100% (2-12) 该仪表相应档次量程的绝对值 式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常情况下。被测参数的测量值与被测参数的标准 值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表,不同档次显示值的绝对误差和程量范围均不相 式(2-12)表明,若仪表显示值的绝对误差相同,则量程范围愈大,最大引用误差愈小。 我国电工仪表的精确度等级有七种:0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、50。如某仪表的 精确度等级为2.5级,则说明此仪表的最大引用误差为2.5%。 在使用仪表时,如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差? 设仪表的精确度等级P级,其最大引用误差为10%。设仪表的测量范围为x仪表的 示值为x;,则由式(2-12)得该示值的误差为 绝对误差D≤x。×P% (2-13) 相对误差E=≤二×P% 式(2-13)表明: (1)若仪表的精确度等级P和测量范围xn已固定,则测量的示值x1愈大,测量的相 对误差愈小 (2)选用仪表时,不能盲目地追求仪表的精确度等级。因为测量的相对误差还 与工有关。应该兼顾仪表的精确度等级和x两者 2.天平类仪器的精确度和测量误差 这些仪器的精度用以下公式来表示: 仪器的精密度=名义分度值 (2-14) 量程的范围 式中名义分度值指测量时读数有把握正确的最小分度单位,即每个最小分度所代表的 数值。例如TG-3284型天平,其名义分度值(感量)为0.1毫克,测量范围为0-200克, 则其 精确度 =5×10 (2-15) (200-0)×103 若仪器的精确度已知,也可用式(2-14)求得其名义分度值
算术平均误差和标准误差的计算式中第 i 次误差可分别代入绝对误差和相对误差，相对 得到的值表示测量集合的绝对误差和相对误差。 上述的各种误差表示方法中，不论是比较各种测量的精度或是评定测量结果的质量， 均以相对误差和标准误差表示为佳，而在文献中标准误差更常被采用。 2.2.3 仪表的精确度与测量值的误差 1．电工仪表等一些仪表的精确度与测量误差 这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的等级来表示。仪表的最大 引用误差的定义为 最大引用误差= 该仪表相应档次量程的绝对值 仪表显示值的绝对误差 ×100% （2-12） 式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常情况下。被测参数的测量值与被测参数的标准 值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表，不同档次显示值的绝对误差和程量范围均不相 同。 式（2-12）表明，若仪表显示值的绝对误差相同，则量程范围愈大，最大引用误差愈小。 我国电工仪表的精确度等级有七种：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2..5、5.0。如某仪表的 精确度等级为 2.5 级，则说明此仪表的最大引用误差为 2.5%。 在使用仪表时，如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差？ 设仪表的精确度等级 P 级，其最大引用误差为 10%。设仪表的测量范围为 n x 仪表的 示值为 i x ，则由式（2-12）得该示值的误差为 = % % P x x x D E D x P i n i n 相对误差 绝对误差 （2-13） 式（2-13）表明： （1）若仪表的精确度等级 P 和测量范围 n x 已固定，则测量的示值 i x 愈大，测量的相 对误差愈小。 （2）选用仪表时，不能盲目地追求仪表的精确度等级。因为测量的相对误差还 与 i n x x 有关。应该兼顾仪表的精确度等级和 i n x x 两者。 2．天平类仪器的精确度和测量误差 这些仪器的精度用以下公式来表示： 仪器的精密度= 量程的范围 名义分度值 （2-14） 式中名义分度值指测量时读数有把握正确的最小分度单位，即每个最小分度所代表的 数值。例如 TG—3284 型天平，其名义分度值（感量）为 0.1 毫克，测量范围为 0~200 克， 则其 精确度= 7 3 5 10 200 0 10 0.1 − = （ − ） （2-15） 若仪器的精确度已知，也可用式（2-14）求得其名义分度值
使用这些仪器时,测量的误差可用下式来确定: 绝对误差≤名义分度值 (2-16) 相对误差≤ 名义度值 测量值 3.测量值的实际误差 由于仪表的精确度用上述方法所确定的测量误差,一般总是比测量值的实际误差小的 多。这是因为仪器没有调整到理想状态,如不垂直、不水平、零位没有调整好等,会引起 误差:仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件,会引起附加误差:仪器经过长期 使用后,零件发生磨损,装配状况发生变化等,也会引起误差;可能存在有操作者的习惯 和偏向所引起的误差;仪表所感受的信号实际上可能并不等于待测的信号:仪表电路可能 会受到干扰等 总而言之,测量值实际误差大小的影响因素是很多的。为了获得较准确的测量结果 需要有较好的仪器,也需要有科学的态度和方法,以及扎实的理论知识和实践经验 23“过失”误差的舍弃 这里加引号的“过失”误差与前面提到真正的过失误差是不同的,在稳定过程,不受 任何人为因素影响,测量出少量过大或过小的数值,随意地舍弃这些“坏值”,以获得实验 结果的一致,这是一种错误的做法,“坏值”的舍弃要有理论依据。 如何判断是否属于异常值?最简单的方法是以三倍标准误差为依据。 从概率的理论可知,大于3σ(均方根误差)的误差所出现的概率只有0.3%,故通常把 这一数值称为极限误差,即 如果个别测量的误差超过3a,那么就可以认为属于过失误差而将舍弃。重要的是如何 从有限的几次观察值中舍弃可疑值的问题,因为测量次数少,概率理论已不适用,而个别 失常测量值对算术平均值影响很大。 有一种简单的判断法,即略去可疑观测值后,计算其余各观测值的平均值a及平均误 差δ,然后算出可疑观测值x与平均值α的偏差d 如果 d≥46 则此可疑值可以舍弃,因为这种观测值存在的概率大约只有千分之 24间接测量中的误差传递 在许多实验和研究中,所得到的结果有时不是用仪器直接测量得到的,而是要把实验 现场直接测量值代入一定的理论关系式中,通过计算才能求得所需要的结果,既间接测量 值。由于直接测量值总有一定的误差,因此它们必然引起间接测量值也有一定的误差,也 就是说直接测量误差不可避免地传递到间接测量值中去,而产生间接测量误差。 误差的传递公式:从数学中知道,当间接测量值(y)与直接值测量值(x1,x2,…xn)有 函数关系时,即 则其微分式为:
使用这些仪器时，测量的误差可用下式来确定： 测量值 名义度值 相对误差 绝对误差 名义分度值 （2-16） 3．测量值的实际误差 由于仪表的精确度用上述方法所确定的测量误差，一般总是比测量值的实际误差小的 多。这是因为仪器没有调整到理想状态，如不垂直、不水平、零位没有调整好等，会引起 误差；仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件，会引起附加误差；仪器经过长期 使用后，零件发生磨损，装配状况发生变化等，也会引起误差；可能存在有操作者的习惯 和偏向所引起的误差；仪表所感受的信号实际上可能并不等于待测的信号；仪表电路可能 会受到干扰等。 总而言之，测量值实际误差大小的影响因素是很多的。为了获得较准确的测量结果， 需要有较好的仪器，也需要有科学的态度和方法，以及扎实的理论知识和实践经验。 2.3“过失”误差的舍弃 这里加引号的“过失”误差与前面提到真正的过失误差是不同的，在稳定过程，不受 任何人为因素影响，测量出少量过大或过小的数值，随意地舍弃这些“坏值”，以获得实验 结果的一致，这是一种错误的做法，“坏值”的舍弃要有理论依据。 如何判断是否属于异常值？最简单的方法是以三倍标准误差为依据。 从概率的理论可知，大于 3 （均方根误差）的误差所出现的概率只有 0.3%，故通常把 这一数值称为极限误差，即 极限 ＝3 （2-17） 如果个别测量的误差超过 3 ，那么就可以认为属于过失误差而将舍弃。重要的是如何 从有限的几次观察值中舍弃可疑值的问题，因为测量次数少，概率理论已不适用，而个别 失常测量值对算术平均值影响很大。 有一种简单的判断法，即略去可疑观测值后，计算其余各观测值的平均值 及平均误 差 ，然后算出可疑观测值 i x 与平均值 的偏差 d 如果 d 4 则此可疑值可以舍弃，因为这种观测值存在的概率大约只有千分之一。 2.4 间接测量中的误差传递 在许多实验和研究中，所得到的结果有时不是用仪器直接测量得到的，而是要把实验 现场直接测量值代入一定的理论关系式中，通过计算才能求得所需要的结果，既间接测量 值。由于直接测量值总有一定的误差，因此它们必然引起间接测量值也有一定的误差，也 就是说直接测量误差不可避免地传递到间接测量值中去，而产生间接测量误差。 误差的传递公式：从数学中知道，当间接测量值 ( y) 与直接值测量值 ( , , ) 1 2 n x x x 有 函数关系时，即 ( , , ) 1 2 n y = f x x x 则其微分式为：
Oy yf(x, x2 根据式(2-18)和(2-19),当直接测量值的误差(△x1,Ax2,…Axn)很小,并且考虑 到最不利的情况,应是误差累积和取绝对值,则可求间接测量值的误差或Ay/y为 △x (2-21) 这两个式子就是由直接测量误差计算间接测量误差的误差传递公式。对于标准差的传 则有 (2-22) 式中a,,σ,等分别为直接测量的标准误差、σ,为间接测量值的标准误差 上式在有关资料中称之为“几何合成”或“极限相对误差”。现将计算函数的误差 的各种关系式列表如下: 函数式的误差关系表 误差传递公式 数学式 最大绝对误差 最大相对误差r(y) y=x+x2+…+x2Ay=±(△x1|+x2|+…+1xn Er()= 4r y=x,+x2 y=±(Ax+4x2| Er(y)=av Ay=A(x1·x2) y=xx2 ±(x1·△x2|+{x2·Ax1 或4y=yE,(y) x1·x2·△x y=x1x2x3+x:x3Ax2|+x2x3AxDE,(y)= 戈△y=y·E1(y) y= 或Ay=y·E,(y) 4心 △ y Er(y) E:(y) y E,( E:( x
n n dx x y dx x y dx x y dy + + + = 2 2 1 1 （2-18） + + + = n n n dx x y dx x y dx x y y f x x x dy 2 2 1 1 2 1 ( , ) 1 （2-19） 根据式（2-18）和（2-19），当直接测量值的误差 ( , , ) 1 2 n x x x 很小，并且考虑 到最不利的情况，应是误差累积和取绝对值，则可求间接测量值的误差 y或y y 为： n n x x y x x y x x y y + + + = 2 2 1 1 （2-20） + + + = = n n n x x y x x y x x y y f x x x y 2 2 1 1 2, 1 , 1 Er （ ） （2-21） 这两个式子就是由直接测量误差计算间接测量误差的误差传递公式。对于标准差的传 则有： 2 2 2 2 2 2 1 1 2 n x n y x x x y x y x y + + + = （2-22） 式中 1 x ， 2 x 等分别为直接测量的标准误差、 y 为间接测量值的标准误差。 上式在有关资料中称之为“几何合成”或“极限相对误差”。现将计算函数的误差 的各种关系式列表如下： 函数式的误差关系表 数学式 误 差 传 递 公 式 最大绝对误差 最大相对误差 Er( y) n y = x + x ++ x 1 2 ( ) 1 2 n y = x + x ++ x y y y Er( ) = 1 2 y = x + x ( ) 1 2 y = x + x y y y Er( ) = 1 2 y = x x 或 （ ） （ ） y y y x x x x y x x r 1 2 2 1 1 2 E ( ) = = + = + = = 2 2 1 1 r r 1 2 E E x x x x （y） （x x ） 1 2 3 y = x x x E ( ) ) ( r 1 3 2 2 3 1 1 2 3 y y y x x x x x x y x x x = + + = 或 + + = 3 3 2 2 1 1 r E ( ) x x x x x x y n y = x ( ) E ( ) r 1 y y y y nx x n = = − 或 = x x Er (y) n n y = x E ( ) 1 r 1 1 y y y x x n y n = = − 或 = = x x y n y y 1 E ( ) r 2 1 x x y = E ( ) y = y r y + = 2 2 1 1 r E ( ) x x x x y
Ay=△(cx)=+c:△x y=cx E,(y)=2y 或E,(y)=￥4x/ 或A=y·E1(y) Ay=±(043429lx)·Ax y=logo E1(y) 0.43429lnx 043429 25误差分析在阻力实验中的具体应用 误差分析除用于计算测量结果的精确度外,还可以对具体的实验设计予与先进行误差 分析,在找到误差的主要来源及每一个因素所引起的误差大小后,对实验方案和选用仪器 仪表提出有益的建议。 例21本实验测定层流Re~λ关系是在Dg6(公称径为6mm)的小铜管中进行,因内 径大小,不能采用一般的游标卡尺测量,而是采用体积法进行直径间接测量。截取高度为 40omm的管子,测量这段管子中水的容积,从而计算管子的平均内径。测量的量具用移液 管,其体积刻度线相当准确,而且它的系统误差可以忽略。体积测量三次,分别为1131 1126、1130(毫升)。问体积的算术平均值α、平均绝对误差D、相对误差Er为多少? 解:算术平均值 ∑x,11.31+11.26+11.30 平均绝对误差D=129-131+29-1126+129-11302 相对误差E D±0.02 100%=0.18% 11.29 例2-2要测定层流状态下,公称内径为6mm的管道的摩擦系数λ(参见流体阻力实验) 希望在Re=200时,λ的精确度不低于45%,问实验装置设计是否合理?并选用合适的测 量方法和测量仪器 解:1的函数形式是:=2gz2.d(R-R2) 式中:R、R2一一被测量段前后液注读数值mHO ——流量m3: 被测量段长度[m] 标准误差:E()A2=1+12(+(2+(8+A 要求EA)<45%由于Δ所引起的误差小于(),故可以略去不考虑。剩下三项分误差, 可按等效法进行分配,每项分误差和总误差的关系 Er(x)=y3m2=45% 每项分误差m==%=26% ①流量项的分误差估计: 首先确定V值 dr=20 0.006×10 94×10-[m3/s]=94ml/s 4×1000
y = cx E ( ) ( ) r y y y y cx c x = = = 或 x x y y y y = E ( ) = E ( ) r 或 r x y x 0.43429 ln log = = x x y x x = = 0.43429 (0.43429ln ) ' y y y Er ( ) = 2.5 误差分析在阻力实验中的具体应用 误差分析除用于计算测量结果的精确度外，还可以对具体的实验设计予与先进行误差 分析，在找到误差的主要来源及每一个因素所引起的误差大小后，对实验方案和选用仪器 仪表提出有益的建议。 例 2-1 本实验测定层流 Re～ 关系是在 Dg6（公称径为 6mm）的小铜管中进行，因内 径大小，不能采用一般的游标卡尺测量，而是采用体积法进行直径间接测量。截取高度为 400mm 的管子，测量这段管子中水的容积，从而计算管子的平均内径。测量的量具用移液 管，其体积刻度线相当准确，而且它的系统误差可以忽略。体积测量三次，分别为 11.31、 11.26、11.30（毫升）。问体积的算术平均值 、平均绝对误差 D、相对误差 Er 为多少？ 解：算术平均值 11.29 3 11.31 11.26 11.30 = + + = = n xi 平均绝对误差 0.02 3 11.29 11.31 11.29 11.26 11.29 11.30 = − + − + − D = 相对误差 100% 0.18% 11.29 0.02 Er = = = a D 例 2-2 要测定层流状态下，公称内径为6mm的管道的摩擦系数λ（参见流体阻力实验）， 希望在 Re =200 时，λ 的精确度不低于 4.5%，问实验装置设计是否合理？并选用合适的测 量方法和测量仪器。 解：λ 的函数形式是：λ= 2 1 2 2 5 ( ) 16 2 s lV g d R − R 式中： R1、 R2——被测量段前后液注读数值[mH2O]： Vs——流量[m3 /s]： l ——被测量段长度[m]。 标准误差：Er(λ)= 2 1 2 2 2 2 1 2 [5( )] [2( )] ( ) ( ) R R R R l l V V d d s s − + + + + = 要求 Er(λ)<4.5%,由于 l l 所引起的误差小于 10 () Er ，故可以略去不考虑。剩下三项分误差， 可按等效法进行分配，每项分误差和总误差的关系： Er(λ)= 2 3mi =4.5% 每项分误差 mi= % 2.6% 3 4.5 = ○1 流量项的分误差估计： 首先确定 Vs 值 9.4 10 [ / ] 9.4[ / ] 4 1000 0.006 10 2000 4 Re 6 3 3 m s ml s d Vs = = = = − −