·14· 第一章量子力学的物理基础 (△x)2= (x-)19x1e (1.16) 1) (p):(p)p)dp Ip Fdp (1.17) 按(l.l5b)式，(x)和(p)是Fourier积分变换对，将Fourier变换的带宽定理①应 用到de Broglie波波包情况，立即可得Heisenberg不确定性关系 A·ap≥ (1.18) 此式说明，不论粒子的de Broglie波波包的形状如何，它的动量偏差均方根与坐标 偏差均方根的乘积不小于专.或者说，不论微观粒子处在何种状态，它的坐标和动 量在客观上就不能同时都具有确切数值，当然也就不能在同一个实验中将它俩同 时测准.这里强调指出，这种不能同时测准是原则性的.就是说，不存在能够同时测 准微观粒子位置和动量的实验方案，这并非任何实验方案欠周到、实验技术欠精密 所带来的实验误差.由所用的带宽定理可以知道，任何种类波（弹性波、光波、…） 均存在类似的关系式.这是对波动过程进行Fourier分析所得的基本结论之一.所 以说，不确定性关系的存在正是根源于微观粒子的波动性，或者更全面些说，根源 于微观粒子的波粒二象性.显然，随着所研究的问题向宏观领域趋近，的作用逐 渐减小，就从x、p不能同时测准“约略”成为能同时测“准”了。 §1.3不确定性关系讨论 1.能量和时间的不确定性关系 上面推导已表明，Heisenberg不确定性关系(1.l8)式的物理根源是微观粒子 ①Fourier带宽定理 若fx)=Fed,Fy)=∫fx)ewd,并定义 (an ,A2=y=b)2IF》2dw If)dz IF(y)dy 这里x0,%为任意固定值，则有 Ar·Ay>2
§1.3不确定性关系讨论 ·15· 的波动性，因此它也就是一个普遍成立的关系式.在任何Planck常量的作用不 能忽略的现象里，在任何显示波粒二象性的事例中，总之，在任何量子物理实验中， 都能分析出这一不确定性关系. (1.18)式还可以改变一下形式.设电子沿x方向运动，由于粒子在x方向的 位置有一个不确定量，用光照射的办法确定其位置时，发生散射的时间也就有一个 不确定量， U 这里是散射前粒子的速度.显然，这也是用显微镜观察粒子时观测时间的不确 定量.另一方面，粒子的能量E一2经，所以和△p.相应的粒子能量的不确定量为 △E=v△p: 两者相乘，可得不确定性关系的另一种形式 △E·△t≈h (1.19) (1.19)式有不同的解释或称作应用.首先，如果针对的是一个不稳定的半衰期为： 的能级，它必有一能级宽度Γ，两者之间满足此处的不确定性关系Γ·τ≈.其次， 如果将这里观测时间的不确定量看作观测的持续时间，那么，测量粒子能量E的 不确定量和对它进行观测的持续时间之间，也存在不确定性关系.换句话说，测量 过程的分析表明，为了精确地测量能量（精确度达到△E),要求测量所花费的时间 至少为 a≈岛 最后，如果把Fourier频谱分析的观点用于持续时间间隔为△t的波包，就启发人 们对此关系作出第三种解释：对只在短时间间隔△：内持续的任何不稳定现象，其 能量必有一个不确定量（或所含频率必有一个宽度），使两者之间满足上面的 关系① 2.不确定性关系的进一步解释及某些应用 首先，应当强调指出，上面这两个不确定性关系式不仅对大量同类粒子的相同 实验，即所谓量子系综在统计上是正确的，现在越来越多的人认为它对单个微观粒 子的单次实验过程也是正确的.因为客观上，微观粒子的x和p本来就不同时具 有确定数值，并非是系综统计上不确定，而对单体两者是确定的 比如就△E·△t≈h来说.例子之一是，当一个原子由第n能级退激发到第m ①此处解释亦参见：E费米，量子力学，西安交通大学出版社，1984
·16· 第一章量子力学的物理基础 能级时，发出以中心频率ω=(En一Em)/涨落的光子，这是一个持续时间为t的 过程，发出的是一个空间电磁波包.它在空间中的广延程度（即相干长度）可以 通过半透片将波包分解，沿两条路径前进后再行汇合，测量仍旧保持相干性的最大 程差(~).实验测量每个单个波包的8（也即测量了8t=8l/c)和8E,证实了不确 定关系对原子退激发时发射的单个电磁波包也成立①.例子之二是，近代关于核 力或相互作用的概念，它可以形象表述如下（图1-4）： (a 6) 图1-4 n和p仿佛是两个相向滑冰的运动员.当n滑到x1处时，向p抛去一个小球 (虚介子)，同时在离开P的方向上受一反冲.P在x2处接到抛来的球，也产生了另 一个方向要离开的反冲.假定人们只能看见这两个运动员而看不见小球，那人们 一定觉得在A与B之间存在着某种斥力.和p之间抛接小球的最大距离便是这 种斥力的力程.假如n和p之间的距离大于这个力程，n和p之间的这种斥力便可 以忽略.对于吸引力的情况，可以设想在它们之间抛接飞去来器（虚介子）.就是说， n在x1处向背着（不再是朝向）p的方向抛出飞去来器，它飞向p并绕圈后被p接 受.如果相互抛接的是光子，两个粒子之间的作用力便是电磁力，抛出和接受光子 的“能力”便是电荷.质子和中子之间相互抛接的是π介子，呈现出介子场论的核力 图像.现在的问题是，核内一对核子之间所抛接的虚π介子，原先并不存在，是从 “无”中生出来的.这就意味着在△E=m,c2数量上破坏了经典意义下的能量守恒定 律.但是，按不确定性关系，只要这个π介子存在的时间（从抛出到接受，即从产生到 吸收)在△~是一m之内就是允许的@，可以如下估计核力的力程（或由核力的 力程估计π介子的质量).设π介子近似以光速c从一个核子飞向另一个核子，则 m.c ①A梅西亚，量子力学，第一卷，北京：科学出版社，1986年，第163页. 2 R.Shankar,Principles of Quantum Mechanics,1980,253
§1.3不确定性关系讨论 ·17 实际上，这个力程就是π介子的Compton波长.显然，交换粒子（此时为π介子）的 质量越大，由交换过程所产生的力程就越短.核力力程大体为r做力≈1.5X10-13cm, 于是可得mc2≈132MeV.当然，这里的图像是很简单化的.有关计算见§8.1. 另一个需要注意的问题是，由于粒子的位置和动量不能同时具有确定值，因此 在量子理论中不存在（经典物理中常见的）粒子的静止概念和轨道概念.这是因为， 这些概念是以粒子位置和动量能同时定准为前提的. 最后，讨论一下这两个不确定性关系的某些应用.第一，能量尺度与空间尺度 的关联.原子物理和凝聚态物理情况：这时空间尺度为A=10-8cm, 荒*2-6.5XX品m 2×0.511MeV×(10-8cm)2 =3.8eV~A 所以 原子尺度~A+相应的能量尺度为(1~10)eV 原子核物理情况：原子核常用的尺度为1013cm, 2c2 (1.973×10-1MeV·cm)2 2m≈2m,c2(3.3fm=2X940MeV.(3.3X10cm =2MeV~3.3fm 原子核尺度(1~6.5)fm+相应的能量尺度为(0.5~20)MeV 粒子物理情况：高能物理的尺度≤10-14cm.这时粒子已很接近于光速，所以有 AE≈Apc≈盔≥1973X0MeYm 2X10-4cm ≈lGeV 高能物理的尺度≤101“cm相应的能量尺度为≥1GeV 第二，前面已经严格证明了对任一de Broglie波包，有 Ax·△p:≥克 早在l926年，Schrodinger就已构造了所谓“最小不准确度波包”，现在已将它推广 为波色子相干态.这个波包其实是一个Gauss型的波包（由于Gauss型函数的 Fourier变换仍为Gauss型函数，所以这个波包的动量展开还是一个Gauss型的波 包)，随时间的演化仍保持为一个Gauss型波包.关于相干态的问题将在第五章中 详细讨论
…18· 第一章量子力学的物理基础 §1.4理论体系的公设 上面简要回顾了导致量子力学诞生并构成其实验基础的一些实验事实，以及 由这些实验事实抽引出的一些基本观念.这些基本观念构成了量子力学的物理基 础，体现了量子力学最本质的特征.遵循这些基本观念，利用公设加逻辑的公认科 学体系，便能构筑起整个非相对论量子力学的理论体系.这个体系的基础可以归纳 为5个基本假设（或称公设）.当然，同任何科学理论一样，作为整个理论出发点的 这些公设分别都是许多实验经验（以及这些实验经验所揭示的基本观念）的概括. 而且它们当然是在量子力学建立之后才抽象归纳出来的.下面简要阐述这些公设. 1.第一公设—波函数公设 “一个微观粒子的状态总可以用一个波函数(r,)来完全描述.波函数是粒子 坐标和时间的复值函数，模平方2称为概率密度，就是说，在波函数分布区域的 小体积元dv中找到粒子的概率由 dP(r,t)=(r,t)o(r,t)dv 表示，这里中为少的复数共轭.从而，（至少是引2）在其分布区域中必须处处单 值、连续、可微（除个别点、线、面之外），对任意区域模平方可积.而且，如果中和么 是描述状态的波函数，则它们归一化的任意复系数线性叠加少=a14十2中也是 描述状态的波函数.” 波函数公设内容可细分为四点：状态必可由波函数表示、波函数的概率诠释以 及随之而来的对波函数性质的要求、状态服从量子态叠加原理， 特别地，经典自由粒子匀速直线运动状态，在量子理论中对应动量为确定值的 微观粒子状态.完全描述这种状态的波函数是平面de Broglie波 ”(r,t)=Aepr-E) (1.20) 这里A为某个常数.确切地说，这个波函数描述了动量值为p的无尽的粒子流，在 这个束流中每单位体积内平均有中=|A|2个粒子存在.最好不用它去代表一个 粒子（动量为定值的）的波函数.因为如果这样，由于在全空间肯定能找到这个粒 子，也就要求如下归一化条件 J全空间 |r,t)12d=1 (1.21) 若要这个在无穷体积上的积分收敛，指数前面的归一化系数A将为零.物理上这 当然是合理的，因为这时在任意地方的单位体积里找到这一个粒子的概率几乎是