§1.2基本观念 ·9 可用这组关系求得它左边的量所相应的微粒子特性.经过l8年之久，de Broglie克 服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对m=0的情况推广到 ≠0的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性①， =，k=骨 (1:10) 就是说，若已知等式右边的粒子参数E和p,便可由这组关系式求得该粒子所具有 的波动特性.上面两组关系式的中间桥梁便是Planck常量，形象地写出便是 (E,p)4(w,k) 公式(1.10)就是常说的de Broglie关系.其中关于波长的第二个公式已为上节第 二组实验所证实，而关于频率的第一个公式则被原子光谱实验所证实 这组de Broglie关系，结合静止质量为零的光子公式(1.9)，又统称为 “Einstein-de Broglie关系”.这组关系是物质世界的普遍规律.其中将两种图像联 系起来的Planck常量数值很小，是波粒二象性可以显现出来的标度.假如在所 研究问题中能够认为0，波和粒子便截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。 比如，由宏观粒子的(E,p),利用(1.10)第二式便得到λ→0，与此粒子相联系的波 动性便可以忽略.于是可以说，经典力学是量子力学当→0时的极限情况.当然， 这里→0是相对而言，并非真要（本来是常数的）变小，而是要求研究对象的动 量卫足够大（从而波长入足够短），以及运动涉及的空间尺度1足够大，使得 h《l 简单些说，可以按Planck常量在所研究的问题里能否忽略，决定波粒二象性是 否表现出来，进而决定经典与量子的界线.于是，经典力学只不过是其研究对象的 能量、动量以及运动的空间尺度如此之大，使得的作用可忽略的渐近情况下的 力学 综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，都普遍存在波粒二象性， 这两种截然不同的属性通过Planck常量连接成为de Broglie关系，统一在所有微 观物质上.对初学者而言，波粒二象性是理解微观物质普遍属性的基本图像，也是 初学者理解量子力学的基本图像. 然而，这种波粒二象性的基本图像，使初学者常常感到迷惑和不习惯.原因在 于他们所接触的全部宏观物理现象中，都是可以忽略的，不存在这种二象性：波 就是纯粹的波，粒子就是地道的粒子.于是，初学者常常会问：电子一会儿像波，一 会儿又像粒子，那它到底是什么？为了回答这种问题，可以打个比方：某个人，早晨 D Louis De Broglie,Waves and Quanta,Nature,Vol.112,540(1923)
·10· 第一章量子力学的物理基础 遇到某事时笑了，表现出一副笑面孔；但同一天中午碰到另一件事时他哭了，表现 出另一副截然不同的哭面孔.就这样他表现出了两副截然不同的面孔.人们能不能 据此发问：他到底是怎样的面孔？显然不应当这样发问，因为这些都是这个人的面 孔.人们只应当问：他在什么情况下会表现出笑面孔，而在什么情况下会表现出哭 面孔.将这种论述“平移”到电子的波粒二象性问题上来，可以回答说：波性和粒子 性都是电子所具有的属性，当它表现出两种属性的时候，人们不应当追问它“到底 属于”什么属性，只应当追问：它在什么样实验条件下表现出类似于经典波的性质， 在什么样实验条件下表现出类似于经典粒子的性质.电子既不是经典的波（波包）， 也不是经典的粒子（弹丸）.只能说它有时像经典波，有时又像经典粒子.“像什么” 这种提法的前提就是“不等同”.归根到底，电子就是电子本身！电子波粒二象性这 种多少有些古怪的图像，是由于我们使用了经典类比的方法，用宏观世界经典物理 学的语言描述微观世界客体运动时，必然得到的一种并非贴切的图像，这仿佛人们 使用母语词汇去理解外语词汇的情况.鉴于人们总是习惯用已有知识和经验去理 解和描述新的东西，因此保留波粒二象性的图像还是有助于初学者的理解和形象 思维.只是要注意，不要过分执着和拘泥.正如Young双缝实验所启示的，这里根 本性的东西是概率幅，是有关概率幅计算的理论，而不是借助经典语言所得出的波 粒二象性图像。 2.de Broglie波的初步分析 对常用的非相对论电子、非相对论中子、光子，它们的de Broglie波波长和它 们能量的关系式为 1。=12.26 √E 1n=0.286 (1.11) √E xy=1241×10 这里E(对m≠0的粒子，E为其动能)的单位为eV,A的单位为A. 对宏观物体，如上所述，其波动性可以忽略.如1g小球其速度u=1m/s,它的 de Broglie波的波长为 h λ= =6.6×10-31m mu 显然，这个长度，和小球本身尺度以及小球作宏观机械运动的空间尺度相比，完全 可以忽略.从而，在研究小球作任何宏观机械运动时，与这个波长相联系的波动性 质（也就是与小球运动相关的量子效应）完全可以忽略。 这里再说一下de Broglie波的群速度和相速度问题.对m=0和m≠0两种情
$1.2基本观念 ·11· 况，虽然de Broglie关系相同，但它们的相速度还是有差别的， m≠0：相速度Va=心=号=号-24 (1.12) m=0:相速度V相=g=c 这里，对m≠0情况，考虑到现在是非相对论的，并且对于静止粒子应当有V相=0， 所以E采用（而不是m心2）代入.(1.12)式表明，对m=0的粒子（如光子），相速 度是c.而对m≠0的粒子，相速度不等于粒子的运动速度“.但可以证明，粒子de Broglie波波包的群速度等于粒子的运动速度 (1.13) 依据群速度的这个结果，以前曾有人主张微观粒子本质上是de Broglie波的某种 波包.但进一步考察表明，这会导致不能接受的结果而被否定（比如，电子的d Broglie波包会弥散而电子却是稳定的粒子.详见S3.3), 3.基本特征：概率幅描述、量子化现象、不确定性关系 由微观粒子具有波粒二象性这一基本图像，可以派生出三个重要观念：描述方 式的概率特征、物理量常常离散取值的量子化现象、不确定性关系式，它们共同构 成量子力学的基本特征， 首先，由微观粒子的波粒二象性，可以导致量子力学的一个重要特征：在描述 粒子运动中的概率观念，即概率幅或de Broglie波的概念. 再拿电子的Youg双缝实验为例.假定电子源强度十分弱、实验时间很长，以 致可以认为每次实验都是单个电子在行进，彼此之间相互独立.如果认定某个电 子，当它穿过缝屏后到底在接收屏上哪一个位置处被观测到，是无法用实验预先准 确确定的，也无法（至少在目前）从理论上以Laplace决定论的方式准确预计.当这 个电子穿过缝屏时，它的动量与穿缝之前相比究竟有多少改变，实验上也无法事先 准确确定，并且理论上也无法事先准确计算.单个电子在穿过狭缝时的状态突变、 在接收屏上被测到时的状态突变都是一种深邃的、事先无法预计的、不可逆转的变 化.只有大量同一类型的突变所表现出的统计规律才是可以事先了解和准确预计 的.实验以明确的方式表达了单次实验结果的不确定性.这种不确定性正体现了电 子既是波又是粒子、既不是波又不是粒子的奇特秉性. 这种情况迫使人们别无选择，只能采用相应的不确定性的描述方式，即采用概 率幅、概率的观念.于是，以电子Youg双缝实验为例（为书写简明，考虑一维情 况)，在接收屏上x处观测到电子（表现出粒子的面貌）的概率P(x)是该处de
·12· 第一章量子力学的物理基础 Broglie波波场振幅的模方，而该处的振幅又是由（作为波源的）两条缝传播过来的 波幅的叠加，所以 P(x)=|h(x)+h(x)|2=P(x)+P2(x)+2R[h(x)h(x)] 由此可以看到，用de Broglie波这种具有相干叠加性的、“不确定性”突变的、概率 解释的描述方法，不仅能以统一的方式描述电子的波粒两种属性，而且和带有“不 确定性”的双缝干涉实验事实相匹配. 众所周知，与一束匀速运动的粒子流相联系的应当是一个平面波.其形式是 ei(k.r-w) 将de Broglie关系代入其中，便得到和这束粒子流相联系的de Broglie平面波 (x,t)=et(pr-Et) (1.14) 这时，如果定义|(r,)2为在r处单位体积内找到这束匀速运动粒子的数目，则 这种数目分布是空间均匀的.更一般地，研究下面de Broglie波波包， (r,t)=(p)et(pr-E)dp (1.15a) 这里p和E满足如下关系 器 取t=O,于是de Broglie波波包成为 (r)=(p)ete"dp (1.15b) 这里(r)是粒子在r处的de Broglie波波幅，即概率幅.我们将正规点处（见下）的 |(r)2理解为在r处附近单位体积内找到粒子的概率，或说成是粒子取坐标r的 概率密度.而|(p)川则理解成是粒子取动量p的概率密度. 显然，用这样的方式去理解所引入的de Broglie波，是惟一能够统一描述微观 粒子波粒二象性的方法：(）本身是波幅，可以叠加并产生干涉，体现微观粒子的 波动性；一旦（以|(r)2概率）在r处被观察到，却又是个完整的粒子形象.但是， 我们把这两种不同秉性用如此方式统一描述的时候，付出了沉重的代价：放弃了经 典物理学中惯用的Laplace决定论，描述中引人了不确定性，引入了概率观念.显 然，为了做到统一的、兼顾两种属性的描述，这种代价是必须付出的.总之，描述方 式上的这种不确定性和微观粒子波粒二象性性质是相匹配的，和实验中表现出的 不确定性是相吻合的， 对于量子力学中的不确定性，即实验测量中突变的不确定性和波函数概率描 述中的不确定性，存在两种观点：第一种观点，这些不确定性的存在说明我们对微 观世界事物了解得不完全.实验测量中的不确定性固然说明了实验方法上的局限
§1.2基本观念 ·13· 和近似，描述方法中的不确定性更说明了理论的不完备，说明存在未知的“隐变 数”，它们尚未被量子力学纳入理论框架中去.第二种观点，实验中突变的不确定 性，并非我们实验方法、实验仪器不完善造成的，而是微观客体固有的，它不能依靠 改进实验方法提高实验精度来消除.正由于存在这种客观的固有的不确定性，现 有的包含与之相吻合的不确定性的理论描述是完备的，并非理论描述方式的先天 不足.就是说，与经典力学迥然不同，量子力学的概率观念并不说明描述方式的不 完备，而是客观现象本就如此.所谓的未知“隐变数”是不存在的，量子力学的描述 方式是完备的.长期以来，两种观念争论不休.到目前为止，实验事实虽然都支持量 子力学，但却仍然未能否定隐变数的存在.但鉴于目前量子理论存在重大的困难， 因此Dirac说：“它是到现在为止人们能够给出的最好的理论，然而不应当认为它 能永远地存在下去.我认为很可能在将来某个时间，我们会得到一个改进了的量子 力学，使其回到决定论，从而证明Einstein观，点是正确的.但是这种重新返回到决 定论，只有以放弃某些基本思想为代价才能办到，而这些基本思想我们现在认为是 没有问题的.如果我们要重新引人决定论的观点，我们就应当以某种方式付出代 价，这种方式是什么，现在还无法推测.”① 其次，看看微观粒子的波动性质怎样导致微观粒子能量和状态的间断离散或 量子化现象. 注意，即使在经典物理学领域，也存在一个重要的、普遍的、众所周知的事实 那就是，任何类型的波动，当它们在无限空间中展布或传播时，波参数可以取连续 变化的数值；但是，一旦用某种方式将这些波局限在有限空间，波场所取的波参数 必将离散化，它们的频率和波长均要断续化、离散化.从Fourier频谱分析的观点 来说，任意局域的波均是一个Fourier级数，而不是一个Fourier积分.或者说，任 何波动方程其局域解的问题总都是一个本征值和本征函数的问题②， 转到微观粒子情况.局域de Broglie波的波动性同样会造成频率和波长的断 续性.而且还进一步，频率和波长的这种断续性又通过de Broglie波独有的特性转 化为该粒子的能量和动量的断续性.因此可以说，任何局域化的de Broglie波必将 伴随其能量的量子化.这正是粒子具有de Broglie波波动性的结果，是局域de Broglie波自相干涉（由边界反射）形成的.这正与经典物理学中从一维琴弦振动、 二维鼓膜振动到三维微波腔中电磁波驻波等现象相对应， 最后，看看微观粒子波动性质是怎样导致Heisenberg不确定性原理 按照前面所说(x)和()的物理解释，可以定义一个微观粒子坐标x和动 量（相对于任一选定值x、)的测量均方根偏差 ①P.A.M.Dirac,物理学的方向，科学出版社，198l. ②就物理学中常见的一些波动方程来说，本征值是离散的或是部分离散的