第14卷第5期 智能系统学报 Vol.14 No.5 2019年9月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sep.2019 D0:10.11992/tis.201810022 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20190530.1036.002.html 偏联系数的计算与应用研究 杨红梅，赵克勤2 (1.山西广播电视大学成人教育学院，山西太原030027,2.诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311800) 摘要：偏联系数是联系数的一种伴随函数，其计算过程反映出联系数的联系分量在各个微观层次上的“矛盾 运动”，计算结果指示出这种“矛盾运动”的阶段性结果，是“系统宏观状态与微观趋势多层分析法”的主要数学 工具。本文系统阐述常用的二元至五元联系数的偏联系数算法和若干新思路，并从智能技术创新和信息能开 发利用等角度指出偏联系数算法是一种新的智能算法。 关键词：集对分析：联系数；多元联系数；偏联系数：全偏联系数；系统微观运动：多层分析法；信息能 中图分类号：TP311 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)05-0865-12 中文引用格式：杨红梅，赵克勤.偏联系数的计算与应用研究1.智能系统学报，2019,14(5)：865-876. 英文引用格式：YANG Hongmei,.ZHAO Kegin..The calculation and application of partial connection numbers J.CAAI transac-. tions on intelligent systems,2019,14(5):865-876. The calculation and application of partial connection numbers YANG Hongmei,ZHAO Keqin' (1.Adult Education College,Shanxi Radio and TV University,Taiyuan 030027,China;2.Institut of Zhuji Connection Mathematics, Z乙huji311800,China) Abstract:Partial connection numbers(PCNs)are a kind of adjoint function of connection numbers.Their computation- al process reflects a paradoxical movement on the micro level,and the result indicates that the phase result of such para- doxical movement is the main mathematical tool of the multi-layer approximation method of macro-state and micro- trend.This paper also systematically expounds the commonly used PCN algorithms from 2-to 5-element connection numbers and some ideas and establishes that the PCN algorithm is an intelligent algorithm from the aspects of intelli- gent technology innovation and information energy development and utilization. Keywords:set pair analysis;connection number;multi-connection number;partial connection number,full partial con- nection number;micro motion of system;multi-layer analysis method;information energy 联系数是赵克勤在集对分析理论中给出的一 技术预警9、教育评估50、网络舆情传播、建筑 种新颖结构函数，具有“数与系统合一”特点。借 供应链风险管理1、卫生统计5]、系统风险分 助联系数进行数学建模，结合系统的不确定性分 析s)、隐私保护5)等领域得到应用。最近，文 析，使集对分析在处理不确定性问题中得到广泛 献[56]建立一种融合偏联系数模糊聚类(PCFCM) 应用-4。偏联系数是联系数的一种伴随函数， 算法和教与学随机森林(TLRF)算法的雷达调制 也是基于集对分析的“系统状态-趋势分析法”的 信号分选新模型(PCFCM-TLRF),仿真实验结果 主要数学工具，自赵克勤于2005年提出以来2叫 显示，与其他分选模型相比，PCFCM-TLRF模型 已在飞机维修、地铁施工、隧道施工)、矿山 具有更高的分选准确度，能够有效地实现雷达调 过程安全四、火灾预防阿、水文水资源、区域创新阀 制信号的分选。 但由于文献「42]所在出版物不是学术期刊， 收稿日期：2018-10-19.网络出版日期：2019-06-04. 基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201804044). 传播上有一定局限，致使相当一部分应用偏联系 通信作者：赵克勤.E-mail:zjzhaok@sohu.com 数的学者看不到文献[42]。为此，本文对偏联系
DOI: 10.11992/tis.201810022 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20190530.1036.002.html 偏联系数的计算与应用研究 杨红梅1 ，赵克勤2 （1. 山西广播电视大学 成人教育学院，山西 太原 030027; 2. 诸暨市联系数学研究所，浙江 诸暨 311800） 摘 要：偏联系数是联系数的一种伴随函数，其计算过程反映出联系数的联系分量在各个微观层次上的“矛盾 运动”，计算结果指示出这种“矛盾运动”的阶段性结果，是“系统宏观状态与微观趋势多层分析法”的主要数学 工具。本文系统阐述常用的二元至五元联系数的偏联系数算法和若干新思路，并从智能技术创新和信息能开 发利用等角度指出偏联系数算法是一种新的智能算法。 关键词：集对分析；联系数；多元联系数；偏联系数；全偏联系数；系统微观运动；多层分析法；信息能 中图分类号：TP311 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)05−0865−12 中文引用格式：杨红梅, 赵克勤. 偏联系数的计算与应用研究 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(5): 865–876. 英文引用格式：YANG Hongmei, ZHAO Keqin. The calculation and application of partial connection numbers[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(5): 865–876. The calculation and application of partial connection numbers YANG Hongmei1 ，ZHAO Keqin2 (1. Adult Education College, Shanxi Radio and TV University, Taiyuan 030027, China; 2. Institut of Zhuji Connection Mathematics, Zhuji 311800, China) Abstract: Partial connection numbers (PCNs) are a kind of adjoint function of connection numbers. Their computational process reflects a paradoxical movement on the micro level, and the result indicates that the phase result of such paradoxical movement is the main mathematical tool of the multi-layer approximation method of macro-state and microtrend. This paper also systematically expounds the commonly used PCN algorithms from 2- to 5-element connection numbers and some ideas and establishes that the PCN algorithm is an intelligent algorithm from the aspects of intelligent technology innovation and information energy development and utilization. Keywords: set pair analysis; connection number; multi-connection number; partial connection number; full partial connection number; micro motion of system; multi-layer analysis method; information energy 联系数是赵克勤在集对分析理论中给出的一 种新颖结构函数，具有“数与系统合一”特点。借 助联系数进行数学建模，结合系统的不确定性分 析，使集对分析在处理不确定性问题中得到广泛 应用[1– 41]。偏联系数是联系数的一种伴随函数， 也是基于集对分析的“系统状态–趋势分析法”的 主要数学工具，自赵克勤于 2005 年提出以来[42] ， 已在飞机维修[43] 、地铁施工[44] 、隧道施工[45] 、矿山 过程安全[32] 、火灾预防[46] 、水文水资源[47] 、区域创新[48] 、 技术预警[49] 、教育评估[50] 、网络舆情传播[51] 、建筑 供应链风险管理[ 5 2 ] 、卫生统计[ 5 3 ] 、系统风险分 析 [ 5 4 ] 、隐私保护[ 5 5 ] 等领域得到应用。最近，文 献 [56] 建立一种融合偏联系数模糊聚类 (PCFCM) 算法和教与学随机森林 (TLRF) 算法的雷达调制 信号分选新模型 (PCFCM-TLRF)，仿真实验结果 显示，与其他分选模型相比，PCFCM-TLRF 模型 具有更高的分选准确度，能够有效地实现雷达调 制信号的分选。 但由于文献 [42] 所在出版物不是学术期刊， 传播上有一定局限，致使相当一部分应用偏联系 数的学者看不到文献 [42]。为此，本文对偏联系 收稿日期：2018−10−19. 网络出版日期：2019−06−04. 基金项目：山西省高等学校科技创新项目 (201804044). 通信作者：赵克勤. E-mail：zjzhaok@sohu.com. 第 14 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.5 2019 年 9 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sep. 2019
·866· 智能系统学报 第14卷 数的计算与应用研究作一梳理，以促进集对分析 盾运动，运动结果决定这个联系数的系统结构在 和偏联系数在人工智能等领域中的进一步应用。 微观层次上的演化趋势，该演化趋势与同一联系 数的联系分量在宏观层次上的演化态势可能相 1联系数及其联系分量的示性系数 同，可能相异，可能相反。 由文献[19]知，联系数最早由赵克勤在解读 显然，以上假定符合哲学关于事物处于运动 集合论罗素悖论时给出，至今已有不同的表达形 和变化之中的思想，也是不少文献中的实例验 式，其中常用的二元到五元归一化联系数为 证，因此也称为联系数中联系分量的微观运动原 u=a+bi (1) 理或矛盾运动原理，不致误解时，简称联系数微 H=a+bi+cj (2) 观运动原理。研究表明，联系数的微观运动原理 μ=a+bi+cj+d (3) 就是偏联系数原理。 μ=a+bi+cj+dk+el (4) 2.2二元联系数的偏联系数 式中：a、b、c、d、e统称为联系数u的联系分量， 由式(1)知，二元联系数μ=a+bi中的a处 a,b,c,d,e∈[0,1]，且对式(1)有a+b=1,对式(2)有 在+1层次，b处在具有不确定性的[-1,1]层次，根 a+b+c=1,对式(3)有a+b+c+d=1,对式(4)有 据联系数中联系分量的运动原理，可以假定当前 a+b+c+d+e=1的归一化约束。每一个联系分 的a原本也处在b层次，是从b层次朝正向提高 量的系数称为该联系分量的示性系数，显然联系 而来，为此用a+b作分母，a作分子，a/(a+b)作 数μ中第一个联系分量（首项）的示性系数是+1， 为正向演化率，记 同时规定联系数“中最末一个联系分量（末项）的 da=a/(a+b) (6) 示性系数是-1，位于首项与末项之间的其他联系 则称式(6)为二元联系数μ=a+bi中联系分量a 分量都具有不确定性，这些联系分量的不确定性 的一阶偏正联系数；由于二元联系数只有2个联 通过它们的示性系数i等在给定区间取不同数值 系分量，所以a同时又是二元联系数4的一阶 加以体现，见式（⑤）： 偏正联系数，若记μ的一阶偏正联系数为4，则 1 aμ=aa (7) [-1,1] 也就是： [-1,11 [-1] (5) (8) [0,11 [-1,0] 8'u=d(a+bi)=al(a+b)=0'a 「-1] 11 [0.33,1][-0.33,0.33][-1,-0.33 因此有定义1： 但式(5)给出的是式(1)~(4)中联系分量示 定义1设有二元联系数4=a+bi,a∈[0,1]， 性系数i、j、k在【-1,1]大区间取值作均匀分布假 b∈[0,1]，a+b=1,i∈[-1,1，则记 定条件下的值域，这些i、k在给定小区间中取 8μ=8(a+bi=a/(a+b) (9) 何值仍要根据联系分量本身的不同情况才能确 式(9)为二元联系数u=a+bi的一阶偏正联系数。 定，这是联系数的一个重要特点，也是对联系数 另一方面，根据集对分析的“成对原理”（事物 开展系统分析的一个难点，如何消去这些不确定 或概念都是成对存在)和联系数中联系分量的微 取值的示性系数，得出联系数系统在微观层次上 观运动原理，可以假定当前的b原本也处在α层 的演化趋势，已成为集对分析理论研究中的一个 次，是从a层次朝正负不定（相对于完全确定 热点，后面要讨论的偏联系数算法就是针对这一 的+1层偏负)演化而来，为此用a+b作分母，用b 难点作出的探索。 作分子，用b1(a+b)作为演化率，记 8b=b/(a+b) (10) 2偏联系数 则称式(10)为二元联系数u=a+bi中联系分量b 的一阶偏负联系数；由于二元联系数只有2个联 2.1基本原理 系分量，所以这个b同时又是二元联系数μ的 偏联系数主要依据联系数的假定提出：假定 一阶偏负联系数，若记μ的一阶偏负联系数为 联系数中当前处在较低（负、偏负、正负不定）层 04,并考虑到式(10)中作为分子的b是当前的 次和较高（正、偏正）层次的联系分量存在由低 b,具有不确定性，按式(1)做法，应当用一个 (负、偏负、正负不定)到高（正、偏正）的正向层次 i∈[-1,1]作为b的示性系数以说明其不确定性， 迁移，同时又存在由高（正、偏正）到低（负、偏 式(10)分母中的b因在a层次，应当与a同等看 负、正负不定)的负向层次迁移，这些联系分量之 待，没有不确定性，所以有： 间相互对立的层次及其迁移构成联系数的系统结 8μ=i0b (11) 构（由联系分量组成的结构）在微观层次上的矛 也就是：
数的计算与应用研究作一梳理，以促进集对分析 和偏联系数在人工智能等领域中的进一步应用。 1 联系数及其联系分量的示性系数 由文献 [19] 知，联系数最早由赵克勤在解读 集合论罗素悖论时给出，至今已有不同的表达形 式，其中常用的二元到五元归一化联系数为 µ = a+bi (1) µ = a+bi+c j (2) µ = a+bi+c j+d (3) µ = a+bi+c j+dk+el (4) µ a,b, c,d, e ∈ [0,1] a+b = 1 a+b+c = 1 a+b+c+d = 1 a+b+c+d +e = 1 µ µ i 式中：a、b、c、d、e 统称为联系数 的联系分量， ，且对式 (1) 有 ，对式 (2) 有 ，对式 (3) 有 ，对式 (4) 有 的归一化约束。每一个联系分 量的系数称为该联系分量的示性系数，显然联系 数 中第一个联系分量 (首项) 的示性系数是+1， 同时规定联系数 中最末一个联系分量 (末项) 的 示性系数是−1，位于首项与末项之间的其他联系 分量都具有不确定性，这些联系分量的不确定性 通过它们的示性系数 等在给定区间取不同数值 加以体现，见式 (5)： 1 i j k l 1 [−1,1] 1 [−1,1] [−1] 1 [0,1] [−1,0] [−1] 1 [0.33,1] [−0.33,0.33] [−1,−0.33] −1 (5) i、j、k 但式 (5) 给出的是式 (1)～(4) 中联系分量示 性系数 i、j、k 在 [−1，1] 大区间取值作均匀分布假 定条件下的值域，这些 在给定小区间中取 何值仍要根据联系分量本身的不同情况才能确 定，这是联系数的一个重要特点，也是对联系数 开展系统分析的一个难点，如何消去这些不确定 取值的示性系数，得出联系数系统在微观层次上 的演化趋势，已成为集对分析理论研究中的一个 热点，后面要讨论的偏联系数算法就是针对这一 难点作出的探索。 2 偏联系数 2.1 基本原理 偏联系数主要依据联系数的假定提出：假定 联系数中当前处在较低 (负、偏负、正负不定) 层 次和较高 (正、偏正) 层次的联系分量存在由低 (负、偏负、正负不定) 到高 (正、偏正) 的正向层次 迁移，同时又存在由高 (正、偏正) 到低 (负、偏 负、正负不定) 的负向层次迁移，这些联系分量之 间相互对立的层次及其迁移构成联系数的系统结 构 (由联系分量组成的结构) 在微观层次上的矛 盾运动，运动结果决定这个联系数的系统结构在 微观层次上的演化趋势，该演化趋势与同一联系 数的联系分量在宏观层次上的演化态势可能相 同，可能相异，可能相反。 显然，以上假定符合哲学关于事物处于运动 和变化之中的思想，也是不少文献中的实例验 证，因此也称为联系数中联系分量的微观运动原 理或矛盾运动原理，不致误解时，简称联系数微 观运动原理。研究表明，联系数的微观运动原理 就是偏联系数原理。 2.2 二元联系数的偏联系数 µ = a+bi a b [−1,1] a b b a+b a a/ (a+b) 由式 (1) 知，二元联系数 中的 处 在+1 层次， 处在具有不确定性的 层次，根 据联系数中联系分量的运动原理，可以假定当前 的 原本也处在 层次，是从 层次朝正向提高 而来，为此用 作分母， 作分子， 作 为正向演化率，记 ∂ + a = a/ (a+b) (6) µ = a+bi a ∂ +a µ µ ∂ +µ 则称式 (6) 为二元联系数 中联系分量 的一阶偏正联系数；由于二元联系数只有 2 个联 系分量，所以 同时又是二元联系数 的一阶 偏正联系数，若记 的一阶偏正联系数为 ，则 ∂ + µ = ∂ + a (7) 也就是： ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = a/(a+b) = ∂ + a (8) 因此有定义 1： µ = a+bi a ∈ [0,1] b ∈ [0,1] a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 1 设有二元联系数 ， ， ， ， ，则记 ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = a/(a+b) (9) 式 (9) 为二元联系数 µ = a+bi 的一阶偏正联系数。 b a a a+b b b/ (a+b) 另一方面，根据集对分析的“成对原理”(事物 或概念都是成对存在) 和联系数中联系分量的微 观运动原理，可以假定当前的 原本也处在 层 次，是从 层次朝正负不定 (相对于完全确定 的+1 层偏负) 演化而来，为此用 作分母，用 作分子，用 作为演化率，记 ∂ − b = b/ (a+b) (10) µ = a+bi b ∂ −b µ µ ∂ −µ b b i ∈ [−1,1] b b a a 则称式 (10) 为二元联系数 中联系分量 的一阶偏负联系数；由于二元联系数只有 2 个联 系分量，所以这个 同时又是二元联系数 的 一阶偏负联系数，若记 的一阶偏负联系数为 ，并考虑到式 (10) 中作为分子的 是当前的 ，具有不确定性，按式 (1) 做法，应当用一个 作为 的示性系数以说明其不确定性， 式 (10) 分母中的 因在 层次，应当与 同等看 待，没有不确定性，所以有： ∂ − µ = i∂ − b (11) 也就是： ·866· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867· ou=8(a+bi)=i[b/(a+b)]=iob (12) 式中：a= b 因此有定义2： a+b产b=6+c。式(16)表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 定义2设有二元联系数4=a+bi,a∈[0,1]， 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 b∈0,1]，a+b=1,i∈[-1,1，则记 d u=(a+bi)=i[b/(a+b)]=id b (13) 1的含义同式(O,灯0=的含义是程 称式(13)为二元联系数μ=a+bi的一阶偏负联 定当前的b,此前也处在c层次上，是从c层次向 系数。 正方向演化而来，所以用b+c作分母，用b作分 进一步有二元联系数μ的一阶全偏联系数定 子，用分式年。作为正向演化率。由于作为分子 义3： 的b是当前的b,是现在进行时，所以在纳人μ的 定义3设有二元联系数μ=a+bi,(a∈[0,1]， 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映b具有不 be0,1),a+b=1,ie[-1,1],则记 确定性的示性系数i,而同时作为分母中的b,则 μ=8μ+8μ (14) 处在c层次上，与c一样是确定的，所以不用乘i。 称式(14)为二元联系数μ=a+bi的一阶全偏联系 三元联系数的一阶偏负联系数见定义5。 数，其中μ是μ的一阶全偏联系数记号，μ也 定义5设有三元联系数μ=a+bi+c,ae[0,1, 读作μ的一阶正负全偏联系数。 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记4 根据定义3可知： 的一阶偏负联系数为8μ，则 8μ=aμ+8μ=8a+i0b= a+b+atb=atbr a (15) =6r+oi产产6+切 式(15)表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 式(17)表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 表示不确定性的示性系数i,为此，在实际应用时 a中6的含义同式(10)：：的含义是假定当前的 b 需要对ⅰ作出解析才能确定二元联系数所确定的 c,此前也处在b层次，是从b层次负向演化而来，所 演化趋势。 例1试求二元联系数μ=0.6+0.4i的偏正联 以用e做分子，用b+c作分母，用分式作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的c处 系数μ、偏负联系数μ、全偏联系数μ，并判 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数j。 别其在微观层次上的演化趋势。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义6： 解根据定义1和式(15)得μ的偏正联系数： 0.6 定义6设三元联系数H=a+bi+cj,a∈[0,1， 0u=0(a+b0=d广(0.6+0.40=0.4+0.6=0.6 be[0,1,c∈[0,1，a+b+c=1,ie[-1,1],j=-1,其一 根据定义1和式(13)得μ的偏负联系数： 阶偏正联系数为 0.4i b μ=a+b0=0(0.6+0.40=06+04=0.4 O'u=a i a+bb+c 根据定义3和式(14)得μ的全偏联系数 一阶偏负联系数为 8μ=8μ+0μ=8a+8b=0.6+0.4i b 8μ= 当i遍历[-1,1]时，μ遍历[0.2,1]，即当 a+bi+b+ci i=-1时，μ=0.2；当i=1时，μ=1；由于i遍历 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 [-1,1]时，均有产μ≥0，所以二元联系数μ=0.6+ 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为μ， 0.4i时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 则有 23三元联系数的偏联系数 au=8u+8μ= a b b 式(2)所示三元联系数的偏联系数计算原理 a+b+年+a+b> 一+- (18) 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 显然，定义6中的式(18)可以化简成： 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义（见定 义4)0 时u=a+br+bi+cj atb+b+c (19) 定义4设有三元联系数μ=a+bi+cj,a∈0,1]， 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 be0,1),c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记μ 个三元联系数的全偏联系数，则式(19)可以再简 的一阶偏正联系数为8μ，则 写成： dμ=a+i0*b=a b (16) ou=atbi br+cj (20) atb b+c a+b+ b+c
∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (12) 因此有定义 2： µ = a+bi a ∈ [0,1] b ∈ [0,1] a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 2 设有二元联系数 ， ， ， ， ，则记 ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (13) 称式 (13) 为二元联系数 µ = a+bi 的一阶偏负联 系数。 进一步有二元联系数 µ 的一阶全偏联系数定 义 3： µ = a+bi (a ∈ [0,1], b ∈ [0,1]) a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 3 设有二元联系数 ， ， ， ，则记 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ (14) µ = a+bi ∂ ±µ µ ∂ ±µ µ 称式 (14) 为二元联系数 的一阶全偏联系 数，其中 是 的一阶全偏联系数记号， 也 读作 的一阶正负全偏联系数。 根据定义 3 可知： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+i∂ − b = a a+b + bi a+b = a+bi (15) i i 式 (15) 表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 表示不确定性的示性系数 ，为此，在实际应用时 需要对 作出解析才能确定二元联系数所确定的 演化趋势。 µ = 0.6+0.4i ∂ +µ ∂ −µ ∂ ±µ 例 1 试求二元联系数 的偏正联 系数 、偏负联系数 、全偏联系数 ，并判 别其在微观层次上的演化趋势。 解 根据定义 1 和式 (15) 得 µ 的偏正联系数： ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = ∂ + (0.6+0.4i) = 0.6 0.4+0.6 = 0.6 根据定义 1 和式 (13) 得 µ 的偏负联系数： ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = ∂ − (0.6+0.4i) = 0.4i 0.6+0.4 = 0.4i 根据定义 3 和式 (14) 得 µ 的全偏联系数： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+∂ − b = 0.6+0.4i i ∂ ±µ i = −1 ∂ ±µ = 0.2 i = 1 ∂ ±µ = 1 i [−1,1] ∂ ±µ ⩾ 0 µ = 0.6+ 0.4i 当 遍历 [−1，1] 时， 遍历 [0.2，1]，即当 时， ；当 时， ；由于 遍历 时，均有 ，所以二元联系数 时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 2.3 三元联系数的偏联系数 式 (2) 所示三元联系数的偏联系数计算原理 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义 (见定 义 4)。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ +µ 定义 4 设有三元联系数 ， ， ， 记 的一阶偏正联系数为 ，则 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (16) ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c b c c b+c b b b+c b b µ b i b c c i 式中： ， 。式 (16) 表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 的含义同式 (6)， 的含义是假 定当前的 ，此前也处在 层次上，是从 层次向 正方向演化而来，所以用 作分母，用 作分 子，用分式 作为正向演化率。由于作为分子 的 是当前的 ，是现在进行时，所以在纳入 的 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映 具有不 确定性的示性系数 ，而同时作为分母中的 ，则 处在 层次上，与 一样是确定的，所以不用乘 。 三元联系数的一阶偏负联系数见定义 5。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ −µ 定义 5 设有三元联系数 ， ， ，记 的一阶偏负联系数为 ，则 ∂ − µ = (∂ − b)i+(∂ − c) j = b a+b i+ c b+c j (17) b a+b c b+c c c b+c c b+c c j 式 (17) 表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 的含义同式 (10)； 的含义是假定当前的 ，此前也处在 b 层次，是从 b 层次负向演化而来，所 以用 做分子，用 作分母，用分式 作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的 处 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数 。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义 6： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 6 设三元联系数 ， ， ， ，其一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = a a+b + b b+c i 一阶偏负联系数为 ∂ − µ = b a+b i+ c b+c j ∂ ±µ 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为 ， 则有 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = a a+b + b b+c i + + b a+b i − + c b+c j (18) 显然，定义 6 中的式 (18) 可以化简成： ∂ ± µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (19) 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 个三元联系数的全偏联系数，则式 (19) 可以再简 写成： ∂µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (20) 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867·
·868· 智能系统学报 第14卷 式(18)、式(19)中仍有示性系数i、j,计算时会遇 定μ的二阶全偏联系数μ简记成子μ，也就是 到示性系数取何值的问题，是否有合适又合理 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 的途径可以消去这个呢？看定义7： 个联系数的某阶全偏联系数。 定义7设有三元联系数μu=a+bi+cj,a∈0,1， 要指出的是，对式(18)所示4的一阶全偏联 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,ie[-1,1,j=-1其一 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式(18) 阶偏正联系数为 中的μ和84相对于4，已处在同一层次，不再 0u=0a+0b=6+ b 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 -i (21) 移”假定作运算，其结果为 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为μ的 8产(a4）=产(aμ+8四= 2阶偏正联系数，记为μ，则 8μ一+ 04=0μ+业=1 a 8μ+dμa*μ+dμμ+0μ P+μ=a(8四）= a+b 22) 这个结果证实了式(18)中的8μ和0μ相对 a b atb*b+c 于4，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 式(22)的物理意义是：式(21)中的a= a 此 的二阶全偏联系数只能采用式(24)。 a+b 例2试求三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j的 前也处在（）层次上.是从汾 二阶偏正联系数+μ、二阶偏负联系数严μ、二阶 层次往正向演化而来，所以用a去除 全偏联系数μ，判别该联系数系统在微观层次 atb a+b 上的演化趋势。 )得到口的二阶偏正演化率产与此类 解按定义7和式(22)得μ的二阶偏正联 似，有μ的二阶偏负演化率严-μ定义（见定义 系数： 8) 0.5 2 定义8设有与定义7中给定的三元联系数4， 82*μ=05 .5+0.3 0.3 49=0.5102 且已知μ的一阶偏负联系数为μ=6+b, 0.5+0.3+0.3+0.2 则有μ的二阶偏负联系数为 按定义8和式(23)得μ的二阶偏负联系数： 0.2 b+c 0.3+0. 16 24=8(8四= -I b (23) 8μ=0.3 0.2j=-7=-0.5161 atb+b+c 0.5+0.3+0.3+02 进一步有定义9。 根据定义9和式(24)得μ的二阶全偏联 定义9设有与定义7中给定的三元联系数 系数： 4,且已知μ的二阶偏正联系数如式(22)所示，二 8μ=*μ+μ=0.5102-0.5161=-0.006 阶偏负联系数如式(23)所示，则其二阶全偏联系 所以三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j系统在微 数2±u如式(24)所示： 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 a b 2.4四元联系数的偏联系数 P+μ=+μ+Pμ= a+b a+b 式(3)所示四元联系数的偏联系数计算原理 a b+ b a+bb+c atb*b+c 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： a b a+b a+b 定义8中设四元联系数u=a+bi+cj+dk, b- (24) a b a∈[0,1]，be0,1],c∈[0,1]，d∈[0,1]，a+b+c+d=1, a+bb+c a+bb+c ie[0,1,j∈-1,0]，k=-1,则记μ的一阶偏正联系 显然，式(24)是一个没有示性系数i的实数，其物 数为0μ，即 理意义是：当Pμ>0时，表明三元联系数μ的系 o'u=oa+io*b+jo'c (25) 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 其中ra=a 严+μ<0时，表明三元联系数μ的系统在微观层次 b:0b=,b c.d'e=c c+d记μ的二阶 偏正联系数为+4，则 上的演化趋势是负向趋势；当P+μ=0时，表明三 82+μ=0(a四=8*(8a+i8b+j*c)= 元联系数μ的系统在微观层次上的演化趋势处在 d'a 正负临界状态。 a+b*b+oci (26) 参照式(19)对式(18)的简写做法，这里也约 记μ的三阶偏正联系数为μ，则
i、j i i 式 (18)、式 (19) 中仍有示性系数 ，计算时会遇 到示性系数 取何值的问题，是否有合适又合理 的途径可以消去这个 呢？看定义 7： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈[0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 7 设有三元联系数 ， ， ， 其 一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (21) µ ∂ 2+µ 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为 的 2 阶偏正联系数，记为 ，则 ∂ 2+ µ = ∂(∂ + µ) = a a+b a a+b + b b+c (22) ∂ +a ( = a a+b ) i∂ +b ( = b b+c ) i∂ +b ( = b b+c ) a a+b ( a a+b + b b+c ) µ ∂ 2+µ µ ∂ 2−µ 式 (22) 的物理意义是：式 (21) 中的 此 前也处在 层次上，是从 层次往正向演化而来，所以用 去除 ，得到 的二阶偏正演化率 。与此类 似，有 的二阶偏负演化率 定义（见定义 8）。 µ µ ∂ −µ = b a+b i+ c b+c j µ 定义 8 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ， 且已知 的一阶偏负联系数为 ， 则有 的二阶偏负联系数为 ∂ 2− µ = ∂ − (∂ − µ) = c b+c b a+b + c b+c j (23) 进一步有定义 9。 µ µ ∂ 2±µ 定义 9 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ，且已知 的二阶偏正联系数如式 (22) 所示，二 阶偏负联系数如式 (23) 所示，则其二阶全偏联系 数 如式 (24) 所示： ∂ 2± µ =∂ 2+ µ+∂ 2− µ = a a+b a a+b + b b+c + b a+b b a+b + c b+c j = a a+b a a+b + b b+c − b a+b b a+b + c b+c (24) i ∂ 2±µ > 0 µ ∂ 2±µ < 0 µ ∂ 2±µ = 0 µ 显然，式 (24) 是一个没有示性系数 的实数，其物 理意义是：当 时，表明三元联系数 的系 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表明三元联系数 的系统在微观层次 上的演化趋势是负向趋势；当 时，表明三 元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势处在 正负临界状态。 参照式 (19) 对式 (18) 的简写做法，这里也约 µ ∂ 2±µ ∂ 2 定 的二阶全偏联系数 简记成 µ ，也就是 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 个联系数的某阶全偏联系数。 µ ∂ +µ ∂ −µ µ 要指出的是，对式 (18) 所示 的一阶全偏联 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式 (18) 中的 和 相对于 ，已处在同一层次，不再 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 移”假定作运算，其结果为 ∂ ± (∂ ± µ) = ∂ ± (∂ + µ+∂ − µ) = ∂ +µ ∂ +µ+∂ −µ + ∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = ∂ +µ+∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = 1 ∂ +µ ∂ −µ µ 这个结果证实了式 (18) 中的 和 相对 于 ，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 的二阶全偏联系数只能采用式 (24)。 µ = 0.5+0.3i+0.2 j ∂ 2+µ ∂ 2−µ ∂ 2±µ 例 2 试求三元联系数 的 二阶偏正联系数 、二阶偏负联系数 、二阶 全偏联系数 ，判别该联系数系统在微观层次 上的演化趋势。 解 按定义 7 和式 (22) 得 µ 的二阶偏正联 系数： ∂ 2+ µ = 0.5 0.5+0.3 0.5 0.5+0.3 + 0.3 0.3+0.2 = 25 49 = 0.510 2 按定义 8 和式 (23) 得 µ 的二阶偏负联系数： ∂ 2− µ = 0.2 0.3+0.2 0.3 0.5+0.3 + 0.2 0.3+0.2 j = − 16 31 = −0.516 1 根据定 义 9 和 式 (24) 得 µ 的二阶全偏联 系数： ∂ 2± µ = ∂ 2+ µ+∂ 2− µ = 0.510 2−0.516 1 = −0.006 所以三元联系数 µ = 0.5+0.3i+0.2 j 系统在微 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 2.4 四元联系数的偏联系数 式 (3) 所示四元联系数的偏联系数计算原理 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： µ = a+bi+c j+dk a ∈ [0,1],b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],d ∈ [0,1], a+b+c+d = 1, i ∈ [0,1], j ∈ [−1,0], k = −1 µ ∂ +µ 定 义 8 中设四元联系数 ， ，则记 的一阶偏正联系 数为 ，即 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c (25) ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d µ ∂ 2+µ 其中 ，记 的二阶 偏正联系数为 ，则 ∂ 2+ µ =∂ + (∂ + µ) = ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i (26) µ ∂ 3+ 记 的三阶偏正联系数为 µ ，则 ·868· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·869· μ=a(a+4)=[a*(a=8[a(aa+0b+j8c]=的系统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 8a ±μ<0时，表明四元联系数μ的系统在微观层次 a a'b 8a+8+b 上的演化趋势是负向趋势；当+μ=0时，表明四 (Pa+ab*ab+ac') d'a ab 元联系数μ的系统在微观层次上的演化趋势处在 a+ob 8b+8*c (27 正负临界状态。 把aa= *60b= a b ,0rc=C代入式(27)得 2.5五元联系数的偏联系数 b+c c+d a 式(4)所示五元联系数的偏联系数计算原理 a+b 同四元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 a b 8+μ= atb+bic 接给出五元联系数中各阶偏联系数的定义（见定 28) a b 义9)： a+b b+c 定义9设五元联系数H=a+bi+cj+dk+ a B+ b a+bbtc b+cc el,a∈[0,1]，b∈[0,1]，c∈[0,1]，d∈[0,1]，e∈[0,1，a+b+ c+d+e=1,i∈[0.333,1]，j∈[-0.333,0.333]，k=[-1, 另一方面，记μ的一阶偏负联系数为4，则 0.334],=-1,记4的一阶偏正联系数为a4,则 8μ=i0b+j8c+k0d (29) b μ=8a+ib+j*c+kad (34) 式中：8b= ,d=+o记的 bc=bte d 二阶偏负联系数为严μ，则 bico'c=c 式中a=a6b= ctd ad= dteo 记μ的二阶偏正联系数为+4，则 aμ=8(8μ）=8(i0b+j8c+k0d)= ou=0(8a+io*b+ioc+ko'd)= dc b+aci+c+odk (30) (35) 记μ的三阶偏负联系数为μ，则 a+ab*ab+oc+c+ad 记μ的三阶偏正联系数为+μ，则 aμ=a(μ=8[a(a]= 8+μ=8(82m)= 8[8(i0b+j8c+k8d)]= 8'[8'(a'a+ia'b+ja'c+ka'd)]= ad ab+aci+= io'b 6[ +j0'c a+ab*ab+oc+ac+ad= (36) ad k d'a ab &c+0d 8a+8+b +b+8c rb一+rb 0'c ab+oc'oc+od 1) atab+ab+ac b+ac+ac+ad 把8b= a*b0rc=b千c0d=a代人式61)得 记μ的四阶偏正联系数为μ，则 d μ=*(84）= c+d,一k 8a ab a 8a+8b obioci 83μ= b+cc+d Ba b+ b 8c (32) d a+ob*ab+oc ob+o'c*ac+od b+c c+d da 一+ d a+b+bic bie+cid 8a+8b a 8*b 注意到式(32)中的k=-1,于是得μ的三阶全偏 a+ob 8b+oc 联系数μ为 da a+b 8a+8b 8*b+8c a d'a 0*b+ c a+b c+d a b d a+ob8b+o+c 0b+oc ac+ad (37) 83*μ= atb btc 十 b+cc+d 另一方面，记μ的一阶偏负联系数为84，则 a b d a+b b+c b+c c+d aμ=iab+j8c+kdd+lae (38) 、b+ b C b C d 记μ的二阶偏负联系数为子μ，则 atb'bic bic+cid atb*bicbic+ctd 0μ=(a）= (33) 8(io b+jo c+kad+l8e)= 显然，式(33)是一个没有示性系数i的实数， (39) jo-c ko-d loe 十 其物理意义是：当μ>0时，表明四元联系数4 Fb+c+Fc+ad*ad+8e
∂ 3+ µ = ∂ + ( ∂ 2+ µ ) = ∂ + [ ∂ + (∂ + µ) ] = ∂ + [ ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c) ] = ∂ + ( ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c (27) ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d 把 代入式 (27) 得 ∂ 3+ µ = a a+b a a+b + b b+c a a+b a a+b + b b+c + b b+c b b+c + c c+d (28) µ ∂ − 另一方面，记 的一阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ − µ = i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d (29) ∂ −b = b a+b , ∂− c = c b+c , ∂−d = d c+d µ ∂ 2−µ 式中： 。记 的 二阶偏负联系数为 ，则 ∂ 2− µ =∂ − (∂ − µ) = ∂ − (i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d) = ∂ − c ∂ −b+∂ −c j+ ∂ −d ∂ −c+∂ −d k (30) µ ∂ 3− 记 的三阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 3− µ = ∂ − ( ∂ 2− µ ) = ∂ − [ ∂ − (∂ − µ) ] = ∂ − [ ∂ − (i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d) ] = ∂ − ( ∂ − c ∂ −b+∂ −c j+ ∂ −d ∂ −c+∂ −d k ) = ∂ −d ∂ −c+∂ −d k ∂ − c ∂ −b+∂ −c + ∂ −d ∂ −c+∂ −d (31) ∂ −b = b a+b , ∂− c = c b+c , ∂−d = d c+d 把 代入式 (31) 得 ∂ 3− µ = d c+d c b+c + d c+d k c b+c b a+b + c b+c + d c+d c b+c + d c+d (32) k = −1 µ ∂ 3±µ 注意到式 (32) 中的 ，于是得 的三阶全偏 联系数 为 ∂ 3± µ= a a+b a a+b + b b+c a a+b a a+b + b b+c + b b+c b b+c + c c+d − d c+d c b+c + d c+d c b+c b a+b + c b+c + d c+d c b+c + d c+d (33) i ∂ 3±µ > 0 µ 显然，式 (33) 是一个没有示性系数 的实数， 其物理意义是：当 时，表明四元联系数 ∂ 3±µ < 0 µ ∂ 3±µ = 0 µ 的系统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表明四元联系数 的系统在微观层次 上的演化趋势是负向趋势；当 时，表明四 元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势处在 正负临界状态。 2.5 五元联系数的偏联系数 式 (4) 所示五元联系数的偏联系数计算原理 同四元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出五元联系数中各阶偏联系数的定义 (见定 义 9)： µ = a+bi+c j+dk+ el,a ∈ [0,1],b ∈[0,1], c ∈[0,1],d ∈[0,1], e ∈[0,1] a+b c+d +e = 1 i ∈ [ 0.333,1 ] , j ∈ [ −0.333,0.333] k = [−1, 定 义 9 设五元联系数 , + , , −0.334], l=−1, 记 μ 的一阶偏正联系数为∂ + μ，则 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d (34) ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c ∂ + c = c c+d ∂ +d = d d +e µ ∂ 2+µ 式中： ， ， ， 。 记 的二阶偏正联系数为 ，则 ∂ 2+ µ = ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (35) µ ∂ 3+ 记 的三阶偏正联系数为 µ ，则 ∂ 3+ µ = ∂ + (∂ 2+ µ) = ∂ + [∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d)] = ∂ + [ ∂ +a ∂ +a+∂ +b + i∂ +b ∂ +b+∂ +c + j∂ + c ∂ +c+∂ +d ] = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (36) µ ∂ 4+ 记 的四阶偏正联系数为 µ ，则 ∂ 4+ µ = ∂ + ( ∂ 3+ µ ) = ∂ + ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (37) µ ∂ − 另一方面，记 的一阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ − µ = i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d +l∂ − e (38) µ ∂ 2− 记 的二阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 2− µ = ∂ − (∂ − µ) = ∂ − (i∂ − b + j∂ − c+k∂ − d + l∂ − e) = j∂ − c ∂ −b+∂ −c + k∂ −d ∂ −c+∂ −d + l∂ − e ∂ −d +∂ −e (39) 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·869·