来表示a、d、c而改为以d、e、f表示a、b、c,整理得到的数群形式也就不同。不过 这些形式不同的数群可以通过互相乘除,仍然可以变换成前例中所求得的四个数群。 (2)必须对所研究的过程的问题有本质的了解,如果有一个重要的变量被遗漏或者引 进一个无关的变量,就会得出不正确的结果,甚至导致谬误的结论。所以应用因次分析法 必须持谨慎的态度。 从以上分析可知:因次分析法是通过将变量组合成无因次数群,从而减少实验自变量 的个数,大幅度地减少实验次数,此外另一个极为重要的特性是,若按式(1-1)进行实验 时,为改变ρ和μ,实验中必须换多种液体;为改变d,必须改变实验装置(管径)。而应 用因次分析所得的式(1-5)指导实验时,要改变dyp/μ只需改变流速;要改变l/d,只需 改变测量段的距离,即两测压点的距离。从而可以将水、空气等的实验结果推广应用于其 他流体,将小尺寸模型的实验结果应用于大型实验装置。因此实验前的无因次化工作是规 划一个实验的一种有效手段,在化工上广为应用。 13数学模型法 13.1数学模型法主要步骤 数学模型法是在对研究的问题有充分认识的基础上,按以下主要步骤进行工作: (1)将复杂问题作合理又不过于失真的简化,提出一个近似实际过程又易于用数学方 程式描述的物理模型; (2)对所得到的物理模型进行数学描述即建立数学模型,然后确定该方程的初始条件 和边界条件,求解方程。 (3)通过实验对数学模型的合理性进行检验并测定模型参数。 13.2数学模型法举例说明 以求取流体通过固定床的压降为例。固定床中颗粒间的空隙形成许多可供流体通过的 细小通道,这些通道是曲折而且互相交联的,同时,这些通道的截面大小和形状又是很不 规则的,流体通过如此复杂的通道时的压降自然很难进行理论计算,但我们可以用数学模 型法来解决 1.物理模型 流体通过颗粒层的流动多呈爬流状态,单位体积床层所具有的表面积对流动阻力有决 定性的作用。这样,为解决压降问题,可在保证单位体积表面积相等的前提下,将颗粒层 内的实际流动过程作如下大幅度的简化,使之可以用数学方程式加以描述: 将床层中的不规则通道简化成长度为L的一组平行细管,并规定: (1)细管的内表面积等于床层颗粒的全部表面 (2)细管的全部流动空间等于颗粒床层的空隙容积 根据上述假定,可求得这些虚拟细管的当量直径d 4×通道的截面积 (1-9) 润湿周边 分子、分母同乘L,则有 d=4x床层的流动空间 (1-10) 细管的全部内表面
来表示 a、d、c 而改为以 d、e、f 表示 a、b、c，整理得到的数群形式也就不同。不过， 这些形式不同的数群可以通过互相乘除，仍然可以变换成前例中所求得的四个数群。 （2）必须对所研究的过程的问题有本质的了解，如果有一个重要的变量被遗漏或者引 进一个无关的变量，就会得出不正确的结果，甚至导致谬误的结论。所以应用因次分析法 必须持谨慎的态度。 从以上分析可知：因次分析法是通过将变量组合成无因次数群，从而减少实验自变量 的个数，大幅度地减少实验次数，此外另一个极为重要的特性是，若按式（1-1）进行实验 时，为改变 和 ，实验中必须换多种液体；为改变 d ，必须改变实验装置（管径）。而应 用因次分析所得的式（1-5）指导实验时，要改变 du 只需改变流速；要改变 l d ，只需 改变测量段的距离，即两测压点的距离。从而可以将水、空气等的实验结果推广应用于其 他流体，将小尺寸模型的实验结果应用于大型实验装置。因此实验前的无因次化工作是规 划一个实验的一种有效手段，在化工上广为应用。 1.3 数学模型法 1.3.1 数学模型法主要步骤 数学模型法是在对研究的问题有充分认识的基础上，按以下主要步骤进行工作： （1）将复杂问题作合理又不过于失真的简化，提出一个近似实际过程又易于用数学方 程式描述的物理模型； （2）对所得到的物理模型进行数学描述即建立数学模型，然后确定该方程的初始条件 和边界条件，求解方程。 （3）通过实验对数学模型的合理性进行检验并测定模型参数。 1.3.2 数学模型法举例说明 以求取流体通过固定床的压降为例。固定床中颗粒间的空隙形成许多可供流体通过的 细小通道，这些通道是曲折而且互相交联的，同时，这些通道的截面大小和形状又是很不 规则的，流体通过如此复杂的通道时的压降自然很难进行理论计算，但我们可以用数学模 型法来解决 1．物理模型 流体通过颗粒层的流动多呈爬流状态，单位体积床层所具有的表面积对流动阻力有决 定性的作用。这样，为解决压降问题，可在保证单位体积表面积相等的前提下，将颗粒层 内的实际流动过程作如下大幅度的简化，使之可以用数学方程式加以描述： 将床层中的不规则通道简化成长度为 Le 的一组平行细管，并规定： （1）细管的内表面积等于床层颗粒的全部表面； （2）细管的全部流动空间等于颗粒床层的空隙容积。 根据上述假定，可求得这些虚拟细管的当量直径 de 润湿周边 通道的截面积 = 4 de （1-9） 分子、分母同乘 Le ，则有 细管的全部内表面 床层的流动空间 = 4 de （1-10）
以1m3床层体积为基准,则床层的流动空间为ε,每m3床层的颗粒表面即为床层的比 表面an,因此 (1-11) 按此简化的物理模型,流体通过固定床的压降即可等同于流体通过一组当量直径为d 长度为L的细管的压降 2.数学模型 上述简化的物理模型,已将流体通过具有复杂的几何边界的床层的压降简化为通过均 匀圆管的压降。对此,可用现有的理论作了如下数学描述 h Le (1-12) 式中u为流体在细管内的流速。矶1可取为实际填充床中颗粒空隙间的流速,它与空床流速 (表观流速)u的关系为 n=al1 (1-13) 将式(1-11)、(1-13)代入式(1-12)得 L L 细管长度L与实际长度L不等,但可以认为L。与实际床层高度L成正比,即 L=常数,并将其并入摩擦系数中,于是 AP2,(1-Ea2 式中 λLe 8L 上式即为流体通过固定床压降的数学模型,其中包括一个未知的待定系数A。A称为 模型参数,就其物理意义而言,也可称为固定床的流动摩擦系数。 模型的检验和模型参数的估值 上述床层的简化处理只是一种假定,其有效性必须经过实验检验,其中的模型参数’亦 必须由实验测定。 康采尼和欧根等均对此进行了实验研究,获得了不同实验条件下不同范围的与Re 的关联式。由于篇幅所限,详细内容请参考有关书籍 13.3数学模型法和因次分析法的比较 对于数学模型法,决定成败的关键是对复杂过程的合理简化,即能否得到一个足够简 单即可用数学方程式表示而又不失真的物理模型。只有充分地认识了过程的特殊性并根据 特定的研究目的加以利用,才有可能对真实的复杂过程进行大幅度的合理简化,同时在指 定的某一侧面保持等效。上述例子进行简化时,只在压降方面与实际过程这一侧面保持等 对于因次分析法,决定成败的关键在于能否如数地列出影响过程的主要因素。它无须 对过程本身的规律有深入理解,只要做若干析因分析实验,考察每个变量对实验结果的影
以 1m3 床层体积为基准，则床层的流动空间为 ，每 m3 床层的颗粒表面即为床层的比 表面 B ，因此， （－） 1 4 4 = = B de （1-11） 按此简化的物理模型，流体通过固定床的压降即可等同于流体通过一组当量直径为 de ， 长度为 Le 的细管的压降。 2．数学模型 上述简化的物理模型，已将流体通过具有复杂的几何边界的床层的压降简化为通过均 匀圆管的压降。对此，可用现有的理论作了如下数学描述： 2 2 u1 d L h e e f = = （1-12） 式中 u1 为流体在细管内的流速。 u1 可取为实际填充床中颗粒空隙间的流速，它与空床流速 （表观流速） u 的关系为： u u1 = （1-13） 将式（1-11）、（1-13）代入式（1-12）得 2 3 (1 ) 8 u L L L e − = （1-14） 细管长度 Le 与实际长度 L 不等，但可以认为 Le 与实际床层高度 L 成正比，即 = 常数 L Le ，并将其并入摩擦系数中，于是 2 3 (1 ) u L − = （1-15） 式中 L Le 8 = 上式即为流体通过固定床压降的数学模型，其中包括一个未知的待定系数 。 称为 模型参数，就其物理意义而言，也可称为固定床的流动摩擦系数。 3．模型的检验和模型参数的估值 上述床层的简化处理只是一种假定，其有效性必须经过实验检验，其中的模型参数 亦 必须由实验测定。 康采尼和欧根等均对此进行了实验研究，获得了不同实验条件下不同范围的 与 Re 的关联式。由于篇幅所限，详细内容请参考有关书籍。 1.3.3 数学模型法和因次分析法的比较 对于数学模型法，决定成败的关键是对复杂过程的合理简化，即能否得到一个足够简 单即可用数学方程式表示而又不失真的物理模型。只有充分地认识了过程的特殊性并根据 特定的研究目的加以利用，才有可能对真实的复杂过程进行大幅度的合理简化，同时在指 定的某一侧面保持等效。上述例子进行简化时，只在压降方面与实际过程这一侧面保持等 效。 对于因次分析法，决定成败的关键在于能否如数地列出影响过程的主要因素。它无须 对过程本身的规律有深入理解，只要做若干析因分析实验，考察每个变量对实验结果的影
响程度即可。在因次分析法指导下的实验硏宄只能得到过程的外部联系,而对过程的内部 规律则不甚了然。然而,这正是因次分析法的一大特点,它使因次分析法成为对各种研究 对象原则上皆适用的一般方法 无论是数学模型法还是因次分析法,最后都要通过实验解决问题,但实验的目的大相 径庭。数学模型法的实验目的是为了检验物理模型的合理性并测定为数较少的模型参数 而因次分析法的实验目的是为了寻找各无因次变量之间的函数关系。 第2章实验数据的误差分析 通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果,但在实验中,由于测量仪表和人的 观察等方面的原因,实验数据总存在一些误差,所以在整理这些数据时,首先应对实验数 据的可靠性进行客观的评定 误差分析的目的就是评定实验数据的精确性,通过误差分析,认清误差的来源及其 影响,并设法消除或减小误差,提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算,在评判 实验结果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概 念与估算方法作一扼要介绍 21误差的基本概念 211真值与平均值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的,是我们努 力要求测到的。严格来讲,由于测量仪器,测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等 都不可能是完善无缺的,故真值是无法测得的,是一个理想值。科学实验中真值的定义是: 设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等,故将各 观察值相加,加以平均,在无系统误差情况下,可能获得极近于真值的数值。故“真值” 在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”) 然而对我们工程实验而言,观察的次数都是有限的,故用有限观察次数求出的平均值,只 能是近似真值,或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几 种: (1)算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明: 在一组等精度的测量中,算术平均值为最佳值或最可信赖值 x1+x+ (2-1) 式中:x、x2 各次观测值;n-一观察的次数 (2)均方根平均值 x2+x2+…x2 (2-2) (3)加权平均值
响程度即可。在因次分析法指导下的实验研究只能得到过程的外部联系，而对过程的内部 规律则不甚了然。然而，这正是因次分析法的一大特点，它使因次分析法成为对各种研究 对象原则上皆适用的一般方法。 无论是数学模型法还是因次分析法，最后都要通过实验解决问题，但实验的目的大相 径庭。数学模型法的实验目的是为了检验物理模型的合理性并测定为数较少的模型参数； 而因次分析法的实验目的是为了寻找各无因次变量之间的函数关系。 第 2 章 实验数据的误差分析 通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的 观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数 据的可靠性进行客观的评定。 误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其 影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算，在评判 实验结果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概 念与估算方法作一扼要介绍。 2.1 误差的基本概念 2.1.1 真值与平均值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努 力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等， 都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是： 设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各 观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值” 在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只 能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几 种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明： 在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n = + + = 1 2 =1 （2-1） 式中： n x x x 1、 2 ——各次观测值；n――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n = + + = =1 2 2 2 2 2 1 均 （2-2） （3）加权平均值
设对同一物理量用不同方法去测定,或对同一物理量由不同人去测定,计算平均值时, 常对比较可靠的数值予以加重平均,称为加权平均。 y W1x1+2 (2-3) 式中;x1、x2…xn一一各次观测值 各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。 4)几何平均值 发=《x1·x2·x3…xn (2-4) (5)对数平均值 x1-x2 (2-5) In x-hn x2 In 以上介绍的各种平均值,目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值 的选择主要决定于一组观测值的分布类型,在化工原理实验研究中,数据分布较多属于正 态分布,故通常采用算术平均值。 212误差的定义及分类 在任何一种测量中,无论所用仪器多么精密,方法多么完善,实验者多么细心,不同 时间所测得的结果不一定完全相同,而有一定的误差和偏差,严格来讲,误差是指实验测 量值(包括直接和间接测量值)与真值(客观存在的准确值)之差,偏差是指实验测量值 与平均值之差,但习惯上通常将两者混淆而不以区别。 根据误差的性质及其产生的原因,可将误差分为:1)系统误差;2)偶然误差:3)过 失误差三种。 系统误差 又称恒定误差,由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量,其误差 数值的大小和正负保持恒定,或随条件改变按一定的规律变化 产生系统误差的原因有:1)仪器刻度不准,砝码未经校正等;2)试剂不纯,质量不 符合要求:3)周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等;4)个人的习惯与偏向 如读取数据常偏高或偏低,记录某一信号的时间总是滞后,判定滴定终点的颜色程度各人 不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小,系统误差越小, 准确度越高,反之亦然。 由于系统误差是测量误差的重要组成部分,消除和估计系统误差对于提高测量准确度 就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清 除掉。至于不能消除的系统误差,我们应设法确定或估计出来。 2.偶然误差 又称随机误差,由某些不易控制的因素造成的。在相同条件下作多次测量,其误差的 大小,正负方向不一定,其产生原因一般不详,因而也就无法控制,主要表现在测量结果 的分散性,但完全服从统计规律,研究随机误差可以采用概率统计的方法。在误差理论中
设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时， 常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 = + + + + + + = = = n i i n i i i n n n w w x w w w w x w x w x w 1 1 1 2 1 1 2 2 （2-3） 式中； n x x x 1、 2 ——各次观测值； w1、w2 wn ——各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。 （4）几何平均值 n n x x x x x 1 2 3 发 = （2-4） （5）对数平均值 2 1 1 2 1 2 1 2 ln ln ln x x x x x x x x x n − = − − = （2-5） 以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值 的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正 态分布，故通常采用算术平均值。 2.1.2 误差的定义及分类 在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同 时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测 量值（包括直接和间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差，偏差是指实验测量值 与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。 根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1）系统误差； 2）偶然误差；3）过 失误差三种。 1．系统误差 又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差 数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定的规律变化。 产生系统误差的原因有：1）仪器刻度不准，砝码未经校正等；2）试剂不纯，质量不 符合要求；3）周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4）个人的习惯与偏向 如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人 不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小， 准确度越高，反之亦然。 由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差对于提高测量准确度 就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清 除掉。至于不能消除的系统误差，我们应设法确定或估计出来。 2．偶然误差 又称随机误差，由某些不易控制的因素造成的。在相同条件下作多次测量，其误差的 大小，正负方向不一定，其产生原因一般不详，因而也就无法控制，主要表现在测量结果 的分散性，但完全服从统计规律，研究随机误差可以采用概率统计的方法。在误差理论中
常用精密度一词来表征偶然误差的大小。偶然误差越大,精密度越低,反之亦然。 在测量中,如果已经消除引起系统误差的一切因素,而所测数据仍在未一位或未二位 数字上有差别,则为偶然误差。偶然误差的存在,主要是我们只注意认识影响较大的一些 因素,而往往忽略其他还有一些小的影响因素,不是我们尚未发现,就是我们无法控制, 而这些影响,正是造成偶然误差的原因 3.过失误差 又称粗大误差,与实际明显不符的误差,主要是由于实验人员粗心大意所致,如读错, 测错,记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值,应在整理数据时依据 常用的准则加以剔除。 综上所述,我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的,而偶然误差是不 可避免的,因此最好的实验结果应该只含有偶然误差 2.1.3精密度、正确度和精确度(准确度) 测量的质量和水平,可用误差的概念来描述,也可用准确度等概念来描述。国内外文 献所用的名词术语颇不统一,精密度、正确度、精确度这几个术语的使用一向比较混乱 近年来趋于一致的多数意见是: 精密度:可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性,即重复性。它可以反映偶然 误差大小的影响程度。 正确度:指在规定条件下,测量中所有系统误差的综合,它可以反映系统误差大小的 影响程度 精确度(准确度):指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映系统误差和随机误差综 合大小的影响程度。 为说明它们间的区别,往往用打靶来作比喻。如图2-1所示,A的系统误差小而偶然误 差大,即正确度高而精密度低;B的系统误差大而偶然误差小,即正确度低而精密度髙;C 的系统误差和偶然误差都小,表示精确度(准确度) 高。当然实验测量中没有像靶心那样明确的真值, 而是设法去测定这个未知的真值。 对于实验测量来说,精密度高,正确度不一定 高。正确度高,精密度也不一定高。但精确度(准 B 确度)高,必然是精密度与正确度都高。 图2一1精密度、正确度、精确度含义示意图 22误差的表示方法 测量误差分为测量点和测量列(集合)的误差。它们有不同的表示方法。 221测量点的误差表示 1.绝对误差D 测量集合中某次测量值与其真值之差的绝对值称为绝对误差 (2-6) 即X-x=±Dx-D≤X≤x+D 式中:X—一真值,常用多次测量的平均值代替
图 2－1 精密度、正确度、精确度含义示意图 常用精密度一词来表征偶然误差的大小。偶然误差越大，精密度越低，反之亦然。 在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在未一位或未二位 数字上有差别，则为偶然误差。偶然误差的存在，主要是我们只注意认识影响较大的一些 因素，而往往忽略其他还有一些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制， 而这些影响，正是造成偶然误差的原因。 3．过失误差 又称粗大误差，与实际明显不符的误差，主要是由于实验人员粗心大意所致，如读错， 测错，记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，应在整理数据时依据 常用的准则加以剔除。 综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的，而偶然误差是不 可避免的，因此最好的实验结果应该只含有偶然误差。 2.1.3 精密度、正确度和精确度（准确度） 测量的质量和水平，可用误差的概念来描述，也可用准确度等概念来描述。国内外文 献所用的名词术语颇不统一，精密度、正确度、精确度这几个术语的使用一向比较混乱。 近年来趋于一致的多数意见是： 精密度：可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性，即重复性。它可以反映偶然 误差大小的影响程度。 正确度：指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合，它可以反映系统误差大小的 影响程度。 精确度（准确度）：指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映系统误差和随机误差综 合大小的影响程度。 为说明它们间的区别，往往用打靶来作比喻。如图 2-1 所示，A 的系统误差小而偶然误 差大，即正确度高而精密度低；B 的系统误差大而偶然误差小，即正确度低而精密度高；C 的系统误差和偶然误差都小，表示精确度（准确度） 高。当然实验测量中没有像靶心那样明确的真值， 而是设法去测定这个未知的真值。 对于实验测量来说，精密度高，正确度不一定 高。正确度高，精密度也不一定高。但精确度（准 确度）高，必然是精密度与正确度都高。 2.2 误差的表示方法 测量误差分为测量点和测量列（集合）的误差。它们有不同的表示方法。 2.2.1 测量点的误差表示 1．绝对误差 D 测量集合中某次测量值与其真值之差的绝对值称为绝对误差。 D = X − x （2-6） 即 X − x = D x − D X x + D 式中： X ——真值，常用多次测量的平均值代替；