D01:10.13374/i.issn1001t63x.2011.03.019 第33卷第3期 北京科技大学学报 Vol 33 No 3 2011年3月 Journal of Un iversity of Science and Technology Beijing Mar.2011 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见 控制 石千松 廖福成 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，Email feliac@ustb edu cn 摘要研究了输入多采样率型离散时间控制系统的预见控制器设计问题·首先利用提升技术从形式上消除多采样率特点 和状态时滞，把问题转化为一个普通的单采样率无时滞系统的控制器设计问题.由于状态时滞的存在，提升过程中会引入输 入量的历史值·把这些历史值和状态时滞项一起放入扩大系统的状态向量中，因此提升过程不会引入误差。针对提升后的系 统，利用最优预见控制的标准处理方法，通过构造扩大误差系统，把问题转化为调节问题，最后给出带有预见补偿的最优控制 器.再经过变换，得到原系统的预见控制器·同时对预见控制器的存在条件进行了讨论·数值仿真表明，本文所设计的预见控 制器是有效的· 关键词预见控制：采样系统：提升技术：可稳定性：可检测性 分类号TP273 Design of an optim al preview controller for linear discrete-time multirate sys- tem s w ith state delay SHIQ ian-song LIAO FuTcheng School ofMathemnatics and Physics University of Science and Technology Beijing Beijing 100083 China Corresponding author Email feliade ust edu cn ABSTRACT Designing a preview controller for discrete-tie multirate nput systems was considered At first by making use of the lifting technique to elin nate the multirate characteristic and the state tiedelay of the sampled system.the probkm was converted into a controller design problem for a single-rate no-delay sampled system.Because of the existence of state tiedelay the historical values of input data woul be introduced during the lifting process However the historical vales and the state delay were put into the state vector of the expanding system so that no error was introduced during the lifting process For the lifted system.the problm was changed into an adjust problm via the standand method of dealing the optinal preview control and by constructing an expanded-ermor system.and finally an optinal controller w ith preview compensation was derived subsequently Through transfomation a preview con- troller was then obtained for the original system.The existence condition of the preview contmoler was discussed Numerical smulations proved the effectiveness of the preview controller designed in the paper KEY W ORDS preview control sampled system:lifting technique stabilizability:detectability 随着现代微电子技术和计算机技术的飞速发 复杂算法，从而得到非常好的控制效果， 展，用数字计算机代替自动控制系统中的常规控制 在计算机控制系统中，如果系统是多输入多输 设备，对被控对象进行调节和控制的计算机控制系 出的，而输入通道和输出通道的采样器和保持器又 统，日益显示出其巨大的优越性，计算机控制系统 具有不同的采样周期，系统就是多采样率系统，其 充分利用计算机精度高、速度快、存储量大和具备逻 实不同的输入通道采样周期也可以不同，不同的输 辑判断能力等优点，可以实现以前难以想像的高级 出通道采样周期也可以不同，这样的多采样率系统 收稿日期：2010-04-06 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。1067101):北京科技大学治金研究基金资助项目(N。2009-002)
第 33卷 第 3期 2011年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．3 Ｍａｒ．2011 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见 控制 石千松 廖福成 北京科技大学数理学院北京 100083 通信作者Ｅ-ｍａｉｌ：ｆｃｌｉａｏ＠ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ 摘 要 研究了输入多采样率型离散时间控制系统的预见控制器设计问题．首先利用提升技术从形式上消除多采样率特点 和状态时滞把问题转化为一个普通的单采样率无时滞系统的控制器设计问题．由于状态时滞的存在提升过程中会引入输 入量的历史值．把这些历史值和状态时滞项一起放入扩大系统的状态向量中因此提升过程不会引入误差．针对提升后的系 统利用最优预见控制的标准处理方法通过构造扩大误差系统把问题转化为调节问题最后给出带有预见补偿的最优控制 器．再经过变换得到原系统的预见控制器．同时对预见控制器的存在条件进行了讨论．数值仿真表明本文所设计的预见控 制器是有效的． 关键词 预见控制；采样系统；提升技术；可稳定性；可检测性 分类号 ＴＰ273 Ｄｅｓｉｇｎｏｆａｎｏｐｔｉｍａｌｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｆｏｒｌｉｎｅａｒｄｉｓｃｒｅｔｅ-ｔｉｍｅｍｕｌｔｉｒａｔｅｓｙｓ- ｔｅｍｓｗｉｔｈｓｔａｔｅ-ｄｅｌａｙ ＳＨＩＱｉａｎ-ｓｏｎｇＬＩＡＯＦｕ-ｃｈｅｎｇ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ-ｍａｉｌ：ｆｃｌｉａｏ＠ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｄｅｓｉｇｎｉｎｇａｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｆｏｒｄｉｓｃｒｅｔｅ-ｔｉｍｅｍｕｌｔｉｒａｔｅｉｎｐｕｔｓｙｓｔｅｍｓｗａｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ａｔｆｉｒｓｔｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅ ｌｉｆｔｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｔｏｅｌｉｍｉｎａｔｅｔｈｅｍｕｌｔｉｒａｔｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃａｎｄｔｈｅｓｔａｔｅｔｉｍｅ-ｄｅｌａｙｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｗａｓｃｏｎｖｅｒｔｅｄｉｎｔｏ ａｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｄｅｓｉｇｎｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒａｓｉｎｇｌｅ-ｒａｔｅｎｏ-ｄｅｌａｙｓａｍｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｔａｔｅｔｉｍｅ-ｄｅｌａｙｔｈｅｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｖａｌｕｅｓ ｏｆｉｎｐｕｔｄａｔａｗｏｕｌｄｂｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｄｕｒｉｎｇｔｈｅｌｉｆｔｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒｔｈｅｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｖａｌｕｅｓａｎｄｔｈｅｓｔａｔｅｄｅｌａｙｗｅｒｅｐｕｔｉｎｔｏｔｈｅｓｔａｔｅ ｖｅｃｔｏｒｏｆｔｈｅｅｘｐａｎｄｉｎｇｓｙｓｔｅｍ ｓｏｔｈａｔｎｏｅｒｒｏｒｗａｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｄｕｒｉｎｇｔｈｅｌｉｆｔｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．Ｆｏｒｔｈｅｌｉｆｔｅｄｓｙｓｔｅｍｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ ｗａｓ ｃｈａｎｇｅｄｉｎｔｏａｎａｄｊｕｓｔｐｒｏｂｌｅｍｖｉａｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄｍｅｔｈｏｄｏｆｄｅａｌｉｎｇｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌａｎｄｂｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｎｅｘｐａｎｄｅｄ-ｅｒｒｏｒ ｓｙｓｔｅｍａｎｄｆｉｎａｌｌｙａｎｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｗｉｔｈｐｒｅｖｉｅｗｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎｗａｓｄｅｒｉｖｅｄｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔｌｙ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎ- ｔｒｏｌｌｅｒｗａｓｔｈｅｎｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｐｒｏｖｅｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｄｅｓｉｇｎｅｄｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｐｒｅｖｉｅｗｃｏｎｔｒｏｌ；ｓａｍｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍ；ｌｉｆｔｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｓｔａｂｉｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ；ｄｅｔｅｃｔａｂｉｌｉｔｙ 收稿日期：2010--04--06 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （Ｎｏ．10671011）；北京科技大学冶金研究基金资助项目 （Ｎｏ．2009--002） 随着现代微电子技术和计算机技术的飞速发 展用数字计算机代替自动控制系统中的常规控制 设备对被控对象进行调节和控制的计算机控制系 统日益显示出其巨大的优越性．计算机控制系统 充分利用计算机精度高、速度快、存储量大和具备逻 辑判断能力等优点可以实现以前难以想像的高级 复杂算法从而得到非常好的控制效果． 在计算机控制系统中如果系统是多输入多输 出的而输入通道和输出通道的采样器和保持器又 具有不同的采样周期系统就是多采样率系统．其 实不同的输入通道采样周期也可以不同不同的输 出通道采样周期也可以不同这样的多采样率系统 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．03．019
,364 北京科技大学学报 第33卷 就更复杂了，由于在大型工业控制中，被控对象往 x(iN) x((i+1)V) 往很庞大很复杂，不同子系统的信号变化速率相差 M(iN ((+hV) 很大，要求系统各处都采用相同的采样周期是不实 际的，这就使得人们必须采用多采样率控制系统， (N+1) ai+1)N-1) +I)N) 另外，多采样率数字控制系统能实现许多单采样率 数字控制系统所不具备的控制目标，如改善系统的 =i+1V) 增益裕量，同时稳定、强镇定和分散控制等山. 另外，在有些控制系统中，某些未来信息往往 图1输入多采样率系统 是事先知道的，怎样利用这些已知的未来确定信 Fig I Multirate input sampled systom 息来改善控制效果，正是预见控制所研究的主要 问题2-01 假设2设目标信号R(k)有N步可预见，即 在每个时刻k信号R(k十1)，R(k十2)，R(k十 文献[11-13]提出了多采样率数字控制系统的 N)为已知，而且有 预见控制问题，并进行了有益的探讨，其中文 R(k十)=R(k十N),FN十1N十2…， 献[11]考虑的系统没有状态时滞，文献[12]仅针对 式中，N=NS这里S为非负整数， 状态时滞为两个采样周期的特殊情形进行了研究， 此假设是预见控制理论的标准假设.假设前一 文献[13]虽然在状态时滞方面放宽了条件，但为了 半的意义是：在当前时刻，目标信号有N步可预 推导可行又在其他方面要求了比较苛刻的条件，并 见：后一半采用了预见控制中常用的手法，认为N 且把输入项的历史值作为系统的扰动来处理，由于 步之后的目标信号为常数， 输入项的历史值也是随时间变化的，所以并不能利 将目标信号与系统输出之间的差值定义为系统 用鲁棒控制的方法给出闭环系统渐近稳定的条件， 的误差： 因此结果是比较保守的.本文推广文献[12-13]的 e(k)=R(k)一y(k) 结果，研究一般多采样率数字控制系统的预见控制 本文的目的是设计出一个带有预见作用的控制 问题 器，使得系统的输出y(k)能够跟踪目标值信号 1问题的表述及假设 R(k),即使 e(k)=m(R(k)-y(k)=0 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 在以往的研究中，对状态时滞的处理一般是首 x(k十1)=Ax(k)十A1x(k一N)十Bu(k) (1) 先将其放入状态量中，然后再结合预见控制的一般 y(k)=Cx(k)十Du(k) 理论对系统进行研究，对于多采样率控制系统，则 式中，x(k)∈R"是状态向量，y(k)∈R”是输出向 一般是利用提升技术处理系统的多采样率问题，但 量，u(k)∈R"是输入向量，A、A1、B、C和D是具有 是，当在多采样率控制系统中引入状态时滞时，单纯 相应维数的实常数矩阵，整数N表示系统状态在状 的先处理状态时滞或首先进行提升，都无法使问题 态通道中的时滞.第2个方程为输出方程， 得到很好的解决，本文将把对状态时滞的处理和对 下面是本文的两个假设 系统的提升结合起来，在提升过程中消去状态时滞 假设1x(k)和y(k)仅在k=N（=01,2 项，这样便能很好地解决多采样率控制系统中的状 …)时能被测量， 态时滞问题。 此假设表明系统是一个输入多采样率控制系 统四.此时状态向量x(k)和输出向量y(k)海隔N 2预见控制器的设计 个采样间隔才能测量一次·在这N个采样间隔时间 首先利用提升技术把输入多采样率预见控制问 里，输入向量u(k)改变了N次，也就是说u(N)是 题转化为单采样率的预见控制问题，在此过程中，状 每个采样间隔改变一次的，如图1，由k=N到k= 态时滞项将会被处理，然后在提升后系统的基础 ((十1)N)共经历N个采样间隔，但只对状态向量 上，将导出一个扩大误差系统，再通过扩大误差系 和输出向量测量两次，即x(N)x((十1)N)和 统进行预见控制器设计， y(N)、y((+1)N),而在此期间内输入向量则改变 21多采样率系统的离散提升 了N次，即u(N),u(N十1)，，u((i+1)N) 根据假设1，系统是一个输入多采样率系统，因
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 就更复杂了．由于在大型工业控制中被控对象往 往很庞大很复杂不同子系统的信号变化速率相差 很大要求系统各处都采用相同的采样周期是不实 际的这就使得人们必须采用多采样率控制系统． 另外多采样率数字控制系统能实现许多单采样率 数字控制系统所不具备的控制目标如改善系统的 增益裕量同时稳定、强镇定和分散控制等 ［1］． 另外在有些控制系统中某些未来信息往往 是事先知道的怎样利用这些已知的未来确定信 息来改善控制效果正是预见控制所研究的主要 问题 ［2--10］． 文献 ［11--13］提出了多采样率数字控制系统的 预见 控 制 问 题并 进 行 了 有 益 的 探 讨．其 中 文 献 ［11］考虑的系统没有状态时滞文献 ［12］仅针对 状态时滞为两个采样周期的特殊情形进行了研究 文献 ［13］虽然在状态时滞方面放宽了条件但为了 推导可行又在其他方面要求了比较苛刻的条件并 且把输入项的历史值作为系统的扰动来处理．由于 输入项的历史值也是随时间变化的所以并不能利 用鲁棒控制的方法给出闭环系统渐近稳定的条件 因此结果是比较保守的．本文推广文献 ［12--13］的 结果研究一般多采样率数字控制系统的预见控制 问题． 1 问题的表述及假设 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 ｘ（ｋ＋1）＝Ａｘ（ｋ）＋Ａ1ｘ（ｋ－Ｎ）＋Ｂｕ（ｋ） ｙ（ｋ）＝Ｃｘ（ｋ）＋Ｄｕ（ｋ） （1） 式中ｘ（ｋ）∈Ｒ ｎ 是状态向量ｙ（ｋ）∈Ｒ ｐ 是输出向 量ｕ（ｋ）∈Ｒ ｍ 是输入向量Ａ、Ａ1、Ｂ、Ｃ和 Ｄ是具有 相应维数的实常数矩阵整数 Ｎ表示系统状态在状 态通道中的时滞．第 2个方程为输出方程． 下面是本文的两个假设． 假设 1 ｘ（ｋ）和 ｙ（ｋ）仅在 ｋ＝ｉＮ （ｉ＝012 … ）时能被测量． 此假设表明系统是一个输入多采样率控制系 统 ［1］．此时状态向量 ｘ（ｋ）和输出向量 ｙ（ｋ）每隔 Ｎ 个采样间隔才能测量一次．在这 Ｎ个采样间隔时间 里输入向量 ｕ（ｋ）改变了 Ｎ次也就是说 ｕ（ｉＮ）是 每个采样间隔改变一次的如图 1由 ｋ＝ｉＮ到 ｋ＝ （（ｉ＋1）Ｎ）共经历 Ｎ个采样间隔但只对状态向量 和输出向量测量两次即 ｘ（ｉＮ）、ｘ（（ｉ＋1）Ｎ）和 ｙ（ｉＮ）、ｙ（（ｉ＋1）Ｎ）而在此期间内输入向量则改变 了 Ｎ次即 ｕ（ｉＮ）ｕ（ｉＮ＋1）…ｕ（（ｉ＋1）Ｎ）． 图 1 输入多采样率系统 Ｆｉｇ．1 Ｍｕｌｔｉｒａｔｅｉｎｐｕｔｓａｍｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍ 假设 2 设目标信号 Ｒ（ｋ）有 ＮＬ 步可预见即 在每个时刻 ｋ信号 Ｒ（ｋ＋1）Ｒ（ｋ＋2）…Ｒ（ｋ＋ ＮＬ）为已知而且有 Ｒ（ｋ＋ｊ）＝Ｒ（ｋ＋ＮＬ）ｊ＝ＮＬ＋1ＮＬ＋2… 式中ＮＬ＝ＮＳ这里 Ｓ为非负整数． 此假设是预见控制理论的标准假设．假设前一 半的意义是：在当前时刻目标信号有 ＮＬ 步可预 见；后一半采用了预见控制中常用的手法认为 ＮＬ 步之后的目标信号为常数． 将目标信号与系统输出之间的差值定义为系统 的误差： ｅ（ｋ）＝Ｒ（ｋ）－ｙ（ｋ）． 本文的目的是设计出一个带有预见作用的控制 器使得系统的输出 ｙ（ｋ）能够跟踪目标值信号 Ｒ（ｋ）即使 ｌｉｍｋ→∞ ｅ（ｋ）＝ｌｉｍｋ→∞ （Ｒ（ｋ）－ｙ（ｋ））＝0． 在以往的研究中对状态时滞的处理一般是首 先将其放入状态量中然后再结合预见控制的一般 理论对系统进行研究．对于多采样率控制系统则 一般是利用提升技术处理系统的多采样率问题．但 是当在多采样率控制系统中引入状态时滞时单纯 的先处理状态时滞或首先进行提升都无法使问题 得到很好的解决．本文将把对状态时滞的处理和对 系统的提升结合起来在提升过程中消去状态时滞 项这样便能很好地解决多采样率控制系统中的状 态时滞问题． 2 预见控制器的设计 首先利用提升技术把输入多采样率预见控制问 题转化为单采样率的预见控制问题在此过程中状 态时滞项将会被处理．然后在提升后系统的基础 上将导出一个扩大误差系统．再通过扩大误差系 统进行预见控制器设计． 2．1 多采样率系统的离散提升 根据假设 1系统是一个输入多采样率系统因 ·364·
第3期 石千松等：具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 ,365. 此需要利用提升技术来处理，由提升技术的原理， 再将k=+2代入系统(1)的第1式，并利用 需要找到一个提升算子，将不能检测到的信息映射 己推出的结果经过整理得 到一个组合量中去，以使在控制器的设计过程中不 x(N+3)= 丢失任何的信息，下面是对原系统(1)的提升过程 [A A2AI+AAA+AIA2 AiA+AAA+AAi A] 将k=N代入系统(1)的第1式得 x(N) x(N+1)=Ax(N)+Aix((i1)N)+Bu(N). x(i-1)N) 将k=N+1代入系统(1)的第1式，并利用上 x((i-2)N) +[B AB AB]. 式得 Lx((i-3)N) x(N+2)=A[Ax(N)+A1x((i-1)N)+ u(N+2) Bu(N)]+AI [Ax((i-1)N)+ u(N+1 +[AB(AA+AA)B]· Ax((i-2)N)+Bu((i-1)N)]+Bu(N+1)= u(N)」 x(N) u((i-1)N+1) [A2 AA+AA Ai]x((i-1)N)+ u(i-1)N)」 +AiBu((i-2)N) L x((i-2)N 同样，将k=N十3代入系统(1)的第1式，并 u(N+1 [B AB +Ai Bu((i-1)N). 利用已推出的结果得 u(N) x(iN+4)= [A'AAI+AAIA+AAA+AIA AAIA+AAIAA+AAi+AIAA+AIAAIA+AIA AAi+AiA+AIAAI+AIAAi Ai] x(N) u(N+3 x((i-1)N x((i-2)N) u(N+2) +[B AB ABAB +[A B (AA+AA)B (AA+AAA+AA)B]. x((i-3)N u(N+1) Lx((i-4)N) u(N) u((i-1)N+2 u((i-1)N+1) +[AB(A+AAA十AM)B u(-2)N+1) u((i-2)N)」 +AjBu((i-3)N). u((i-1)N)J 继续推导，注意到在此过程中产生了输入项“ E=[EiE;+1…EN-1]jF1,2…,N-1 的历史值的组合，为了推导过程简单，先将其看作扰 其中E;m是关于数量z的多项式(A十A1z)"B中 动，得到 的系数(m=j十1…，N-1)矩阵W(i)为 x(N) u(i厂)N+N-j广1) x((i-1)N) u((i-j)N+N-j-2) x((i计1)N)=A + W;(i)= M x((-N)N) u((iN) u(N+N-17 =1,2…,N-1 u(N+N-2) 如果取新变量 EWj(i) (2) x(N) M u(N) X(i)= x(i-1)N) 式中： A=[A0A…A] Lx((iN)N) u(N+N-1 A是关于数量的多项式(A十Az)中（一01， …,N)的系数，它是矩阵；矩阵B为 U() u(N+N-2) B=[BAB·A-B]: u(N) 矩阵E为 并注意到A=[AA…A]则式(2)河写为
第 3期 石千松等： 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 此需要利用提升技术来处理．由提升技术的原理 需要找到一个提升算子将不能检测到的信息映射 到一个组合量中去以使在控制器的设计过程中不 丢失任何的信息．下面是对原系统 （1）的提升过程． 将 ｋ＝ｉＮ代入系统 （1）的第 1式得 ｘ（ｉＮ＋1）＝Ａｘ（ｉＮ）＋Ａ1ｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋Ｂｕ（ｉＮ）． 将 ｋ＝ｉＮ＋1代入系统 （1）的第 1式并利用上 式得 ｘ（ｉＮ＋2）＝Ａ［Ａｘ（ｉＮ）＋Ａ1ｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋ Ｂｕ（ｉＮ） ］ ＋Ａ1 ［Ａｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋ Ａ1ｘ（（ｉ－2）Ｎ）＋Ｂｕ（（ｉ－1）Ｎ） ］ ＋Ｂｕ（ｉＮ＋1）＝ ［Ａ 2 ＡＡ1＋Ａ1Ａ Ａ 2 1 ］ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ＋ ［Ｂ ＡＢ］ ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋Ａ1Ｂｕ（（ｉ－1）Ｎ）． 再将 ｋ＝ｉＮ＋2代入系统 （1）的第 1式并利用 已推出的结果经过整理得 ｘ（ｉＮ＋3）＝ ［Ａ 3 Ａ 2Ａ1＋ＡＡ1Ａ＋Ａ1Ａ 2 Ａ 2 1Ａ＋Ａ1ＡＡ1＋ＡＡ 2 1 Ａ 3 1 ］· ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ｘ（（ｉ－3）Ｎ） ＋［Ｂ ＡＢ Ａ 2Ｂ］· ｕ（ｉＮ＋2） ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋［Ａ1Ｂ （Ａ1Ａ＋ＡＡ1）Ｂ］· ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ＋Ａ 2 1Ｂｕ（（ｉ－2）Ｎ）． 同样将 ｋ＝ｉＮ＋3代入系统 （1）的第 1式并 利用已推出的结果得 ｘ（ｉＮ＋4）＝ ［Ａ 4 Ａ 3Ａ1＋Ａ 2Ａ1Ａ＋ＡＡ1Ａ 2＋Ａ1Ａ 3 ＡＡ 2 1Ａ＋ＡＡ1ＡＡ1＋Ａ 2Ａ 2 1＋Ａ1Ａ 2Ａ1＋Ａ1ＡＡ1Ａ＋Ａ 2 1Ａ 2 ＡＡ 3 1＋Ａ 3 1Ａ＋Ａ 2 1ＡＡ1＋Ａ1ＡＡ 2 1 Ａ 4 1］· ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ｘ（（ｉ－3）Ｎ） ｘ（（ｉ－4）Ｎ） ＋［Ｂ ＡＢ Ａ 2Ｂ Ａ 3Ｂ］ ｕ（ｉＮ＋3） ｕ（ｉＮ＋2） ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋［Ａ1Ｂ （Ａ1Ａ＋ＡＡ1）Ｂ （Ａ1Ａ 2＋ＡＡ1Ａ＋Ａ 2Ａ1）Ｂ］· ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋2） ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ＋［Ａ 2 1Ｂ （Ａ 2 1Ａ＋Ａ1ＡＡ1＋ＡＡ 2 1）Ｂ］ ｕ（（ｉ－2）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－2）Ｎ） ＋Ａ 3 1Ｂｕ（（ｉ－3）Ｎ）． 继续推导注意到在此过程中产生了输入项 ｕ 的历史值的组合为了推导过程简单先将其看作扰 动得到 ｘ（（ｉ＋1）Ｎ）＝Ａ ～ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） Ｍ ｘ（（ｉ－Ｎ）Ｎ） ＋ Ｂ ～ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2） Ｍ ｕ（ｉＮ） ＋∑ Ｎ－1 ｊ＝1 ＥｊＷｊ（ｉ） （2） 式中： Ａ ～ ＝［Ａ ～ 0 Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ ］ Ａ ～ ｊ是关于数量 ｚ的多项式 （Ａ＋Ａ1ｚ） Ｎ 中 ｚ ｊ （ｊ＝01 …Ｎ）的系数它是矩阵；矩阵Ｂ ～为 Ｂ ～ ＝［Ｂ ＡＢ … Ａ Ｎ－1Ｂ］； 矩阵 Ｅｊ为 Ｅｊ＝［Ｅｊｊ Ｅｊｊ＋1 … ＥｊＮ－1 ］ｊ＝12…Ｎ－1 其中 Ｅｊｍ是关于数量 ｚ的多项式 （Ａ＋Ａ1ｚ） ｍＢ中 ｚ ｊ 的系数 （ｍ＝ｊｊ＋1…Ｎ－1）；矩阵 Ｗｊ（ｉ）为 Ｗｊ（ｉ）＝ ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－1） ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－2） ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ） ｊ＝12…Ｎ－1． 如果取新变量 Ｘ0（ｉ）＝ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－Ｎ）Ｎ） Ｕ（ｉ）＝ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2） ｕ（ｉＮ） 并注意到Ａ ～ ＝［Ａ ～ 0 Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ ］则式 （2）可写为 ·365·
,366, 北京科技大学学报 第33卷 X(i计1)= 0 0… u(i-(-1)N+N-) X()+gU(0+e空 u(i-(广1)N+N-广1) EWj(i) (3) 其中， 0,, u(i-(j广1)N) A0A1… A- MWr1(i),=23…,N-1, 0 0 0 M;(广12…，N-1)是分块为N-行和N-j十1 A0= 0 0 0 列的分块矩阵，并且M,的第1列的元素总是零矩 阵，剩余的列构成一个单位矩阵， 0 0 0 因此可将式(3)等价变换为 1 X(+1)=AX()十BU() (4) 0 B0= ,E= 0 式中， EE EEN-2 EEN- 0 0 0 0 0 在上面过程中本文把输入项“的历史值当成 A 0 M2 0 扰动，但这样得到的控制器将不能保证闭环系统稳 定，因为无法保证扰动在任何时候范数都足够小 0 0 Ms-1 0 因此需进一步地处理，将其放到状态向量中去， 构造新的状态向量如下： Bo 0 I 0 0 Xo i) M 0 0 : X()1 u((i-1)N+N-2) B M, 0 W1(i) u((i-1)N+N-3) 0 0 X() Wz(i) u((i-1)N) 这样就把系统(3)化成了形式上没有扰动项的系 统(4) Ww-1(i以 u((i-N+1)N) 在讨论观测方程时，同样可类似地处理比 注意有 u((i一1)N)早的输入项的历史数据，得到 u(N+N-2) y(N)=Cx(N)十Du(N), u(N+N-3) y(N+1)=CAx(N)+CAIx((i-1)N)+ W1(计1)= CBu(N)+Du(N+1), u(N) y(N+2)= 0 0 ② u(N+N-1] [CA C(AAI+AAIA+AIA)C(AIA+AIAA+AA)CA] 0 0 0 u(N+N-2) x(N) u(N+N-3) =MiU(i), x(i-1)N) +[CB CAB CAB]· 0 0 0 x(i-2)N) u(N) Lx((i-3)N) u(计1一)N+N一1) u(N+2 W,(i计1) u((计1一)N+N一j广2 u(N+1) +[CAI B C(AA+AA)B]. Lu(N) u((i+1-)N) u((i-1)N+1) u(i-(j广1)N+N-j广1) +CAiBu((i-2)N)+ u((i-1)N)J u(i-(1))N+N-j2) Du(N+3) 以此类推，得 u(i-(1)N) Y(i)=CX(i)+DU(i) (5) 式中
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 Ｘ0（ｉ＋1）＝ Ａ＾0Ｘ0（ｉ）＋Ｂ＾0Ｕ（ｉ）＋Ｅ＾∑ Ｎ－1 ｊ＝1 ＥｊＷｊ（ｉ） （3） 其中 Ａ＾0＝ Ａ ～ 0 Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 Ａ ～ Ｎ Ｉ 0 … 0 0 0 Ｉ … 0 0 ⋱ 0 0 … Ｉ 0 Ｂ＾0＝ Ｂ ～ 0 0 Ｅ＾＝ Ｉ 0 0 ． 在上面过程中本文把输入项 ｕ的历史值当成 扰动但这样得到的控制器将不能保证闭环系统稳 定因为无法保证扰动在任何时候范数都足够小． 因此需进一步地处理将其放到状态向量中去． 构造新的状态向量如下： Ｘ（ｉ）＝ Ｘ0（ｉ） Ｗ1（ｉ） Ｗ2（ｉ） ＷＮ－1（ｉ） ＝ Ｘ0（ｉ） ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋Ｎ－2） ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋Ｎ－3） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ｕ（（ｉ－Ｎ＋1）Ｎ） 注意有 Ｗ1（ｉ＋1）＝ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－3） ｕ（ｉＮ） ＝ 0 Ｉ 0 … 0 0 0 Ｉ … 0 ⋱ 0 0 0 … Ｉ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－3） ｕ（ｉＮ） ＝Ｍ1Ｕ（ｉ） Ｗｊ（ｉ＋1）＝ ｕ（（ｉ＋1－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－1） ｕ（（ｉ＋1－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－2） ｕ（（ｉ＋1－ｊ）Ｎ） ＝ ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ＋Ｎ－ｊ－1） ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ＋Ｎ－ｊ－2） ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ） ＝ 0 Ｉ 0 … 0 0 0 Ｉ … 0 ⋱ 0 0 0 … Ｉ ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ＋Ｎ－ｊ） ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ＋Ｎ－ｊ－1） ｕ（（ｉ－（ｊ－1））Ｎ） ＝ ＭｊＷｊ－1（ｉ）ｊ＝23…Ｎ－1 Ｍｊ（ｊ＝12…Ｎ－1）是分块为 Ｎ－ｊ行和 Ｎ－ｊ＋1 列的分块矩阵并且 Ｍｊ的第 1列的元素总是零矩 阵剩余的列构成一个单位矩阵． 因此可将式 （3）等价变换为 Ｘ（ｉ＋1）＝Ａ＾Ｘ（ｉ）＋Ｂ＾Ｕ（ｉ） （4） 式中 Ａ＾＝ Ａ＾0 Ｅ＾Ｅ1 … Ｅ＾ＥＮ－2 Ｅ＾ＥＮ－1 0 0 … 0 0 0 Ｍ2 … 0 0 ⋱ 0 0 … ＭＮ－1 0 Ｂ＾＝ Ｂ＾0 Ｍ1 0 0 Ｍｊ＝ 0 Ｉ 0 … 0 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 0 … 0 Ｉ ． 这样就把系统 （3）化成了形式上没有扰动项的系 统 （4）． 在讨论 观 测 方 程 时同 样 可 类 似 地 处 理 比 ｕ（（ｉ－1）Ｎ）早的输入项的历史数据得到 ｙ（ｉＮ）＝Ｃｘ（ｉＮ）＋Ｄｕ（ｉＮ） ｙ（ｉＮ＋1）＝ＣＡｘ（ｉＮ）＋ＣＡ1ｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋ ＣＢｕ（ｉＮ）＋Ｄｕ（ｉＮ＋1） ｙ（ｉＮ＋2）＝ ［ＣＡ 3 Ｃ（Ａ 2Ａ1＋ＡＡ1Ａ＋Ａ1Ａ 2 ） Ｃ（Ａ 2 1Ａ＋Ａ1ＡＡ1＋ＡＡ 2 1） ＣＡ 3 1］· ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ｘ（（ｉ－3）Ｎ） ＋［ＣＢ ＣＡＢ ＣＡ 2Ｂ］· ｕ（ｉＮ＋2） ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋［ＣＡ1Ｂ Ｃ（Ａ1Ａ＋ＡＡ1）Ｂ］· ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ＋ＣＡ 2 1Ｂｕ（（ｉ－2）Ｎ）＋ Ｄｕ（ｉＮ＋3）． 以此类推得 Ｙ（ｉ）＝Ｃ＾Ｘ（ｉ）＋Ｄ＾Ｕ（ｉ） （5） 式中 ·366·
第3期 石千松等：具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 ,367. y(N) R(N) Y(i)= y(N+1) R(N+1) 记目标信号R()= 定义新的 L y(N+N-1) L R(N+N-1) c[Cxl Can Gz…( C], 系统误差为 Gx= E(i)=R(i)-Y() (7) 对式(6)两边取差分得 0 00. 0 CA CAL 0 0 0 0 △X(计1)=A△X()+BAU(i) (8) CA C(AA1十A1A)CA 0. 0 0 △Y()=C△X()+D△U() 对式(7)陬差分得 CAN-1 出 Cgc}…cA 0 △E()=AR()-AY()= [O 0 07 △R()-CX()-D△U(), 注意到△E()=E(汁1)一E(),上式写为 0 0 E(+1)=E()-C△X()-D△U(i)+△R() 0 0 CE (9) CEs CE; 综合式(8)的第1式和式(9)，有 X(+1)=ΦX()+G△U(i)十GR△R() LCE CEjN-3 CE;N-2 (10) 其中 广12…，N一1前十1行的元素为0. D D CB o- D CAB 对扩大误差系统(10)，定义评价函数为 LDCB…… CANB J一空[E'(0:E(0+aU'(0HaU(0]= 各元素说明如下： C,的第行的元素依次为关于数量的多项式 [R(00X()+a(0H△u(]山 「00 C(A十A12)中(j=01…,i-1)的系数矩阵， 式中.Q10Q0:为(nX(Np正定矩阵：H 该行最后的元素均为零矩阵 为(Nm)X(m)正定矩阵. Cw的前汁1行的元素均为零矩阵：第十2行 问题现在变为：设计使性能指标函数(11)取最 最后一列元素为CE。即CA{B,其余列上元素均为 小值的系统(10)的预见控制器，再给出系统(1)的 零矩阵；以后各行都是比上一行往前一列的元素为 带预见作用的控制器，假设2表明R()(从而 CE,其前面元素全为零矩阵，其后依次为CE;+直 △R()的预见步数为S 到CE,N-2,F12…,N-1 2.3导出控制器 E如前面所定义， 结合预见控制的理论，使式(11)取值最小的系 综合式(4)和式(5)，可以得到扩大系统 统(10)的最优输入的差分有以下形式： X(i1)=AX(i)+BU(i) (6) 4u()=PX(司+2F.(DAR(计)(12) Y(i)=CX(i)+DU(i) 系统(6)已经是形式上无时滞的单采样率系统，状 其中 态向量和输出向量在每个都能检测到， F=-[H+GPG]GPΦ 22导出扩大误差系统 FR ()=-[H+GTPG]GT()PGR. 上一节已经获得了形式上无时滞的单采样率的 5-Φ十GF 系统，本节将在此基础上，推导出扩大误差系统， =012…,S (13)
第 3期 石千松等： 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 Ｙ（ｉ）＝ ｙ（ｉＮ） ｙ（ｉＮ＋1） ｙ（ｉＮ＋Ｎ－1） Ｃ＾＝ Ｃ＾Ｘ Ｃ＾Ｗ1 Ｃ＾Ｗ2 … Ｃ＾ＷＮ－1 Ｃ＾Ｘ ＝ Ｃ 0 0 0 … 0 0 ＣＡ ＣＡ1 0 0 … 0 0 ＣＡ 2 Ｃ（ＡＡ1＋Ａ1Ａ） ＣＡ 2 1 0 … 0 0 ＣＡ Ｎ－1 Ｃ＾（1） Ｎ2 Ｃ＾（1） Ｎ3 Ｃ＾（1） Ｎ4 … ＣＡ Ｎ－1 1 0 Ｃ＾Ｗｊ＝ 0 … 0 0 ⋱ 0 … 0 0 0 … 0 ＣＥｊｊ 0 … ＣＥｊｊ ＣＥｊｊ＋1 ⋰ ＣＥｊｊ … ＣＥｊＮ－3 ＣＥｊＮ－2 ｊ＝12…Ｎ－1．前 ｊ＋1行的元素为 0． Ｄ＾＝ Ｄ Ｄ ＣＢ ⋰ ⋰ ＣＡＢ ⋰ ⋰ Ｄ ＣＢ … … ＣＡ Ｎ－1Ｂ ． 各元素说明如下： Ｃ＾Ｘ 的第 ｉ行的元素依次为关于数量 ｚ的多项式 Ｃ（Ａ＋Ａ1ｚ） ｉ－1中 ｚ ｊ （ｊ＝01…ｉ－1）的系数矩阵 该行最后的元素均为零矩阵． Ｃ＾Ｗｊ的前 ｊ＋1行的元素均为零矩阵；第 ｊ＋2行 最后一列元素为 ＣＥｊｊ即 ＣＡ ｊ 1Ｂ其余列上元素均为 零矩阵；以后各行都是比上一行往前一列的元素为 ＣＥｊｊ其前面元素全为零矩阵其后依次为 ＣＥｊｊ＋1直 到 ＣＥｊＮ－2ｊ＝12…Ｎ－1． Ｅｊｍ如前面所定义． 综合式 （4）和式 （5）可以得到扩大系统 Ｘ（ｉ＋1）＝Ａ＾Ｘ（ｉ）＋Ｂ＾Ｕ（ｉ） Ｙ（ｉ）＝Ｃ＾Ｘ（ｉ）＋Ｄ＾Ｕ（ｉ） （6） 系统 （6）已经是形式上无时滞的单采样率系统状 态向量和输出向量在每个 ｉ都能检测到． 2．2 导出扩大误差系统 上一节已经获得了形式上无时滞的单采样率的 系统本节将在此基础上推导出扩大误差系统． 记目标信号Ｒ ～ （ｉ）＝ Ｒ（ｉＮ） Ｒ（ｉＮ＋1） Ｒ（ｉＮ＋Ｎ－1） 定义新的 系统误差为 Ｅ（ｉ）＝Ｒ ～ （ｉ）－Ｙ（ｉ） （7） 对式 （6）两边取差分得 ΔＸ（ｉ＋1）＝Ａ＾ΔＸ（ｉ）＋Ｂ＾ΔＵ（ｉ） ΔＹ（ｉ）＝Ｃ＾ΔＸ（ｉ）＋Ｄ＾ΔＵ（ｉ） （8） 对式 （7）取差分得 ΔＥ（ｉ）＝ΔＲ ～ （ｉ）－ΔＹ（ｉ）＝ ΔＲ ～ （ｉ）－Ｃ＾ΔＸ（ｉ）－Ｄ＾ΔＵ（ｉ） 注意到 ΔＥ（ｉ）＝Ｅ（ｉ＋1）－Ｅ（ｉ）上式写为 Ｅ（ｉ＋1）＝Ｅ（ｉ）－Ｃ＾ΔＸ（ｉ）－Ｄ＾ΔＵ（ｉ）＋ΔＲ ～ （ｉ） （9） 综合式 （8）的第 1式和式 （9）有 Ｘ ～ （ｉ＋1）＝ΦＸ ～ （ｉ）＋ＧΔＵ（ｉ）＋ＧＲΔＲ ～ （ｉ） （10） 其中 Φ＝ Ａ＾ 0 －Ｃ＾ Ｉ Ｇ＝ Ｂ＾ －Ｄ＾ ＧＲ ＝ 0 Ｉ ． 对扩大误差系统 （10）定义评价函数为 Ｊ＝∑ ∞ ｉ＝0 ［Ｅ Ｔ （ｉ）ＱＥＥ（ｉ）＋ΔＵ Ｔ （ｉ）ＨΔＵ（ｉ） ］ ＝ ∑ ∞ ｉ＝0 ［Ｘ ～Ｔ （ｉ）ＱＸ ～ （ｉ）＋ΔＵ Ｔ （ｉ）ＨΔＵ（ｉ） ］ （11） 式中Ｑ＝ 0 0 0 ＱＥ ＱＥ 为 （Ｎｐ）×（Ｎｐ）正定矩阵；Ｈ 为 （Ｎｍ）×（Ｎｍ）正定矩阵． 问题现在变为：设计使性能指标函数 （11）取最 小值的系统 （10）的预见控制器再给出系统 （1）的 带预见作用的控制器．假设 2表明Ｒ ～ （ｉ） （从而 ΔＲ ～ （ｉ））的预见步数为 Ｓ． 2．3 导出控制器 结合预见控制的理论使式 （11）取值最小的系 统 （10）的最优输入的差分有以下形式： ΔＵ（ｉ）＝ＦＸ ～ （ｉ）＋∑ Ｓ ｊ＝0 ＦＲ （ｊ）ΔＲ ～ （ｉ＋ｊ） （12） 其中 Ｆ＝－［Ｈ＋Ｇ ＴＰＧ］ －1Ｇ ＴＰΦ ＦＲ （ｊ）＝－［Ｈ＋Ｇ ＴＰＧ］ －1Ｇ Ｔ （ξ Ｔ ） ｊＰＧＲ ξ＝Φ＋ＧＦ ｊ＝012…Ｓ （13） ·367·