因素表示的信息空间与广义概率逻辑（汪培庄、周红军、何华灿、钟义信）.pdf

第14卷第5期智能系统学报 Vol.14 No.5 2019年9月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sept.2019 D0:10.11992/tis.201810021 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190527.1345.006html 因素表示的信息空间与广义概率逻辑汪培庄，周红军2，何华灿3，钟义信4 (1.辽宁工程技术大学智能工程与数学研究院，辽宁阜新123000；2.陕西师范大学数学学院，陕西西安 710062:3.西北工业大学计算机学院.陕西西安710072：4.北京邮电大学智能科学技术中心，北京100876) 摘要：国内外近年来所提出的广义概率逻辑对于人工智能的发展有重要意义。能否反映变换演化的实际场景，使逻辑判断能够灵活变通，这是广义概率逻辑发展的关键。为了解决这一问题，本文的目是以信息空间作为逻辑与实际场景的接口。有了这个接口，逻辑判断就能反映变幻莫测的实际场景。本文的方法是用因素空间来定义表现论域以形成新的信息空间，将谓词中的变元取为因素，在已有的逻辑系统中加上本文所提出的背景公理，所有的推理都是在一定背景之下的推理，不同的背景会推出不同的结论。结果是新的逻辑既能维系 Stoe表示定理的表现要求，又能变得更加灵活有效。结论能使广义概率逻辑更有效地服务于人工智能。为了配合机制主义人工智能的需要，本文还特别提出了语法-语用对接的方法和目标驱动的逆向推理设想.最后为泛逻辑的3种连续算子对进行了数学证明。关键词：机制主义人工智能；泛逻辑；计量概率逻辑；因素空间；模糊集；可能性空间；谓词演算；随机集落影中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)05-0843-10 中文引用格式：汪培庄，周红军，何华灿，等.因素表示的信息空间与广义概率逻辑.智能系统学报，2019,14（⑤）：843-852. 英文引用格式：VANG Peizhuang,ZHOU Hongjun,.HE Huacan,etal.Factorial information space and generalized probability lo- gic[J].CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(5):843-852. Factorial information space and generalized probability logic WANG Peizhuang',ZHOU Hongjun',HE Huacan',ZHONG Yixin' (1.Institute of Intelligence Engineering and Math,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China;2.College of Mathematics,Shannxi Normal University,Xi'an 710062,China;3.School of Computer Science,Northwestern Poly- technical University,Xi'an 710072,China;4.Center for Intelligent Science and Technology,Beijing University of Posts Telecommunications,Beijing 100876,China) Abstract:The generalized probabilistic logic proposed in recent years is of great significance to the development of arti- ficial intelligence.Make flexible judgment that reflects the scene of actual transformation and evolution is the key to the development of the generalized probability logic.Considering this,this paper takes the information space as the inter- face between logic and actual scene.With this interface,logical judgment can reflect unpredictable real situations.The method in this paper is to use factors space to define the representation domain to form the information space.Then pre- dicate variables are taken as factors,and background axioms are added into the existing logic system.Reasoning is taken under a certain background,different backgrounds will derive different conclusions.The result is that the new logic can not only maintain the rational requirement of the Stone representation theorem but can also make decisions more flex- ibly and effectively.The conclusion is that the generalized probabilistic logic can serve artificial intelligence more ef- fectively.To meet the need of mechanistic artificial intelligence,this paper proposes the grammar-pragmatic docking method and the goal-driven backward reasoning.Finally,a mathematical proof is given for three couples of continuous operators in universal logic. Keywords:mechanism based artificial intelligence;universal logic;econometric probability logic;factors space;fuzzy sets;possibility space;predicate calculus,random falling shadow 收稿日期：2018-10-17.网络出版日期：2019-05-28. 机制主义的人工智能理论抓住并提升了目前基金项目：国家自然科学基金(61350003.60273087.60873001). 通信作者：汪培庄.E-mail:peizhuangw@126.com. 三大流派的共性，为人工智能理论的发展构建了

DOI: 10.11992/tis.201810021 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190527.1345.006.html 因素表示的信息空间与广义概率逻辑汪培庄1，周红军2，何华灿3，钟义信4 （1. 辽宁工程技术大学智能工程与数学研究院，辽宁阜新 123000; 2. 陕西师范大学数学学院，陕西西安 710062; 3. 西北工业大学计算机学院，陕西西安 710072; 4. 北京邮电大学智能科学技术中心，北京 100876）摘要：国内外近年来所提出的广义概率逻辑对于人工智能的发展有重要意义。能否反映变换演化的实际场景，使逻辑判断能够灵活变通，这是广义概率逻辑发展的关键。为了解决这一问题，本文的目是以信息空间作为逻辑与实际场景的接口。有了这个接口，逻辑判断就能反映变幻莫测的实际场景。本文的方法是用因素空间来定义表现论域以形成新的信息空间，将谓词中的变元取为因素，在已有的逻辑系统中加上本文所提出的背景公理，所有的推理都是在一定背景之下的推理，不同的背景会推出不同的结论。结果是新的逻辑既能维系 Stone 表示定理的表现要求，又能变得更加灵活有效。结论能使广义概率逻辑更有效地服务于人工智能。为了配合机制主义人工智能的需要，本文还特别提出了语法-语用对接的方法和目标驱动的逆向推理设想，最后为泛逻辑的 3 种连续算子对进行了数学证明。关键词：机制主义人工智能；泛逻辑；计量概率逻辑；因素空间；模糊集；可能性空间；谓词演算；随机集落影中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)05−0843−10 中文引用格式：汪培庄, 周红军, 何华灿, 等. 因素表示的信息空间与广义概率逻辑 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(5): 843–852. 英文引用格式：WANG Peizhuang, ZHOU Hongjun, HE Huacan, et al. Factorial information space and generalized probability logic[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(5): 843–852. Factorial information space and generalized probability logic WANG Peizhuang1 ，ZHOU Hongjun2 ，HE Huacan3 ，ZHONG Yixin4 (1. Institute of Intelligence Engineering and Math, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China; 2. College of Mathematics, Shannxi Normal University, Xi’an 710062, China; 3. School of Computer Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 4. Center for Intelligent Science and Technology, Beijing University of Posts Telecommunications, Beijing 100876, China) Abstract: The generalized probabilistic logic proposed in recent years is of great significance to the development of artificial intelligence. Make flexible judgment that reflects the scene of actual transformation and evolution is the key to the development of the generalized probability logic. Considering this, this paper takes the information space as the interface between logic and actual scene. With this interface, logical judgment can reflect unpredictable real situations. The method in this paper is to use factors space to define the representation domain to form the information space. Then predicate variables are taken as factors, and background axioms are added into the existing logic system. Reasoning is taken under a certain background, different backgrounds will derive different conclusions. The result is that the new logic can not only maintain the rational requirement of the Stone representation theorem but can also make decisions more flexibly and effectively. The conclusion is that the generalized probabilistic logic can serve artificial intelligence more effectively. To meet the need of mechanistic artificial intelligence, this paper proposes the grammar-pragmatic docking method and the goal-driven backward reasoning. Finally, a mathematical proof is given for three couples of continuous operators in universal logic. Keywords: mechanism based artificial intelligence; universal logic; econometric probability logic; factors space; fuzzy sets; possibility space; predicate calculus; random falling shadow 机制主义的人工智能理论抓住并提升了目前三大流派的共性，为人工智能理论的发展构建了收稿日期：2018−10−17. 网络出版日期：2019−05−28. 基金项目：国家自然科学基金 (61350003，60273087，60873001). 通信作者：汪培庄. E-mail: peizhuangw@126.com. 第 14 卷第 5 期智能系统学报 Vol.14 No.5 2019 年 9 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sept. 2019

·844· 智能系统学报第14卷一个统一的平台山。泛逻辑理论要在不确定性演常严格的数学概念，对于2中的每一个点，必化环境下对各种非经典逻辑进行统一的柔性归须有唯一确定的实数值()与之对应，怎样才能纳。Lukasiewiez提出的多值逻辑和Zadeh提把随机的现象和严格的映射连在一起呢？关键就出的模糊逻辑先后突破了布尔的二值逻辑，所引在基本空间的建立。Kolmogorov的基本空间就起反响至今还是方兴未艾。特别是，王国俊的提是作者所提出的一个因素空间，把所有对结果出的计量逻辑、Schweizer等ls提出的概率逻辑、有影响的因素全部考虑进来，所考虑的因素越周红军)提升出的概率计量逻辑以及王国俊学多，结果就越确定，作为一种数学抽象随机变量派⑧川和徐扬回在格值逻辑方面的工作。这些工在2中最终会变成一个必然的映射。我们姑且作和何华灿的泛逻辑都与概率论有密切的联系，不在哲学上对此进行评价，数学家就需要有这种不妨统称为广义概率逻辑。概率论的出现改变了魄力和手段。汪培庄明确地把基本空间2当数学，广义概率逻辑的出现对逻辑发展有重要意义。作因素空间来研究，提出了因素概率论的思想。信息不同于物质，它在物理空间中不占位置，天下事物说来说去，就是因果二字，因果出理性，不具有不可入性。但是，“有这样一种学说：在物因果生逻辑。若A则B,A就是因，B就是果，逻质世界与信息世界的对立统一中，物质在物理空辑就是因果。概率就是广义的因果律。概率都是间中具有不可人性和惯性，信息在可能性空间中相对于一定条件而言的。条件概率p(BA)就是也具有不可入性和惯性。这应当成为柔性逻辑的推理句“若A则B”的真值：p(BA)=1(A→B)o 公理四。这里提出了一个非常重要的概念“可能用因素空间描述概率论叫做因素概率论。每性空间”，究竞什么是可能性空间，它与概率论和个可描述的发生因素f都规定了一个相域I()。模糊数学所提的可能性空间有什么联系与区别？例如，投掷一枚骰子，因素∫是出现的点数，它的什么是广义概率逻辑？广义概率逻辑的发展将面相域是1(f)={(1,2,3,4,5,6。由于骰子具有6面对临什么问题？这些问题的深入探讨，将会对人工称性，我们把这样的发生因素叫做对称性因素。智能的发展带来重大的影响。本文就是要用因素 I()包含6个相，6称为可能结果数。古典概率空间的数学理论来把这些问题说清楚。中有这样一条公理，即对称性公理。 1可能性空间对称性公理具有可能结果数为n的对称性因素f,在它与其他发生因素独立的情况下，n种在前面曾提到，就像物质在物理空间中具有结果的发生都具有等可能性。若I(f)={a1,2,…,an, 不可入性和惯性一样，信息在可能性空间中也具则p(a)=p(a2)=…=p(an)=1/mo 有不可入性和惯性。这两句话意义重大。信息是现代概率论的发展要归功于中心极限定理和要占“地方”的，需要有空间，这个空间不在物质各种概率分布的推导，但其根源是来自古典概率世界里，在认识主体的处理架构之中。和样本平权公理：可能性空间在概率论和模糊数学中分别出现样本平权公理设1,2，…，xm是关于随机变过两次。第一次，Kolmogorov在1936年用公理化量的一组独立观察的样本点，如无特殊声明，则每定义把概率定义成为像面积、体积和重量一样的个样本点都是平权的，亦即p(x)=p(x)=…=p(cm)三测度，可加性测度是不可入性的产物，测度测量 1/m;每个样本各自平权地把1/m的概率搬到因素 “占有”这位数学家第一次把信息概念与物质概念空间中去争夺地盘，就形成了各种各样的概率分等同起来，在可能性空间中为事件争夺地盘。三布。根据这一公理，x1,2,…,xm被视为一组相互十多年以后，模糊集的创始人Zadeh)也要把模独立的与同分布的随机变量。糊概念放到可能性空间中来争夺地盘。模糊数学也强调可能性空间，这种可能性空间 Kolmogorov的可能性空间就是他所定义的基与概率论不同，所有主观性测度都是非可加的。本空间2。这个空间对现代概率论来说具有特殊如果把不可入性狭义地理解为测度的可加性，那的重要性。Kolmogorov把随机变量定义成为一么非可加的测度是可入的。但是，非可加的测度个从Q到实直线R的可测映射，它把2中的概率照样是要占“地方”的，汪培庄把模糊集定义所在的传递到直线上形成各种类型的概率分布列、分布论域U当作可能性空间，研究了模糊性与随机性密度和分布函数，使古典概率突变成为现代概率的区别和联系，发现论域U上的模糊性可以转化论。问题是，随机变量所描述的是像降雨量和命为幂20上的随机性，提出了模糊落影理论9。证中率这样一些不确定的现象，而映射却是一个非明了主观性测度与概率测度之间的同构对应定

一个统一的平台[1]。泛逻辑理论要在不确定性演化环境下对各种非经典逻辑进行统一的柔性归纳 [2]。Lukasiewiez[3] 提出的多值逻辑和 Zadeh[4] 提出的模糊逻辑先后突破了布尔的二值逻辑，所引起反响至今还是方兴未艾。特别是，王国俊[5] 提出的计量逻辑、Schweizer 等 [6] 提出的概率逻辑、周红军[7] 提升出的概率计量逻辑以及王国俊学派 [8-11] 和徐扬[12] 在格值逻辑方面的工作。这些工作和何华灿的泛逻辑都与概率论有密切的联系，不妨统称为广义概率逻辑。概率论的出现改变了数学，广义概率逻辑的出现对逻辑发展有重要意义。信息不同于物质，它在物理空间中不占位置，不具有不可入性。但是，“有这样一种学说：在物质世界与信息世界的对立统一中，物质在物理空间中具有不可入性和惯性，信息在可能性空间中也具有不可入性和惯性。这应当成为柔性逻辑的公理” [2]。这里提出了一个非常重要的概念“可能性空间”，究竟什么是可能性空间，它与概率论和模糊数学所提的可能性空间有什么联系与区别？什么是广义概率逻辑？广义概率逻辑的发展将面临什么问题？这些问题的深入探讨，将会对人工智能的发展带来重大的影响。本文就是要用因素空间的数学理论来把这些问题说清楚。 1 可能性空间在前面曾提到，就像物质在物理空间中具有不可入性和惯性一样，信息在可能性空间中也具有不可入性和惯性。这两句话意义重大。信息是要占“地方”的，需要有空间，这个空间不在物质世界里，在认识主体的处理架构之中。可能性空间在概率论和模糊数学中分别出现过两次。第一次，Kolmogorov 在 1936 年用公理化定义把概率定义成为像面积、体积和重量一样的测度，可加性测度是不可入性的产物，测度测量 “占有”这位数学家第一次把信息概念与物质概念等同起来，在可能性空间中为事件争夺地盘。三十多年以后，模糊集的创始人 Zadeh[13] 也要把模糊概念放到可能性空间中来争夺地盘。 Ω ξ Ω R Ω Kolmogorov 的可能性空间就是他所定义的基本空间。这个空间对现代概率论来说具有特殊的重要性。Kolmogorov 把随机变量定义成为一个从到实直线的可测映射，它把中的概率传递到直线上形成各种类型的概率分布列、分布密度和分布函数，使古典概率突变成为现代概率论。问题是，随机变量所描述的是像降雨量和命中率这样一些不确定的现象，而映射却是一个非 Ω ω ξ (ω) Ω Ω A B A B p(B|A) A B p(B|A)=t(A → B) 常严格的数学概念，对于中的每一个点，必须有唯一确定的实数值与之对应，怎样才能把随机的现象和严格的映射连在一起呢？关键就在基本空间的建立。Kolmogorov 的基本空间就是作者所提出的一个因素空间[14] ，把所有对结果有影响的因素全部考虑进来，所考虑的因素越多，结果就越确定，作为一种数学抽象随机变量在中最终会变成一个必然的映射。我们姑且不在哲学上对此进行评价，数学家就需要有这种魄力和手段。汪培庄[15] 明确地把基本空间当作因素空间来研究，提出了因素概率论的思想。天下事物说来说去，就是因果二字，因果出理性，因果生逻辑。若则，就是因，就是果，逻辑就是因果。概率就是广义的因果律。概率都是相对于一定条件而言的。条件概率就是推理句“若则 ”的真值：。 f I(f) f I(f) = {1,2,3,4,5,6} I(f) 用因素空间描述概率论叫做因素概率论。每个可描述的发生因素都规定了一个相域。例如，投掷一枚骰子，因素是出现的点数，它的相域是。由于骰子具有 6 面对称性，我们把这样的发生因素叫做对称性因素。包含 6 个相，6 称为可能结果数。古典概率中有这样一条公理，即对称性公理。 n f n I(f) = {a1,a2,··· ,an} p(a1) = p(a2) = ··· = p(an) = 1/n 对称性公理具有可能结果数为的对称性因素，在它与其他发生因素独立的情况下，种结果的发生都具有等可能性。若，则。现代概率论的发展要归功于中心极限定理和各种概率分布的推导，但其根源是来自古典概率和样本平权公理： x1, x2,··· , xm ξ p(x1) = p(x2) = ··· = p(xm) = 1/m x1, x2,··· , xm ξ 样本平权公理设是关于随机变量的一组独立观察的样本点，如无特殊声明，则每个样本点都是平权的，亦即 1/m；每个样本各自平权地把的概率搬到因素空间中去争夺地盘，就形成了各种各样的概率分布。根据这一公理，被视为一组相互独立的与同分布的随机变量。 U U 2 U 模糊数学也强调可能性空间，这种可能性空间与概率论不同，所有主观性测度都是非可加的。如果把不可入性狭义地理解为测度的可加性，那么非可加的测度是可入的。但是，非可加的测度照样是要占“地方”的，汪培庄把模糊集定义所在的论域当作可能性空间，研究了模糊性与随机性的区别和联系，发现论域上的模糊性可以转化为幂上的随机性，提出了模糊落影理论[15]。证明了主观性测度与概率测度之间的同构对应定 ·844· 智能系统学报第 14 卷

第5期汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845· 理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安空间。在英文中概率与可能性是一个字probabil- 倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现， ity,为了与概率相区别，Zadeh把模糊分布的可能如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是性改称为possibility,不幸的是，这个词的中文概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明，翻译也是可能性。西方人对probability和possib- 参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！ ility的理解是有分别的，probability是预测中某种命题演算的局限性是很大的。结果出现的可能性，而possibility是识别中某种类谓词演算的朴素思想本来是很简单的（绝不别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题p改写事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么成p(x,“x是p”,它是可以判断真伪的一句话，叫结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的做一个谓词。p叫做概念，x叫做对象，或叫变位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出 2.2 Stone拓扑表示定理现了模糊性，有多种possibility等我们去选择，这谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就些possibility也要在这个新的可能性空间中来争是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间固的理论基础。是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当息科学领域里，因素∫的相域I()就是信息域，概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到因素空间也就是信息空间。 Stone拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从概率论的产生是数学上的重大事件，相应的数学上得到严格的证明。广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事 Stone拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零辑中引用因素表现论域。维Hausdorff空间的开闭集代数6。简单地说，就是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构 2简化的Stone表示定理与因素表现论域法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反 Stone简化定理。需要介绍滤子的2种不同的定思，弄清Stone拓扑表示定理的思想实质，强调谓义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻权威的格论著作)给出：在一个尔代数B=(B, 辑开拓一种新的思路。 V,Λ，)中，按常规定义了偏序≤： 2.1命题演算的局限性 p≤q台pVq=q台pAq=P 布尔命题演算系统L=(S,F(S),「，WMP)有定义1在布尔代数B=(B,V,A,)中，F二B 5个要素：真值集W由1、0两个值所构成；S中的叫做一个强滤子，如果满足：1)满性，即(p≤q且原子公式p代表命题，命题是“能够判断是非的一 pEF)曰q∈F;2)尾敛性，即对任意P,q∈F,都有句话”；F(S)是公式集，它的形成就规定了或、且、 pAq∈F。B是一个平凡的强滤子。非平凡的强非3种布尔运算；T是公理，它在推理规则P下滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤只演绎定理，不能问它是怎样来的。子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题的谓语是“be”,宾语是be所连接的一个名词、代集S的布尔代数为有限布尔代数或n元布尔代名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否数，元指的是原始公式的个数。符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把命题1在n元布尔代数B中，每个强滤子 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说 F必有一个最小元P,使对任意q∈F,都有p≤q

理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。 f I(f) 总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性空间。在英文中概率与可能性是一个字 probability，为了与概率相区别，Zadeh 把模糊分布的可能性改称为 possibility[13] ，不幸的是，这个词的中文翻译也是可能性。西方人对 probability 和 possibility 的理解是有分别的，probability 是预测中某种结果出现的可能性，而 possibility 是识别中某种类别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成另一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出现了模糊性，有多种 possibility 等我们去选择，这些 possibility 也要在这个新的可能性空间中来争夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信息科学领域里，因素的相域就是信息域，因素空间也就是信息空间。概率论的产生是数学上的重大事件，相应的广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻辑中引用因素表现论域。 2 简化的Stone表示定理与因素表现论域在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反思，弄清 Stone 拓扑表示定理的思想实质，强调谓词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻辑开拓一种新的思路。 2.1 命题演算的局限性 L = (S,F (S ),Γ,W,MP) S p F (S ) Γ MP 布尔命题演算系统有 5 个要素：真值集 W 由 1、0 两个值所构成；中的原子公式代表命题，命题是“能够判断是非的一句话”；是公式集，它的形成就规定了或、且、非 3 种布尔运算；是公理, 它在推理规则下只演绎定理，不能问它是怎样来的。这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句的谓语是“be”, 宾语是 be 所连接的一个名词、代名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现，如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明，参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！命题演算的局限性是很大的。 p p(x) x p p x 谓词演算的朴素思想本来是很简单的 (绝不像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题改写成，“ 是 ”,它是可以判断真伪的一句话，叫做一个谓词。叫做概念，叫做对象，或叫变元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。 2.2 Stone 拓扑表示定理谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚固的理论基础。道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到 Stone 拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从数学上得到严格的证明。 ∨,∧,¬) ⩽ Stone 拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零维 Hausdorff 空间的开闭集代数[16]。简单地说，就是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个 Stone 简化定理。需要介绍滤子的 2 种不同的定义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。权威的格论著作[17] 给出：在一个尔代数 B = (B, 中，按常规定义了偏序： p ⩽ q ⇔ p∨q = q ⇔ p∧q = p B = (B,∨,∧,¬) F ⊆ B p ⩽ q p ∈ F ⇒ q ∈ F p,q ∈ F p∧q ∈ F B 定义 1 在布尔代数中，叫做一个强滤子，如果满足：1) 满性，即 ( 且 ) ；2) 尾敛性，即对任意，都有。是一个平凡的强滤子。非平凡的强滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。 S n 在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题集的布尔代数为有限布尔代数或元布尔代数，元指的是原始公式的个数。 n B F p q ∈ F p ⩽ q 命题 1 在元布尔代数中，每个强滤子必有一个最小元，使对任意，都有。第 5 期汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845·

·846· 智能系统学报第14卷证明因为平凡强滤子B有最小元0，所以了集合P中。这一定理把难懂的Stone定理说得只需对真强滤子进行证明。简单明白而且说到本质。Stone定理之所以重要，任给一个真强滤子F,对它建立一个假定：F 就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”，中不存在最小元。这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体任取pP1∈F,因它不是最小元，必有p2∈F,使系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足Stone定得p2<P1。因p2不是最小元，必有p3∈F,使有理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理 P3<P2。如此继续下去形成一个B中的全序子成了检验新逻辑系统的一块试金石。而Stone定理链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定链，矛盾，可见假定错误。证毕。义了各自的表现论域。显而易见，若F有最小元，则它在相等的意命题3表现论域的构造。设n元布尔代数义下是唯一的。 B的原子公式集是S={p4,P2,…,P,则表现论域定义2强滤子的最小元叫做它的滤尾。的元素是一切可能出现的n字组：命题2n元布尔代数中真强滤子是极大的 U={xA2A…Ax=P或一p0=1,2,…,m）充分必要条件是：它的滤尾是B中的次小元。证明给定a=xAxA…Axm若有公式q<xA 证明下面将提到的p与p分别是真滤子F A…Axm,则必有比a小的公式r,使有q=rAao 和F的滤尾。显然p与p都不是最小元0。考虑，的析取范式，其中任何一项b都必须 F是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真是一个比a小的字组aAy2Ayw=P或强滤子F包含F。这当且仅当(p<p→p=0), p)。若对所有j=1,2,…,k,都有x0=y0,则亦即p是B中的次小元。证毕。 b≥a从而r≥a,不合要求。故必有j使x≠ 定义3记U为n元布尔代数B中次小元的这时，n且y0=p0或者0=一P且yU0=P,必集合，U叫做布尔代数B的表现论域。有xA)=0,从而aAb=0。任意字组都如此，表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所便有aAT=0。对任意比a小的D都有aAr=0, 具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在则g=rAa=0,这说明a是次小元。有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形反之，设a是B的次小元，它的析取范式只下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖（滤尾），在无必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺限情形下有尖口（极限点）。非强滤子由于没有尾项安上一个字。证毕敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难例1设B是一元布尔代数，具有单字集证明，B中全体滤子所成的集合中乃是强滤子所 S={以。由一个单字所构成的公式集在相等的意成集合F的幂：=2F。义下只包含4个公式： Stone拓扑表示定理说布尔代数B与中同构， B={0,P,p,1} 对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： B包含两个次小元p和一p,它们分别与两个 Stone简化定理任何一个n元布尔代数极大强真滤子相对应：F,={p,1,F2={一p,1。 B=(B,V,八，)与集合代数P(U)=(2',U,∩，C)同构所以，B的表现论域是U=(p,p)。2” 或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运 pA(一p)=0p,ppV(p)=1。显然B与2"同构。算。这里，U是B的表现论域。例2设B是二元布尔代数具有双字集证明命题2说明F与U是一一对应的。 S=p,q。由两个字所构成的公式集在相等的意所以，根据Stone表示定理，2”与2、中、B之间也义下包含16个公式：都是一一对应的。B中公式的析取、合取、否定 B=(0.pq.p'q.pq'.p'g.pqv p'q=9, pqv pq'=p.pqv p'g',p'qv pq', 运算显然与U中集合的并、交、余运算同态。证毕。 p'qv p'q'=p.pq'vp'q=9, Stone简化定理把B的次小元集合U找出来， pqv p'qv p'q'=pqv p'. 用U中的元素当作变元x,用U的子集表示概念， pqvp'qv pq=qvpq', pqvp'qvp'q =pqvp'. 把B变成2“，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、 pqv pq'v pq=pqv pqv pq', 余运算的统一。任何公式p都对应着一个集合P, p'qvpq'vp'q'=p'qvq. 叫做它的真集。谓词p(x)真当且仅当变元x进到 pqvp'qvp'q'v p'q'=1)

证明因为平凡强滤子 B 有最小元 0，所以只需对真强滤子进行证明。任给一个真强滤子 F ，对它建立一个假定： F 中不存在最小元。 p1 ∈ F p2 ∈ F p2 < p1 p2 p3 ∈ F p3 < p2 B 任取，因它不是最小元，必有，使得。因不是最小元，必有，使有。如此继续下去形成一个中的全序子链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子链，矛盾，可见假定错误。证毕。显而易见，若 F 有最小元，则它在相等的意义下是唯一的。定义 2 强滤子的最小元叫做它的滤尾。 n B 命题 2 元布尔代数中真强滤子是极大的充分必要条件是：它的滤尾是中的次小元。 p p ′ F F ′ p p ′ 证明下面将提到的与分别是真滤子和的滤尾。显然与都不是最小元 0。 F F ′ F p ′ < p ⇒ p ′ = 0 p B 是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真强滤子包含。这当且仅当 ( )，亦即是中的次小元。证毕。 U n B U B 定义 3 记为元布尔代数中次小元的集合，叫做布尔代数的表现论域。 B ϕ F ϕ=2 F 表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖 (滤尾)，在无限情形下有尖口 (极限点)。非强滤子由于没有尾敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难证明，中全体滤子所成的集合乃是强滤子所成集合的幂: 。 Stone 拓扑表示定理说布尔代数 B 与 ϕ 同构，对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： n B = (B,∨,∧,¬) P(U) = (2U ,∪,∩,C) U B Stone 简化定理任何一个元布尔代数与集合代数同构，或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运算。这里，是的表现论域。 F U 2 U 2 F ϕ B B U 证明命题 2 说明与是一一对应的。所以，根据 Stone 表示定理，与、、之间也都是一一对应的。中公式的析取、合取、否定运算显然与中集合的并、交、余运算同态。证毕。 B U U x U B 2 U p P p(x) x Stone 简化定理把的次小元集合找出来，用中的元素当作变元，用的子集表示概念，把变成，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、余运算的统一。任何公式都对应着一个集合，叫做它的真集。谓词真当且仅当变元进到了集合 P 中。这一定理把难懂的 Stone 定理说得简单明白而且说到本质。Stone 定理之所以重要，就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”，这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足 Stone 定理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理成了检验新逻辑系统的一块试金石。而 Stone 定理的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定义了各自的表现论域。 n B S = {p1, p2,··· , pn} n 命题 3 表现论域的构造。设元布尔代数的原子公式集是，则表现论域的元素是一切可能出现的字组： U = { x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn xj = pj或¬pj(j = 1,2,··· ,n) } a = x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn q < x1∧ x2 ∧ ··· ∧ xn a r q = r∧a 证明给定，若有公式，则必有比小的公式，使有。 r b a y(1) ∧y(2) ∧ ··· y(k) y(j) = p(j) ¬p(j) j = 1,2,··· , k x(j) = y(j) b ⩾ a r ⩾ a j x(j) , y(j) n y(j) = ¬p(j) x(j) = ¬p(j) y(j) = p(j) x(j) ∧y(j) = 0 a∧b = 0 a∧r = 0 a D a∧r = 0 q = r∧a = 0 a 考虑的析取范式，其中任何一项都必须是一个比小的字组 ( 或 )。若对所有，都有，则从而，不合要求。故必有使，这时，且或者且，必有，从而。任意字组都如此，便有。对任意比小的都有，则，这说明是次小元。反之，设 a 是 B 的次小元，它的析取范式只能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺项安上一个字。证毕 B S = {p} 例 1 设是一元布尔代数，具有单字集。由一个单字所构成的公式集在相等的意义下只包含 4 个公式： B = {0, p,¬p,1} p ¬p F1 = {p,1} F2 = {¬p,1} B 包含两个次小元和，它们分别与两个极大强真滤子相对应：，。 B U = (p,¬p) 2 U = {p∧(¬p) = 0, p,¬p, p∨(¬p) = 1} B 2 U 所以，的表现论域是。 l 。显然与同构。 B S = {p,q} 例 2 设是二元布尔代数具有双字集。由两个字所构成的公式集在相等的意义下包含 16 个公式： B = {0, pq, p ′q, pq′ , p ′q ′ , pq∨ p ′q = q , pq∨ pq′ = p, pq∨ p ′q ′ , p ′q∨ pq′ , p ′q∨ p ′q ′ = p ′ , pq′ ∨ p ′q ′ = q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ p ′q∨ pq′ = q∨ pq′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ pq′ ∨ pq′ = pq∨ pq′ ∨ pq′ , p ′q∨ pq′ ∨ p ′q ′ = p ′q∨q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ ∨ p ′q ′ = 1} ·846· 智能系统学报第 14 卷

第5期汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·847· 这里，pq表示pA9,pq表示(p)A9,B含有4个同一对象的原则。只有不同因素之间才可能产生次小元p9、pq、P叫、Pg,它们分别对应于4个极推理，因为它们可以附着在同一个对象上。不用大真强滤子：F1={pq,P,4,1),F2={p4p,41, 因素句无法进行多变量的谓词演算。 F3=(pg,p,q,1,F4={pq,p',q,1。我们希望搞辩证逻辑，辩证法的核心是要具所以，B的表现论域是U={pq,pqpg,pq1, 体问题具体分析，什么是具体分析呢？就是要对 2"会生成与上面相同的16个公式显然。B与2 问题的内在和外在的因素进行分析。在谓词逻辑同构。中把变元进一步写成因素是逻辑发展的新机。一般地说，若B是由n字集S={p1,P2,…,P} 逻辑是对事物的性质进行是非判断的科学，所构成的布尔代数，则有2"个B的次小元构成表它要离开具体事物的性质而抽象出是非判断的一现论域U,此时，B包含2的2”次方个公式，与2” 般规律，但抽象离不开现实，要想使逻辑更加有同构。效地解决实际问题，需要开辟逻辑返回世界的接从二值逻辑到多值逻辑，所有新的理论都要口。表现论域U就是这个接口，它是变元活动的推广Stone拓扑表现定理，这是考验新逻辑理论空间。若把变元看作因素，U就是因素空间，以的一块试金石。我们需要做什么工作呢？首先，因素空间做表现论域的逻辑就是因素逻辑。要去掉有限布尔代数的限制，使Stone简化定理给定一个因素空间1F=(D,F={f,f,…,f),对的面扩大，然后，要证明一个普适性的广义于不同的因素f,其相值要采用彼此相区别的 Stone简化定理。若有一个能够一劳永逸地解决符号。 Stone简化定理推广的理论，就可以加速新理论的定义4在1上的二值因素逻辑系统L是发展。比如，抓住U=S",当W={0,1)时Stone简这样来规定的：化定理成立，要证对任意W(三值、多值、连续 1)它的符号集是字集S=If)UIf)UI(f) 值)Stone简化定理都成立。对于模态逻辑，量词加上符号1,0以及括号：逻辑类似。 2)它的公式集F(S)是由S所生成的布尔代 23谓词演算中的变元争议与因素逻辑数(F(S),V,A,),所有的字叫作原始公式；在命题演算中我们曾经强调过，由我是中国 3)它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以人推不出安倍是亚洲人。推理句中的前后两个命下假设公理T: 题必须是同一个对象。在谓词逻辑中也应该坚持「1字姓公理：称I(f)={1,x2,…,xx}中的字同对象推理的原则，毫无联系的两个对象之间是为第i家字。有不能推理的。 xn VxV...ViK =1;=0();(negxak V 常会遇见下面的推理句：若气温高则降雨 {xxlk≠k}: 量大「2背景公理：存在一个公式r∈F(S)叫作背高→大例景式，有p→pAr且pAr→pNp∈F(S),若系统这里x与y分别表示气温和降雨量这两个不 Ly不指明r,则意味着r=1。同的因素，是否违背推理的对象必须相同的原则 4)真值集是二值布尔代数W2:W2={0,1}= 呢？那要看这两个因素是否作用在同一对象上。 {0,1},V,A,}o 气温与降雨量必须是同一地区的。广州的气温高 5)推理规则：MP:{p,p→q-qo 不能推出黑龙江的降雨量大，x与y必须附着在这个定义的意思是这样：任何逻辑系统都包同一个地区。这里，x=x(d,y=y(d),只要归结到含5个要素，即符号集S、公式集F(S)、公理集相同的对象，变元都是d的函数，仍然符合同对 ∑、真值集W和推理规则（集）。逻辑系统可通过象推理的原则。附加一组公理，叫作假设公理集下而衍生出一个变元x和y是这样的函数，它们都把对象映子系统，在原系统中的定理都是子系统的定理，射成属性或状态，这样的映射就是因素。因素在而某些在原系统中不是定理的推理句中却可能变数学上被定义成把对象映成属性的映射。所以，成子系统的新定理，如果U中。这个子系统中多变元推理中的变元必须是因素。的定理叫作「-定理，如果满足强完满定理：若对象是张三，如果他的智商x高，学习态度 y努力，则他的学习成绩z优异。这些不同变元 Tk中if=b 之间的推理，都是因素之间的因果推理，都符合则这个子系统中的定理叫做强「-定理