米 对数函数 @Lnz =In z+iArgz =lnz|+i(argz+2k)k=0,±1，+2，… 注意 ①对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两 个函数值之间相差2πi,不是周期函数 ② 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为 o=Lnz的一个单值分支；特别地称=0对应的 分支为对数函数的主值分支，记为 =Inz =In +iargz 3 负数也有对数，如 In(-1)=In-1+iarg(-1)=in
对 数 函 数 的 主 值 与 主 值 = = + Ln ln | | i Arg z z z = + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2, 对数函数 注意： ① 对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两 个函数值之间相差 2kπi; ② 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为 = Ln z 的一个单值分支；特别地称k=0对应的 分支为对数函数的主值分支，记为 = ln z = + ln | | iarg z z ③ 负数也有对数，如 ln( 1) ln | 1| iarg(-1) − = − + = iπ 不是周期函数
米 例2求下列各式的值。 (1)In(ie) (2)Ln(1+V3i） (1)In(ie)=In|iel+iarg(ie)=1+i 2 (2)Ln(1+)=niarg(1+3)+2kx) =ln2+i(3+2k) 例3解下列方程 k=0,±1，±2，… ()ln2=- (2)lnz=1+iπ 2 解n:=-受得：=e月 =-i (2)由lnz=1+iπ得z=e+im=-e
例2 求下列各式的值。 ln ie ( ) Ln 1 3 ( + i) 解 (1) ln ie ln | ie | iarg(ie) ( ) = + (1) (2) π 1 i 2 = + (2) Ln 1 3i ln |1 3i|+i arg(1 3i)+2k ( + = + + ) ( π) π ln 2 i( 2kπ) 3 = + + 例3 解下列方程 π (1) ln i ; 2 z = − (2) ln 1 i z = + π 解 (1) π ln i 2 由 z = − ,得 π i 2 z e − = = −i (2) 由ln 1 i z = + π得 1 iπ z + = e = −e k = 0, 1, 2
米 对数函数的性质 ① 当z=Rez=x>0时，lnlz=lnx,argz=0,这时对 数函数的主值lnz就是原实变数对数函数lnx。 2 Lnz=lnz+2kπi,k=0,±1，+2 注意，这些等式 Ln(2)=Lnz+Lnz 右端必须取适当 Ln 21 =Lnz-Lnz2 的分支才能等于 22 左端某一分支。 若仅对某一分支 结论是不一定成 立的。 例如 5πi i 7πi 6 r（uI干
对数函数的性质 ① ② ③ 当 z z x = = Re 0 时， ln ln ,arg 0, z x z = = 这时对 数函数的主值 ln z 就是原实变数对数函数 ln x。 Ln ln 2 z z k k = + = πi, 0, 1, 2, Ln Ln Ln (z z z z 1 2 1 2 ) = + 1 1 2 2 Ln Ln Ln z z z z = − 注意，这些等式 右端必须取适当 的分支才能等于 左端某一分支。 若仅对某一分支 结论是不一定成 立的。 例如 5πi 6 − = 7πi 6 = 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) e 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) ln( ) + e