第六章小波分析的基本原理及其应用 4.交叉项的性质 由于连续小波变换是线性变换,满足叠加性,因此不存在 交叉项,但是由它引申出的能量分布函数WT(a,)却有以下 交叉项的表现: 设x(1)=x()+x2(1),则有 I WT(a,t=WT(a,t+Wt(a, t)+2 WTla,t) WT( aT) cos X1 其中,和O,分别是WT(ar)和WT(n)辐角
第六章 小波分析的基本原理及其应用 4. 交叉项的性质 由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在 交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx (a,τ)|2却有以下 交叉项的表现： 设x(t)=x1 (t)+x2 (t)，则有 ( ) 2 1 2 1 2 1 | WT ( , )| cos | WT ( , )| | WT ( , )| | WT ( , )| 2 | WT ( , )| 2 2 2 x x x x x x x a a a a a − = + + 其中 x1 和 x2 分别是 WTx1 (a, ) 和 WTx2 (a, ) 的辐角
第六章小波分析的基本原理及其应用 5.小波变换的内积定理 以基小波少(1)分别对x()和x2()作小波变换。设x()的连续 小波变换是 WT(a2r)=<x(,ya2()>(6.2.10) x2()的连续小波变换是 WT(a,)=<x2(t),ya2()>(62.1) 其中 t-T aT
第六章 小波分析的基本原理及其应用 5. 小波变换的内积定理 以基小波ψ(t)分别对x1 (t)和x2 (t)作小波变换。设x1 (t)的连续 小波变换是 WT ( , ) = 1 ( ), ( ) 1 a x t t x a (6.2.10) x2 (t)的连续小波变换是 WT ( , ) = 2 ( ), ( ) 2 a x t t x a (6.2.11) 其中 − = a t a t a 1 ( )
第六章小波分析的基本原理及其应用 则有 K WTa,t), WT(a,t)>=Cu<x,(0),x2(t)> (6.2.12) 式中 d 该定理称之为小波变换的内积定理,也称为Moya1定理。 (62.12)式可以写为更加明确的形式,左边的内积是对a和 z的双重积分,有 d x,(),var(t)><x2(t),var (t)>dr=cux,(t)x2(t)dt (6.2.13)
第六章 小波分析的基本原理及其应用 则有 WT ( , ),WT ( , ) = 1 ( ), 2 ( ) 1 2 a a c x t x t x x 式中 Ω Ω Ω c d ( ) 2 0 = (6.2.12) 该定理称之为小波变换的内积定理，也称为Moyal定理。 (6.2.12)式可以写为更加明确的形式， 左边的内积是对a和 τ的双重积分，有 = x t t x t t c x t x t t a a ( ), a ( ) ( ), a ( ) d ( ) ( )d d * 1 2 1 2 0 2 (6.2.13)
第六章小波分析的基本原理及其应用 624小波变换的反演以及对基小波的要求 1.容许条件 d9<∞ 时才能够由函数的小波变换wI(a,z)反演出原函数x(1)。这时有 d ∫ WT(a, tya (tdt da ∫ t-T WT(a,r) aT (62.14
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.4 小波变换的反演以及对基小波的要求 1. 容许条件 当 = Ω Ω Ω c t d | ( )| ( ) 2 0 时才能够由函数的小波变换WTx (a, τ)反演出原函数x(t)。这时有 d 1 WT ( , ) 1 d WT ( , ) ( )d 1 d ( ) 2 0 2 0 − = = + − + − a t a a a a c a t a a c x t x x a (6.2.14)
第六章小波分析的基本原理及其应用 在上面的表达式中 V(2)2 d9<∞ 就是对φ()提出的容许性条件 从上面的容许性条件我们也可以看到:能够用来作为基 小波ψ(t)的函数,最起码要满足ψ(Ω=0)=0。这说明v() 必须具有带通性质,而且(υ必然是具有正负幅度交替的振 荡波形,这也是“小波”之名的由来
第六章 小波分析的基本原理及其应用 在上面的表达式中 = Ω Ω Ω c t d | ( )| ( ) 2 0 就是对ψ(t)提出的容许性条件。 从上面的容许性条件我们也可以看到：能够用来作为基 小波ψ(t)的函数，最起码要满足Ψ(Ω=0)=0。这说明Ψ(Ω) 必须具有带通性质，而且ψ(t)必然是具有正负幅度交替的振 荡波形，这也是“小波”之名的由来