·4 第一章量子力学的物理基础 在此稍后一点的时间(1923年)，发现了Compton效应，更进一步证实了光量 子的存在.在这个效应里，散射光的能量角分布完全 hv 遵从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定 律.如图1-1所示，设初始电子是静止的，于是有 (moc2+hy mc2+hy 图1-1 =g十p c C 将矢量方程右边g项移到左边，平方之后利用第一个方程以及p2=mc- mc4,就得到 hy= hv (1.5) 1+hv (1-cos0) moc 引人记号=h=0.0242A,称为电子的Compton波长.上式改写为 moc '-入=%(1-c0s8) (1.6 这个公式已为实验所证实.可是这里推导中使用了光的粒子性以及散射光频率会 改变（减小）等概念，这些都是经典物理学所无法理解的（比如说，经典观念就认为， 电子在受迫振动下所发射的次波—散射光，其频率应和人射光的频率相同). 总之，这一组实验揭示了：作为波动场的光其实也具有粒子性质的一面. 2.第二组实验一粒子的波动性实验 电子Youg双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验以及中子在晶体上的衍射 实验表明：原先认为是粒子的这些微观客体，其实也具有波动的性质，有时也呈现 出只有波才具有的干涉、衍射现象，从实验上揭示了微粒的波动性质， l961年Jonssen用电子束做出了单缝、双缝衍射实验①.由于电子的波长短， 在这种实验中缝宽和缝距都要十分狭小，加之低能电子又容易被缝屏物质散射衰 减，实验是很难做的.Jδnssen在铜膜上刻了五条缝宽为0.3um、缝长50μm、缝距 1m的狭缝，分别用单、双、三、四、五条缝做了衍射实验.实验中电子的加速电压 为50keV,接收屏距离缝屏35cm.下面对双缝实验作些概念性分析（如图1-2）②. D C.Jonssen,Z.Physik,161,454(1961). ②电子Youg双缝实验是最富于量子力学味道也是最奇特的实验之一.直到现在仍不断 出现这个实验的各种翻版；关于它的严格计算可见费曼，《量子力学与路径积分》 一个唯象计算 可见张永德，大学物理，第11卷，第9期，1992.详见附录四
§1.1实验基础 ·5 (b) 图1-2 实验事实是，这时在接收屏x处探测到电子的概率P(x)并不简单地等于两 缝各自单独开启时的概率P1(x)、P2(x)之和，而是存在两缝相互影响的干涉项 P(x)=P(x)十P2(x)十干涉项 这一干涉项可正可负，随x迅速变化，从而使P(x)呈现明暗相间的干涉条纹.如 果通过缝屏的是光波、声波，出现这种干涉项是很自然的.因为在x处的总波幅 (x)是由孔1、孔2同时传播过来的波幅功(x)、(x)之和 (x)=h(x)+(x) 而P(x)=|h(x)2、P2(x)=|(x)2,并且 P(x)=|(x)|2=|(x)+h(x)|2 (1.7) =P1(x)+P2(x)+2Re(i(x)(x) 传到x点处两个波幅的叠加，造成了这种干涉现象.但问题现在是电子.从经典粒 子的观念来理解，这个干涉项的存在令人十分困惑.每当人们在实验中探测到电子 的时候，它们总是有一定的能量、一定的电荷、一个静止质量，特别是有一个局域的 位置.正是这些物理特征给人们以电子是“粒子”的印象.拿这些观念和实验事实去 理解电子Young双缝实验中的干涉现象，觉得怎么都协调不起来.如果电子是以 粒子的“身份”通过狭缝的话，不论通过的是哪条缝，总之是只能穿过其中的一条 这时另一条缝的存在与否对这个电子的穿过行为并不产生影响.就是说，如果把电 子理解为经典概念中的“粒子”，两条缝的作用就应当是相互独立、互不干扰的，干 涉项并不存在.结果是两个单缝衍射强度的叠加.并且，更不可以说电子是以“经 典粒子”的身份同时从两条缝通过（比如说，半个电子从缝1，另半个则从缝2穿过 去).这种图像显然和人们从未测到过部分电子这个事实相违背.因为，既然一个电 子能剖开并部分地穿过一条缝，总应该能测到它的这个“部分”（比如，将探测器装 在一条缝上).至此，事情的复杂性还没完.因为，可以设想如下实验（判断路径
·6· 第一章量子力学的物理基础 (which way)实验的一种)①：在一条缝后放置一个照明光源，若光源足够强，可以 假定光子和电子的散射效率接近百分之百，于是穿过该缝出来的电子必定同时伴 随有散射光子.探测有无散射光产生，原则上就可以判断该电子是从哪条缝过来 的.结果很意外：每个电子都只穿过一条缝，从未观察到某个电子从两条缝同时穿 过的情况，正如同从未观察到半个电子一样.也许人们认为：“一束电子集体构成 个波束，这个波束同时穿过双缝，形成干涉花样.”这实际上是主张：电子的波动性 只是(！？)电子集体的相干性行为，不承认单个电子有内禀的波动性质。这种主张 难以解释下面事实：可以令双缝实验的电子束强度如此的低，以致每次最多只有一 个电子留在实验装置内.由于电子源热发射的随机性质，一个一个依次穿过双缝 装置的各个电子的行为显然彼此无关.但实验结果是，只要实验时间足够长，累计 接受屏上电子密度分布的结果，干涉花样依然不变.总之，对这个实验的解释似乎 陷入了两难的处境 那么，电子到底是怎样穿过缝屏上这两条缝的呢？ 总结上面分析，若认为电子是经典的“粒子”，就不能同时穿过两条缝，便不会 产生干涉项；若认为电子具有内禀的波动性，像某种经典“波”，就能同时穿过两条 缝，产生干涉项.至此，可以明确地说，每个电子都是以“独特”方式“同时”穿过两条 缝的.这是基于实验事实分析所能得到的、无可回避的、惟一的、逻辑自洽的说法 这里所说的“独特”方式是因为，这种方式既根本不同于经典粒子通过方式，也不完 全相同于经典波的通过方式.和经典波的方式“不完全相同”在于：每个电子都可 以在其传播途径上任一点（包括缝前、缝中、缝后、接收屏等各处）以一定的概率被 探测到，而且一旦被探测到，它总是以一个完整的粒子形象（一定质量、一定电荷、 一个相当局域的空间位置)出现，特别是，从来没有实验在两个缝上同时发现同一 个电子.这就是与经典波本质不同之处.正是基于这种理由，有人批评说这种“同 时”说法从实验观点看缺乏实践意义.其实这恰好说明：以波的行为穿过双缝的电 子，同时还具有粒子性的一面.这里强调指出，情况之所以如此诡异，正是由于测量 严重干扰了电子原来的状态，使它发生了不可逆转的状态突变，表现出“波形象到 粒子形象”的突变.就是说，正是对电子位置的测量，造就了电子的经典粒子的面 貌！事实是，在位置测量之前，电子并不一定()以粒子的形象早就客观地存在 着②！所有判断路径的实验都只表明：每次测量（对电子状态干扰）的结果确实表 明电子以粒子的方式只从一条缝通过；但并不能表明：作这类测量（对电子状态干 D R.P.Feynman,A.R.Hibbs,Quantum Mechanics and Path Integrals,McGraw-Hill Book Company,1965. ②从后面测量理论知道，对状态(x)进行某个力学量的测量，实质是将以x)按该力学量 的本征态进行展开，测得力学量的数值总只是本征值中的一个，它出现的概率是该展式相应项 系数的模方.而该次测量完毕时，(x)即突变（塌缩）为该本征态
§1.1实验基础 。7· 扰)之前，电子在客观上就是以经典粒子的方式只从一条缝通过！这里人们不应当 按宏观世界得到的习惯观念，将实验所得结果及图像错误地外推，用到做这些实验 之前！正是这一类测量使本来是从两条缝“同时”穿过的电子状态发生突变，变为 仅从一条缝穿过的状态.它们恰怡只表明，对电子位置的测量干扰并改变了电子的 状态，成为造就电子是粒子这一事实的根本原因， 总之，在电子Youg双缝实验中，电子穿过双缝时表现出它具有波的性质，而 在位置测量中被抓住时，又表现出粒子的图像.这一切只能说明，作为微观客体的 电子，它既具有经典粒子的性质，又具有经典波的性质.它显示什么样的图像依赖 于人们如何观测一不同的实验将造成不同的干扰，产生不同的状态塌缩，同时也 就给出不同的图像.事实上电子既不是经典的粒子，也不是经典的波.如果借用不 恰当的经典语言来作经典类比，可以简单地说，电子具有波粒二象性(duality或 dualism,这个问题后面还将进一步阐述).这就是这个实验传出的最重要的信息. 或者，更确切地说，这个实验表明，最重要的量是概率幅山(x):到达x点有两条可 能的路径，相应于两个概率幅h(x)、(x),在x点找到电子的概率正是这两个概 率幅之和的模平方.事实上，量子力学的所有干涉都来自（由所有路径提供的全体） 相因子的等权叠加 20世纪20年代做成了几个出色 的电子衍射实验.其中，1927年 Davisson和Germer采用镍单晶做的 电子衍射实验，显示了电子的波动 性①.这个实验可以示意如下：截取单 晶的一个面作为表面，该表面形成2维 平面点阵，画出其中的一维图像如图 1-3所示.对垂直入射的一束电子，在 和垂直方向夹角为日的方向所测到的 图1-3 电子，按点阵衍射理论，一定沿多光束 干涉极大的方向.比如，对第一级极大，应有（镍晶格d=2.15A) dsin0=λ 比如，对100eV能量的人射电子，其de Broglie波长A=1.23A,就在由上式决定的 日方向探测到反射电子的峰值.这就能证明电子具有波的性质。 后来，又用NaCl晶体做了中子衍射实验.到1969年，曾用中性钾原子束做了 单缝衍射实验②，证明了量子理论的正确性.实验中所用的缝宽为23×106m. C.Davisson,L.H.Germer,Nature,Vol.119,558-560(1927). 2 John A.Leavitt,et al.Am.J.Phys.,37,905(1969)
·8· 第一章量子力学的物理基础 1975年成功的实现了中子干涉实验①，并继而建立了高精密的中子干涉量度学. 20世纪90年代，更出现了原子光学②，这时的光栅已是电磁波的驻波.在此期间， 又提出了多粒子的干涉现象③.直至近来证实碳-60也有波动性的实验④. 除上面两组关于波粒二象性的基础实验之外，l9ll年Rutherford根据a粒子 被金属箔散射的实验提出了原子的有核模型，特别是1913年Bohr建立了原子的 初等量子理论，它们对量子力学的诞生起了直接的推动作用.Boh理论要点有三， 第一是定态概念，第二是定态之间的跃迁概念，第三是角动量量子化概念.后者表 现为量子化条件.这里，定态概念主张原子的有核模型只对某些离散的能量Em(m =1,2,…)才是稳定的，这是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在而不辐射的问 题.因为经典电动力学主张，带电粒子只要有加速度就会产生辐射而损失自己的能 量，于是这种有核模型中电子的稳定转动是不可能的.至于定态之间跃迁的概念是 为了解决原子光谱中的Ritz组合定则 Cmn =(En-E)/ (1.8) 就是说，原子发光是由于原子从能量较高的定态向能量较低的定态的跃迁.最后， 原子核外电子所具有的角动量量子化条件 J=mh 进一步揭示了核外电子呈离散定态存在的事实，丰富了量子化的内容.而Bohr利 用经典轨道概念将量子化条件表达为动量对坐标的回路积分的形式则是一种不成 功的尝试，已被后来诞生的量子力学所否定.除此之外，Bohr理论的定态及定态之 间跃迁概念均被后来量子力学所吸纳并加以发展， §1.2基本观念 l.基本图像：de Broglie关系与波粒二象性 l905年Einstein通过提出下列关系引人光量子的概念 E=hv=ho,p=Ee=he=hk (1.9) (=会©为动量方向单位矢量).在原先认为光是电磁波的图像上添加了粒子的 图像，这已由上节第一组实验所证实.于是，若知道等式右边的波动参数ω和k,便 H.Rauch,et al.,Phys.Lett.A,54,425(1975) 2 A.Zeilinger,et al,Nature,388,827(1997)