绘制开环系统Nyquist曲线的研究

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2001.01.051 第23卷第1期 北京科技大学学报 Vol.23 No.1 2001年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2001 绘制开环系统Nyquist曲线的研究 王泽南 合肥工业大学生物与食品工程系，合肥230026 摘要从两个方面对如何更好地绘制开环系统曲线进行了研究：()对它的计算方式进行有 效的改进，推出实、虚频特性计算通式，它方便于手算，更方便于计算机编程运算；(2)针对快速 确定曲线有关形状给出了2个判据，即起始渐近线判据和实、虚频交点判据. 关键词开环系统；yquist曲线；频率特性；实、虚频特性；起始渐近线 分类号0231 文献[1~5]对开环系统Nyquist曲线（极坐标 如下： 图)的形状均进行了基本分析，这些分析要点构 Q6--o+p）(m 成概略地绘制曲线的原则和依据.根据这些要 另一类常见的开环系统含有振荡，2阶微分 点，绘图前的计算步骤如下： 环节，形式为： 传递函数→频率特性→实、虚频率特性→ G(s)=[K(T,S+1)(T S+1)..(TS+2TS+1)(T.S+ 判断曲线起、止点→判断起始渐近线→判断与 2T5S+1)…]/[S(T.S+1)(TS+1)…(TS2+2T5S+ 实、虚轴的交点. 1)(TS2+2T,S+1)](极点数>零点数)(2) 尽管这些计算步骤的目标都是明确的，每 由于振荡，2阶微分环节均为2阶环节，都 一步骤的计算方法也是正确的，但由于缺少系 可以化作2个1阶环节因子的乘积，故式(2)可 统的、通用的计算式，每一实际系统的计算都需 化为式(1)，这样式(1)包含式(2).后文只对式(1) 从基本步式做起，这样不仅计算量大，工作重复， 进行研究 而且系统越复杂，计算越繁琐，结果也越容易出 式(1)所对应的频率特性一般表达式为： 错.本文据此对绘制开环系统曲线计算进行深 人一步的研究. Go)(u(j.X1j1.o)(IjT. K1+i江@1+iTω小(1+i江.@) (v+p>m) (3) 1开环系统实、虚频特性计算通式 12实、虚频特性计算通式 在上述计算步骤中，频率特性一般表达式 将式(3)的频率特性一般表达式化为实、虚 化为实、虚频特性是关键的一步，它直接影响后 频特性计算通式，将进行以下3步运算与整理： 续的分析与计算，本文将给出开环系统实、虚频 第1步将分子与分母同乘分母全部因子的共轭 特性的计算通式. 复数，并对分母有理化；第2步将分子中的因子 11导出通式的系统类型 展开为通用的简化形式；第3步，将分子中的 本计算通式由最具代表性的一类开环系统 奇、偶次方项分别合并，组成两个部分的和，这 导出：极点数大于零点数；由比例、积分、惯性、 两个部分或为实部或为虚部由ν的奇、偶性确 一阶微分环节所组成.其传递函数的标准形式 定，具体如下： G(o）=二i'KL+辽w1+iw-1+i.o[(-i江w1-j江-1-i证w】 aw(1+Tω)(1+Tw)…(1+Tw) _（-ij'K1+(G)awt}aw+'aw++p-laag-1ωmp-1+*amω"] ω'(1+Tw1+Tw)(1+72o (-jr1-a2ω+a4ω-…） (-j'K(a10-aw3+asw5-…） -o0+701+Twy-1+1wjw1+7201+T8w）-1+7m (4) 收稿日期：2000-09-12王泽南男，53岁，副救授

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 招 、 。 绘制开环系统 曲线的研究 王泽南 合肥工业大学生物与食品工程系 ， 合肥 摘 要 从两个方面对如何更好地绘制开环 系统 曲线进行 了研究 对它 的计算方式进行有 效 的改进 ， 推出实 、 虚频特性计算通式 ， 它方便于 手算 ， 更方便于计算机编程运算 针对快速 确定 曲线有关形状给 出了 个判据 ，即起始渐近线判据 和 实 、 虚频交点判据 关键词 开环系统 曲线 频率特性 实 、 虚频特性 起始渐近线 分 类号 文献〔 一 对开环 系统 曲线 极坐标 图 的形状均进行 了基本分析 ， 这些 分析要点构 成概略地绘制 曲线 的原则 和 依据 根 据这些要 点 ， 绘 图前 的计算步骤如下 传递 函 数。 频率特性。 实 、 虚频率特性。 判 断 曲线起 、 止点。 判 断起始渐近 线。 判 断与 实 、 虚轴 的交点 尽管这些计算步骤 的 目标都是 明确 的 ， 每 一步骤 的计算方法也是正 确的 ， 但 由于缺少 系 统 的 、 通用 的计算式 ， 每一实际 系统 的计算都需 从基本步式做起 ， 这样不仅计算量大 ， 工作重复 ， 而且系统越复杂 ， 计算越繁琐 ， 结果也越容易 出 错 本文据此对绘制开环 系统 曲线计算进行深 人一 步 的研究 如下 二 ， 双 ， 二 另 一类 常见 的开环系统含有振荡 ， 阶微分 环节 ， 形式 为 卜〔 兀 兀 … 刀夕 兀睿乡卜 双夕十 兀 … 兀 … 欢 ， ，贸 刀 二 夕 十 兀贸十 二」 极点数 零点数 由于振荡 ， 阶微分环节均 为 阶环节 ， 都 可 以化作 个 阶环节 因子 的乘积 ， 故式 可 化为式 ， 这样式 包含式 后文只 对式 进行研究 式 所对应 的频率特性一般表达式为 啊 斋串黯潞 兴翁 开环 系统实 、 虚频特性计算通式 在上述计算步骤 中 ， 频率特性一般表达式 化为实 、 虚频特性是关键 的一步 ， 它 直接影 响后 续 的分析与计算 本 文将给 出开环系统实 、 虚频 特性 的计算通式 导 出通式的系统类型 本计算通式 由最具代表性 的一类 开环 系统 导 出 极点数大于零点数 由比例 、 积分 、 惯性 、 一 阶微分环节所组成 其传递 函数 的标准形 式 实 、 虚频特性计算通式 将式 的频率特性一般表达式化为实 、 虚 频特性计算通式 ， 将进行 以 下 步运算与整理 第 步将分子与分母 同乘分母全部 因子 的共扼 复数 ， 并对分母有理化 第 步将分子 中的 因子 展开为通用 的 简化形式 第 步 ， 将分子 卿的 奇 、 偶次方项分别合并 ， 组成两个部分 的和 ， 这 两个部分或为实部或为虚部 由 的奇 、 偶性确 定 具体如下 ， 刀口 此山 … 吸。 ， 一 勺 。 臼 ，伪。 ， 臼 ， 。 ， … 吻 一 ‘ 二 一 一 ， 用 、 耐 口田脚〕 。 ’ 刀。 ， 暇。 ， … 双。 ， 一 一角。 ， ’ 山‘ 。 对。 兀。 ， … 一之一升 及， ’ 薯爵箫黯歌专 仔 收稿 日期 刊 王泽南 男 ， 岁 ， 副教授 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2001．01．051

Vol.23 No.1 王泽南：绘制开环系统Nyquist线的研究 ·91· 式中： 须将其化为式(1)形式，才可使用实、虚频特性 计算通式. a1=T(T=-T,-T,…,-T,T,T,…T) a:=2TZ (T.T=-T,-T",-T.TT"Z) 2曲线的起始渐近线 文献[1~5]对开环系统Nyquist曲线形状的 a=宽IZT(①，T,I=-T,-T,,-T,I,I,…T) 分析中，都认为：由于v+p>m的原因，ω=0时曲 ap-7(=-7,-7,77） 线起始于无穷远处，且可能有渐近线.但迄今 对起始渐近线缺少更深人的讨论，缺少判据， 式(4)的最后结果即为实、虚频特性计算通 因此，判断渐近线往往是盲目的，计算可能是多 式.有了式(4)，计算实、虚频特性，就避免了逐 个地、反复地作复数因子的相乘与拆分运算.式 余的. 2.1起始渐近线判据 (4)中的a,a2,a,…,am+p计算是约简的、有序的、 本文在给出实、虚频特性计算通式的基础 便于计算和验算的，它尤其适宜于计算机编程 上，推出一个重要的起始渐近线判据. 进行运算. 起始渐近线判据开环系统的曲线唯有1 13更适用的实、虚频特性计算通式 型系统具有起始渐近线. 式(4)已将实、虚频拆成两部分，但它们会因 证明考察实、虚频特性的计算通式式(4). 为y的奇、偶取值不同而互换位置，这在实际使 开环系统Nyquist曲线若有渐近线，应发生 用中仍不够方便.为更具直观性与适用性，由式 (4)分解出以下2个并行的实、虚频特性计算通 在ω=0处，因此需要考察G(j0)的值. (1)当v=0(0型系统) 式.当v为偶数时： K(1-a202+a4o4-…） G(j@)=Re[G(j@)]+jIm[G(j@)]= G6j0）=ima+70+0-1+7w+ (-jK(1-a2w2+a4o-… 01+7o1+1a）-(1+7m+ K(a10-aù3+asw'-…） j1+7a1+7wy-1+7]=K+j0 i(j)K(ao-a@'+aso.) w(1+To1+Tw)…(1+Tw (5) 计算结果表明：O型系统Nyquist曲线起始 于正实轴的K(KO)点，因而没有渐近线. 当v为奇数时： (2)当v=1(1型系统) G(j@)=Re[Gja)]+jIm[G(jw)]= o品+ 因为1+p>m,有 K(a10-a3+aw3-…） (-j-lK(a1o-a@3+asω3-…） G()-im (( w(1+T0(1+Tw)…(1+Tw (6) K(1-a2ω2+a4ω-…） 式(5)和式(6)中：a,a,a,…,am+p的计算同式(4). jo(1+72m1+72w)-1+70= K(a1-a3@2+asw-…） 式(5)和式(6)与式(4)的不同之处在于，它们 lim+7200+720)-1+7g 的实部与虚部都已清楚地表示出来，式中的 K(1-a2ω2+a@4-…） (-j),(-j),(-j)是用以判别正、负号的. J@(1+T)(1+T).(1+T=Ka-jc 计算结果表明：1型系统Nyquist曲线有渐近 1,4两点说明 线.渐近线为平行负虚轴的直线，在第3或第4 (1)式(4)(6)中，分子括号内的末项均未表 象限. 出，由式(4)的第2和第3步看，实、虚两部分的 (3)当v>1(2型以上系统) 末项应分别是am+p-+p-l和am+pP中的一项， .v+p>m 由于m+p奇、偶不确定，简单的通式便不能确定 (-jK(1-a2w2+a4w-… 地表示它们.我们认为再讨论m+P的奇偶、派生 G)=lim [)(1+T) 降→0 更多的通式是没有必要的，因为无论(4)式还是 ；（-j广'Ka0-aw3+aw3-…) 式(5)和式(6)表达都十分简洁，而且在实际运算 a0+01+70-+7 (-j)'co+(-j+o 中也不会出错：只要按式中已明示的“两次方递 计算结果表明：2型以上系统的Nyquist曲线均 增、正负号间隔”原则逐项计算，末项便会自然 无渐近线.证毕. 生成. 有了以上判据，我们便不再会去盲目地计 (2)当开环系统传递函数为式(2)形式时，必

王 泽南 绘制开环 系统 线的研究 · ， 式 中 ，一 窗界 不一 ，一 ，… ，一 ， ，兀 ，兀 ，… 几 须将其化为式 形式 ， 才可使用 实 、 虚频特性 计算通式 二 艺 不不 界 ，不 一 ，一 及 ，… ，一 ， ，兀 ，… 一窗界不界 几几双一 ，一 爪 ，… ，一 ， ，兀 ，几 ，… 兀 心 晓户秃 二 ， 一 育不 不一 ，一 ，… ，一 ，界 ，兀 ，… 兀 式 的最后结果 即 为实 、 虚频特性计算通 式 有 了式 ， 计算实 、 虚频特性 ， 就避免 了 逐 个地 、 反复地作复数 因子 的相乘与拆分运算 式 中的 ，， 伪 ， ， ， … ， 氏 计算是约 简 的 、 有序 的 、 便 于计算和验算 的 ， 它尤其适宜于计算机编程 进行运算 更适用 的实 、 虚频特性计算通式 式 已将实 、 虚频拆成两部分 ， 但它们会 因 为 的奇 、 偶取值不 同而互换位置 ， 这在实 际使 用 中仍不够方便 为更具直观性与适用性 ， 由式 分解 出 以 下 个并行 的实 、 虚频特性计算通 式 当 为偶数时 勺。 「 。 勺。 」 曲线的起始渐近线 文献 【 一 对开环 系统 吻 曲线形状 的 分析 中 ， 都认为 由于 的原 因 ， 。 时 曲 线起始于无穷远处 ， 且可 能有渐近 线 但迄今 对起始渐近线缺少更深人 的讨论 ， 缺少判据 ， 因此 ， 判 断渐近线往往是盲 目的 ， 计算可能是多 余 的 起始渐近线判据 本文在 给 出实 、 虚频特性计算通式 的基础 上 ， 推 出一个重要 的起始渐近 线判据 起 始 渐 近线 判 据 开环 系统 的 曲线唯 有 型 系统具有起始渐近线 证 明 考察实 、 虚频特性 的计算通式式 开环 系统 曲线若有渐近线 ， 应发生 在 。 处 ， 因此需要考察 的值 当 型 系统 。 ， 八、 一 ，一 。 一 。 ， 久。 ‘ ‘ 气 一 防二 片下益厂 万斌不犷气 石布一苏犷 一 一下一丁万布，，式 下 ‘ ’ 。 一。 一 以 十 石田 一八 十 云毋 一 ” ’ 以 十 兄田 一 一 一 伪，， 面奋 此。 ， 双。 ， 山 … 了 一双。 ， 流骤箭恶搬瑞粼 ， 一 。 ， 山， 一 二 土 万获 于了二万了不工下两二万不 一 几 丁 、 丈 “ 产 户、 ’ 丈 为 刀 一 、 ’ 升 忆。 计算结果表 明 型 系统 咖 曲线起始 当 为 奇数 时 勺。 【 。 」 【 勺， 藉兴豁摆汾佘炭汤 十 若群赘箫吴豁号兴韶 ， 于 正实轴 的 双脸 点 ， 因而没有渐近 线 当 型 系统 因 为 ， 有 。 ， 。 、 一 ， 一 。 。 一 功， ，山， 少一 。 丁万万二了不 二云了「二下而二二汉二而一工万硕二 、 一 一 。 户气 丁 诬 山 八 上 石 山 ’ 气 ’ 上 ‘ 山 户 式 和 式 中 ，， ， 伪 ， … ， 偏 ， 的计 算 同式 式 和式 与式 的不 同之处在于 ， 它们 的 实部 与 虚 部都 已 清 楚地 表 示 出来 ， 式 中的 卜 ， 一 ’ 一 ， ， 一 是用 以 判别正 、 负号 的 两点说明 式 卜 中 ， 分子括号 内的末项均未 表 出 ， 由式 的第 和第 步看 ， 实 、 虚 两部分 的 末项应分别是 十， 一 ，， ’ ， 一 ’和 ， 。 。 十， 中的一项 ， 由于 奇 、 偶不确定 ， 简单的通式便不能确定 地表示它们 我们认为再讨论 的奇偶 、 派生 更多 的通式是没有 必要 的 ， 因为无论 式还 是 式 和 式 表达都十分简洁 ， 而且在实际运算 中也不会 出错 只要按式 中已 明示 的 “ 两次方递 增 、 正负号 间 隔 ” 原则逐项计算 ， 末项便会 自然 生成 当开环 系统传递 函数为式 形式时 ， 必 一止丝些卫塑 些鲤吐二匕一 。 此。 兀。 … 及， ， 一 ， 。 ， 。 ‘ 七劣 窍。 照。 … 一双。 ， 一 伪。 ， 仇山 一 … 二 丁 气祥六元爷卜蔽箫二万廿夜不 一。 “ 。 对。 双。 ， … 双。 ， 一 ‘ 、 “ ， “ 一 计算结果表 明 型 系统 曲线有 渐近 线 渐近线 为平行负虚轴 的直线 ， 在第 或第 象 限 当 型 以 上 系统 ’ ’ ’ 助，一 兽 【潇聋珊斋淤台赫 窍。 暇 鱼 … 里上二三 尺田 的 计算结果表 明 型 以 上 系统 的 曲线均 无渐近 线 证毕 有 了 以 上 判据 ， 我们便不再会去盲 目地计

·92· 北京科技大学学报 2001年第1期 算1型以外系统的Nyquist曲线渐近线.依据以 若0>0则必然是w2>0;w>0;… 上判据，我们顺便指出文献[1,3,4]中的1个错 现已知式（⑧）左边系数符号全相同，不妨设 误结论（文字描述或例图）：2型系统Nyquist曲 全为正，即：1>0；-a2>0;a>0;…那么式(8)的 线的起始渐近线为负实轴 左边1一a2w2+aw必大于零（若系数全为负则 2.2起始渐近线计算式 小于零)，所以式（⑧）式左边不可能等于零，即此 在以上的证明中，我们实际上已同时得到 方程不成立.其余证明与此相同 了Nyquist曲线渐近线的计算公式.若以y,表示 以上就证明了实（虚）部方程系数符号全相 1型系统起始渐近线与实轴的交点，则 同时，ω无正实数解，因此曲线与虚（实）轴无交 =Ka=K芝I=K(-T-T…-T.+T,+T…T.)(⑦) 点.证毕. 3 Nyquist曲线与实、虚轴的交点 4 示例 求解曲线Nyquist与实、虚轴交点的方法在 已知开环系统传递函数为： 文献-中均有介绍：分别令Re[Go]=0和m 1.50.3S+1)0.4S+1) [G(w)】=0,求解两方程，若求得ω有正实数解， cS-30.85+0.59+1063+可，试绘制 其Nyquist曲线. 再分别代人虚部和实部，即为交点的值.本文利 解：本例以下求解，(2)，(4)，(5)步与本文有 用已推导出的实、虚频特性计算通式，使判断与 关，(2)是运用前文推出的计算通式将开环系统 求算交点变得更方便与简捷. 3.1实部方程与虚部方程通式 频率特性化为实、虚频特性，(4)，(5)是运用本文 推出的判据及求解公式对渐近线和交点进行判 以下，我们称Re[Gw)]=0为实部方程、 定和求解，尽管囿于篇幅未能与传统的计算方 Im[G(w)]=0为虚部方程. 法相比较，但应该能看出有关计算的简单与方 对式(5)和式(6)，分别令Re[G(w)]=0,Im 便 [G(w)]=0,经整理，会得到以下两则方程： (1)求频率特性一般表达式. 1-a20w2+a4w-=0 (⑧) 1.5(1+i0.3w1+j0.4w) a1-a302+as0-=0 (9) G6o）=Gom1+j0.8m1+j0.5m1+j0.6 式(8)和式(9)两式形式非常简洁，它们是本文推 式中v=1,m=2,p=3,K=1.5,T=0.8,T=0.5, 出的实部方程与虚部方程通式. T3=0.6,T=0.3,T为=0.4 当v为偶数时：式（⑧）和式(9)分别为实部方 (2)求实、虚频特性. 程与虚部方程.当v为奇数时：式(8)和式(9)分别 ,v=1,为奇数 为虚部方程与实部方程. ∴，实、虚频特性应由式(6)求得，将上述值 3.2实、虚轴交点判据 代人计算出a1,a,a,a4,a值，分别为：a1=-1.2, 由式（⑧）和式(9)看，实部方程与虚部方程通 a2=-0.03,a=-0.358,a4=0.0264,a5=-0.0288. 式的形式完全一致，它们都是偶次方程.求解偶 再将计算值代入式(6)，得： 次方程尽管比求解同次一般方程要容易，但 G0m）=15-12m-0.358aw-0.0288o） w(1+0.801+0.5w21+0.6w m+P越大，方程阶次越高，求解依然越困难.更 1.5(1+0.03w2-0.0264w 重要的是：ω的解不都是求交点适用的解.换言 o(1+0.82aw21+0.5w21+0.6w= 之，实、虚部方程的求解可能全部或局部无意 1.5(-1.2-0.358w2-0.0288w) 义.为减少计算的盲目性，本文给出一个实、虚 o1+0.82w1+0.52w2)1+0.6w 1.5(1+0.03w2-0.0264w) 轴交点判据，本判据适用于迅速判断某些系统 jam1+0.8*o1+0.5am1+0.6oj 的Nyquist曲线与实轴或虚轴是无交点的. (3)判断曲线起、止点. 实、虚轴交点判据若实部（虚部）方程的系 起始点：∠GG0)=(-90)=-90° 数符号全相同，则曲线与虚轴（实轴）无交点. 终止点：∠G0∞)=(-90)+(m-p)×90°= 证明不失一般性，讨论v为偶数时的实部 -90°-90°=-180°. 方程式(8).由Nyquist曲线特性知，若曲线与虚 (4)判断起始渐近线.由起始渐近线判据知： 轴有交点，则实部方程式(8)必有正实数解，即： v=1,有起始渐近线.用式(7)求渐近线与实轴 @>0.以下用反证法 交点y.=Ka=1.5×(-1.2)=-1.8

北 京 科 技 算 型 以外 系统 的 曲线渐近线 依据 以 上判据 ， 我们顺便指出文献 ， ， 中的 个错 误结论 文字描述或例 图 型 系统 曲 线 的起始渐近线为 负实轴 起始渐近线计算式 在 以上 的证 明 中 ， 我们实际 上 已 同时得 到 了 曲线渐近线 的计算公式 若 以 表示 型 系统起始渐近 线与实轴 的交点 ， 则 旧 十 叭司翻 丢不一 一 一 一， 十 聆 二 曲线与实 、 虚轴的交点 求解 曲线 吻 与实 、 虚 轴交点 的方法在 文献〔 中均有介绍 分别令 【 心口 」 和 〔 伽 」 ， 求解两方程 ， 若求得。 有 正实数解 ， 再分别代人虚部和实部 ， 即为交点 的值 本文利 用 已推导 出的实 、 虚频特性计算通式 ， 使判断与 求算交点变得更方便与简捷 实部方程与虚部方程通式 以 下 ， 我 们称 〔 伽 卜 为 实 部 方 程 、 【 仃山 」 为虚部方程 对式 和式 ， 分别令 【 伽 」 ， 【 伽 卜 ， 经整 理 ， 会得到 以 下两则 方程 大 学 学 报 年 第 期 若。 则必然 是扩 扩 … 现 已 知式 左边 系数符号全相 同 ， 不妨设 全为正 ， 即 一 几 。 … 那么 式 的 左边 一 仇。 ， 久。 ‘ … 必大于零 若系数全为负则 小于零 ， 所 以 式 式左边不可能等于零 ， 即此 方程 不成立 其余证 明 与此相 同 以 上就证 明 了 实 虚 部方程 系 数符号全相 同时 ， 。 无正 实数解 ， 因此 曲线与虚 实 轴无交 点 证毕 示 例 已 知开环 系统传递 函数为 以习 ， 试绘制 一 毋 山， 一 一 一 伪功 氏山 一 …二 其 曲线 解 本例 以 下求解 ， ， ， 步与本文有 关 ， 是运用 前文推 出的计算通式将开 环系统 频率特性化为实 、 虚频特性 ， ， 是运用 本文 推 出的判据及求解公式对渐近线和交点进行判 定和 求解 ， 尽管 囿于篇 幅未能与传统的计算方 法相 比较 ， 但应该能看 出有关计算 的简单与方 便 求频率特性一般表达式 臼， 。 。 勺。 ， 。 。 、了了 、少、产 心 式 和 式 两式形式非 常 简洁 ， 它们 是 本文推 出 的实部 方程 与虚 部方程 通式 当 为偶数时 式 和 式 分别为实部方 程与虚部方程 当 为奇数时 式 和式 分别 为虚部方程与实部方程 实 、 虚轴交点判据 由式 和式 看 ， 实部方程与虚部方程通 式 的形式完全一致 ， 它们都是偶次方程 求解偶 次方 程 尽 管 比 求解 同次一般 方程 要 容 易 ， 但 越 大 ， 方程 阶次越 高 ， 求解依然越 困难 更 重要 的是 。 的解不都是求交点适用 的解 换言 之 ， 实 、 虚 部方程 的求解可 能全部或 局部无意 义 为减少计算 的盲 目性 ， 本文 给 出一个实 、 虚 轴交点判据 ， 本判据适用 于迅速判 断某些 系统 的 曲线与实轴或虚轴是无交点 的 实 、 虚轴 交 点判 据 若实部 虚部 方程 的系 数符号全相 同 ， 则 曲线与虚轴 实轴 无交点 证 明 不失 一般性 ， 讨论 为偶数时 的实部 方程式 由 曲线特性知 ， 若 曲线与虚 轴有交点 ， 则实部方程式 必有正实数解 ， 即 。 以 下用 反证法 式 中 ， ， ， ， ， ， ， ， 兀 二 ， 兀 求实 、 虚频特性 丫 ， 为奇数 … 实 、 虚频特性应 由式 求得 ， 将上述值 代人计算 出 ，， 几 ， 角 ， 山 ， 值 ， 分别 为 ， 一 ， 仇 一 ， 一 ， ， 口礴 ， 角 一 再将计算值代人式 ，得 。 一、 、 一 丛二 加 一 。 ， 一 。 ， 、 一， 一 一 。 山 。 ， 一 一 。 ， 一 山 ，，， ， 。 ， ，。 ， ’ 一 田 硕石而叭巧瓦蔽污骊万石下 ， 。 ， 判 断 曲线起 、 止点 起始点 艺 勺 一 一 终止点 之 因 卜 一 夕 一 一 一 判断起始渐近线 由起始渐近线判据知 ， 有起始渐近线 用 式 求渐近线与实轴 交点 犬 ，二 一 一

Vol.23 No.1 王泽南：绘制开环系统Nyquist线的研究 ·93· (⑤)求与实、虚轴交点.根据实、虚轴交点判 5结语 据考察实部方程与虚部方程： 实部方程系数全相同，而虚部方程系数 绘制开环系统Nyquist曲线必须要完成确 不全相同. 定其形状的一系列计算，而完成这些计算前的 .可判定曲线与虚轴无交点，但不能判定 一个重要步骤是需将频率特性一般形式化为 与实轴有无交点. 实、虚频特性，这个化解的计算过去一直没能固 解虚部方程：1+0.03w2-0.0264w=0 化为一个计算通式，使每一个实际系统的计算 解得：ω=2.6代入实、虚频特性式的实部， 都重复着本该省却的基本步式，越复杂的系统 求得曲线与实部交点为：Gj2.6)-Re[G(j2.6)]= 计算越麻烦而且容易出错.本文推出的计算通 -0.15. 式，工整、清晰，使实、虚频特性的化解计算规范 (6)绘制Nyquist曲线.由于开环系统有1阶 化，免却了中间的化解过程，计算一步到位，非 微分环节，可判定曲线有弯曲，再综合以上所 常简捷.不仅如此，通式的推出，使渐近线和交 求，概略地绘制出本例开环系统的Nyquist曲线 点的计算简式也由此得到，它们的计算也变得 如图1所示.图1 更简单，可以想象，实、虚频特性化解通式可能 对开环系统的其它研究如稳定性等有帮助 Im 参考文献 -1.8w-2.6-0.15Re 1绪方胜彦现代控制工程.卢伯英译.北京：科学出版 杜，1976.308 2本杰明C.自动控制系统.张一中译北京：水利电力 出版杜，1983.518 3胡寿松，自动控制原理（上），北京：国防工业出版社， 1984.236 4恩格拉思IJ,戈帕尔M控制系统工程.刘绍球译 北京：电子工业出版社，1985.212 图1开环系统Nyquist曲线实例 5杨叔子，杨克冲.机械工程控制基础.武汉：华中理 Fig.1 Nyquist diagram example of open-loop systemes 工大学出版杜，1988.102 Research for Plotting Diagram of Open-loop Systems WANG Zenan Dept of Biology Food Engineering,Hefei University of Technology,Hefei 230026,China ABSTRACT The method of effective plotting diagram of open-loop systems was studied in two aspects.Fir- stly,his calculus was efficaciously improved:the common formula of real and imaginary frequency response was advanced that is convenient for manual computation and more convenient for compute programming.Sec- ondly,two criterions are posed for use of quick confirming the forms of diagram:they are the criterion of orig- inal asymptote and cross-point on real and imaginary axes. KEY WORDS open-loop systems;diagram;frequency response;real and imaginary frequency response; original asymptote

】 一 王 泽南 绘 制开环 系统 线 的研究 求与实 、 虚轴交点 根据实 、 虚轴交点判 据考察实部方程与虚部方程 … 实部方程 系数全相 同 ， 而虚部方程系数 不全相 同 可 判定 曲线 与虚轴无交点 ， 但不能判定 与实轴有无交点 解虚部方程 。 ，一 。 ‘ 解得 ， 代人实 、 虚频特性式 的实部 ， 求 得 曲线 与 实 部 交 点 为 勺 【 勺 〕 一 绘制 曲线 由于开环系统有 阶 微分环节 ， 可判定 曲线有弯 曲 ， 再综合 以 上所 求 ， 概 略地绘制 出本例开环 系统 的哑 曲线 如 图 所示 图 结 语 绘制开环 系统 吻 曲线必须要完成确 定其形状 的一 系列计算 ， 而完成这些计算前 的 一 个重 要 步 骤是 需将频 率特性 一 般形 式化 为 实 、 虚频特性 ， 这个化解 的计算过去一直没能固 化为一个计算通式 ， 使每一个实际系统 的计算 都重复着本该省却 的基本步式 ， 越 复杂 的系统 计算越麻烦而且容易 出错 本文推 出 的计算通 式 ， 工整 、 清晰 ， 使实 、 虚频特性 的化解计算规范 化 ， 免却 了 中间 的化解过程 ， 计算一步到位 ， 非 常简捷 不仅如此 ， 通式 的推 出 ， 使渐近线和交 点 的计算简式也 由此得 到 ， 它们 的计算也变得 更简单 可 以 想象 ， 实 、 虚频特性化解通式可 能 对开环 系统 的其它研究如稳定性等有帮助 参 考 文 献 绪方胜彦 现代控制工程 卢伯英译 北京 科学 出版 社 ， 本 杰 明 自动控制系统 张一 中译 北京 水利 电力 出版社 ， 胡寿松 自动控制原理 上 北京 国防工业 出版社 ， 恩 格拉思 ， 戈 帕尔 控制系统工程 刘绍球译 北京 电子工业 出版社 ， 图 ， 开环 系统 曲线实例 杨 叔子 ， 杨克 冲 机械工程控制基础 武汉 华 中理 · · 盯 工大学 出版社 ， 一 环二咬刃 诊 ， ’ ， 一 ， 加 田叮〔 。 ， 一 一 而 明