§1.4理论体系的公设 ·19· 零.但却使得数学上无法写出这个波函数.所以，代表一个粒子，最好不要用平面 波①，而用某种波包，即是一个展布在有限区域、从而模平方积分收敛、可归一化的 波函数.这里强调指出，从实验测量的观点，只要求 ∫，0Pdo=单值有限 (1.22) 这里[M门表示被测点M附近任意小但仍为有限的小体积.这是因为，任何测量粒 子位置的实验，无论其精确度多高，也不能精确到一个几何点，所以测量精度使得 测定的区域虽然很小但总为有限.于是，实验测量概率值必为单值有限的要求就体 现为：上述积分单值有限.实验并不要求|(r,t)2函数处处有限.把“(r,t)处处 有限”作为一个普遍性要求其实是人为苛求的（即便自由运动粒子，也不能要求其 波函数处处连续有限.见第三章习题24).比如，就球坐标原点附近而言，按实验测 量观点所得的物理要求，波函数(r,t)在r=0点可以发散，只要发散速度满足球 坐标原点自然边条件（见第四章） (r,)二9oo,应慢于r (1.23) 应当说，微观粒子所处力学状态，在实验测量之前，是表征微观粒子在力学运 动中所具有的“潜在能力”；在实验测量之后，表现为占有力学量数值及相应概率， 即“统计表现”.“潜在能力”和“统计表现”两者的具体、统一描述便是波函数。例子 说明见中心场4.3.4小节. 2.第二公设一算符公设 “任一可观测力学量A可以用相应的线性Hermite算符A来表示.这些算符 作用于态的波函数.在这种由力学量A到算符A的众多对应规则中，基本的规则 是坐标x和动量力向它们算符父、多的对应.这种对应要求 净一x=” (1.24) 关于这个公设有如下几点解释： 第一，讨论公设的力学量到Hermite算符的对应.首先，经典物理学中所有力 学量均转化为对应的Hermite算符，惟时间这个量除外.在全部量子理论中，时间 一直保持为连续变化的参量，不存在相应的“时间算符”.其次，关于文和多的对易 子可如下理解.按(r)的概率解释，力学量坐标的平均值应为 ①后面引入δ函数，将平面波归一化成为8函数也是可行的.实际大多数情况也是这样 做的.这种说法并不意味着放弃使用平面波.事实上，由于它的理想化和简单，会给数学描述带 来简化.而由它带来的积分发散等问题可以用一些人为办法补救.见§10.1及§9.6
·20· 第一章量子力学的物理基础 rl(r)2dv Jy'(r)ny(r)dv (1.25) |(r)12dv (r)12dv 可以看到，由于状态波函数中用坐标r的函数来描述，坐标算符？可直接就取为 r①.这时，算符)的表示式又如何呢？以一维de Broglie平面波波函数为例，它是 动量算符的本征函数，对应本征值为p.写出它的本征方程 pet(p-E)pet(p-E) 可以看出，一维情况下的动量算符表达式可以取作 B=春品 (1.26) 在、多如此表示下，它们之间的对易子为 [x,]=·p一多·x =ih 显然，三维空间的另两维y、之自由度也有类似计算.从而，就三维空间来说， P={,y,2},p=-ih可 由此，非相对论的动能算符、势能算符等均可以用这两个算符的函数去构造.通常 称这种做法为正则量子化（参见后面第九章p.236注②）.这些算符为 非相对论动能算符 势能算符 )=() 角动量算符 L=xp=-ikrxV (1.27) 粒子密度算符 p=6(F-r) 粒子流密度算符 9=2凯i-力品+品8-] 系统总能量算符E=i话品，Hamilton量算符A=个+) ①由于(r)并非是子的本征函数，无法对它写出本征方程.但若把(r一)作为某种实 际的、十分局域于。点的粒子波函数的理想化表示，则可对它写出坐标算符？的本征方程为 8(r-ro)=ro8(r-ro)
S1.4理论体系的公设 ·21· 在球坐标中，角动量算符的各个分量分别为 L.=0.-第，=-话员一易)=话(in呼最+ouco呼品) L,=-i请(o9品一co0sin9 (1.28) 乙=-话号 相应的动能算符则为 =一层}票+品 (1.29) 关于粒子密度算符和粒子流密度算符的说明以及其余注意事项参见第二章. 第二，一个算符A为线性的，是指对任意复常数1、c2,总有 A(c1h+c2攻)=c1A4+c2 同时，它的Hermite共轭算符记为A+.算符A+由它在所有态中的全体标积来定 义：对任意两个态？和中，A+的标积（下面等式左边）由已有定义的右边的量来 决定 (A+p,p)=(p,A） (1.30) 这里，任意两个态的标积（Φ，平）若用它们波函数的积分来表示就是 (Φ，)=重*(r)(r)du 符号*表示取复数共轭.于是对(1.30)式取复数共轭之后，将它用波函数积分表示 即为 J"(r)A+p(r)dv=[p"(r)Aur)dv7"=p(r)(Am(r)).dv 第三，如果A+=A,就称算符A为自共轭算符，或Hermite算符①.这时应有 J(r)Ap(r)dv=[g"(r)Aur)do]' 当然，上面表述中的P和中均属于某一类函数（参见后面叙述）， 可以证明，Hermite算符的本征值均为实数，而且对应不同本征值的本征函数 相互间是正交的.因为，设h(r)和么(r)分别是Hermite算符A的对应本征值为 ①为免除数学混乱，这里应当指明：物理上的Hermite算符(A+=A)是数学中的自伴算 符(self-adjoint operator),而不是数学中的Hermite算符（又名对称算符 symmetric perator),后者是可以有A+≠A的.自伴算符必为对称算符，反之不一定.一个算符是否为自伴 的，除它本身性质以外，还与它的定义域有关系.详见J.M Domingos,etal,Foundations of Physics,vol 14,No.2,147 (1984)
·22· 第一章量子力学的物理基础 a1和a2的本征函数，即有本征方程 A (r)=a (r),Age (r)=azye(r) 对这两个方程分别左乘以吃()和少(r)并积分，得 (r)Ah (r)du=a (r (r)do (r)A (r)dv=az (r)(r)dv 另一方面，由A的Hermite性质可得 (r)A (rdu=(rAve(r)dv 将上面两个等式代人此式，得 (a1-a2)吃(r)4(r)dv=0 如果取(r)为4(r),由于I4(r）)2du≠0，得a1=a,即A的本征值都是实 数；如果a1≠a2,这导致 吃(r)4(r)dw=0 (1.31) 说明分属于不同本征值的中()和么(r)是互为正交的.接着，将这些4归一化，便 可得到正交归一的函数族.一般说来，一个Hermite算子的本征函数族并不一定是 完备的.这里完备性是指：使用该函数族可以对任一物理波函数（不是任意数学函 数)作展开.本征函数族完备的Hermite算符所对应的力学量称为可观测的力 学量. 第四，关于动量算符的Hermite性问题由第二点，将算符五.=一i话是为 Hermite的条件写为如下积分等式： ∫（←器）女=（←）山 这里p(x)(x)是两个任意波函数.注意此式右边在分部积分之后等于 h坐-wF餐( 这就是说，仅当分部积分项为零，p.的Hermite性才能被保证.就束缚态而言，当x →士∞时，(x)和p(x)均趋于零，书.的Hermite性不会出现问题.至于有限区间 [a,b]情况，多.的Hermite性只在满足周期边界条件的函数族中才被保证，这时分
§1.4理论体系的公设 ·23· 部积分出来的两项之和仍为零① 3.第三公设—测量公设（期望值公设） “一个微观粒子系统处于波函数(x)的状态，若对它测量可观测力学量A的 数值，则所得A的期望值为 (r)Ao(r)d A,= (1.32) (r)(r)dv 如()是归一的，则为 A.=4(r)Ao(r)du" 除第一公设之外，这是又一个直接将力学量的理论计算与实验观测联系起来 的公设.它和波函数公设共同构成了量子力学关于实验观测的理论基础.这里指出 几点： 第一，这里期望值是指对大量相同的态()（它们组成所谓量子系综）作多次 观测的平均结果.以后应当注意区分两种情况：量子系综进行多次测量的平均结 果，以及对单个量子态的单次测量结果。 第二，如果()不是算符A的本征函数，由于下面所说的“测量必导致本征 坍缩”的缘故，可观察力学量（含义见后）的测量期望值必须按下面(1.33)式展开并 作权重平均计算.即这时 (r)=c(r) 这里，展开系数cn一般为复数，，(r)是A的本征值为入，的本征函数， A4n(r)=入m中n(r) 将展式代入(1.32)式，注意函数族{4.}正交归一，得到公设在实测时的表示 ∫（∑c(r)a(∑c.(r)d∑1cn12x。 A= (1.33) (∑ci(r)(∑c.(r)du ∑1c.2 即期望值A,是实数本征值入m的加权平均，加权系数正比于展开式相应系数的模 ①如前面注解中所说，一个算符的Hermite性也与它的定义域有关.为避免不确定性，本 书规定动量算符方=一i是的定义域为（一∞，十∞）.这与Hiber空间态矢的标积区间、概率 归一范围、Schr心dinger方程定义域等相一致，尽管粒子的运动可以是局域的