做变量代换k→E=k一k,约定 (k)=,a k=ko 减包的波函数可重新表为 l(x, t) dk o( k) de ple t ko) ≈(和0-421 √2n|dey(∈+6)-的 (b-o) 所以 (x,)=y(x-u
做变量代换 k Ñ “ k ´ k0，约定 !pk0q “ !0; d! dk ˇ ˇ ˇ ˇ k“k0 “ ! 1 0 波包的波函数可重新表为： px; tq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe irkx´!pkqts “ 1 ? 2 `8 ż ´8 d 'p ` k0qe irp`k0qx´!0t´! 1 0 t`Op 2 qts « e ipk0x´!0tq 1 ? 2 `8 ż ´8 d 'p ` k0qe ipx´! 1 0 tq “ e itpk0! 1 0´!0q px ´ ! 1 0 t; 0q 所以， | px; tq| “ ˇ ˇ ˇ px ´ ! 1 0 t; 0q ˇ ˇ ˇ 21 / 140
对于波包常常引入包中心的概念 波包中心即是p(x,圳)显著不为零的区域,对于所考虑的一隼波 包而言,因为有 (x,)=p(x-240) 倘若在t=0时刻波包中心位于x(0)=0的她点,则在以后的某 个时刻t,波包中心的位置x()应由下式确定 ()-0 所以,波包中心的位置坐标x以速度 8 dt 运动."g称为淡包的群速度
对于波包常常引入波包中心的概念. 波包中心即是 | px; tq| 显著不为零的区域. 对于所考虑的一维波 包而言，因为有： | px; tq| “ ˇ ˇ ˇ px ´ ! 1 0 t; 0q ˇ ˇ ˇ 倘若在 t “ 0 时刻波包中心位于 xcp0q “ 0 的地点，则在以后的某 个时刻 t，波包中心的位置 xcptq 应由下式确定： xcptq ´ ! 1 0 t “ 0 所以，波包中心的位置坐标 xc 以速度 vg “ dxc dt “ ! 1 0 “ d! dk ˇ ˇ ˇ ˇ k“k0 运动. vg 称为波包的群速度. 22 / 140
对于 de broglie物质包而言 P 2m 群速度恰为实物粒子的运动速度2. 下面研究波包形状在洩包运动过程中可能的变化.设φ(k)是一 个颜窄的洩包,洩数集中在k附近一个小范围内.在k≈k处 对u(k)作 Taylor展开 (k-6)+/ J(k一)2 =(6)+{k-h)+B(k-h)2 式中 d e 其相速度只有粒子运动速度的一平,=P/2m
对于 de Broglie 物质波波包而言， ! “ ℏk 2 2m ù vg “ ℏk m “ p m 群速度恰为实物粒子的运动速度2 . 下面研究波包形状在波包运动过程中可能的变化. 设 'pkq 是一 个颇窄的波包，波数集中在 k0 附近一个小范围内. 在 k « k0 处 对 !pkq 作 Taylor 展开， !pkq « !pk0q ` „ d! dk ȷ k0 pk ´ k0q ` 1 2 „ d 2! dk2 ȷ k0 pk ´ k0q 2 “ !pk0q ` vgpk ´ k0q ` 1 2 pk ´ k0q 2 式中， “ „ d 2! dk2 ȷ k0 2但其相速度只有粒子运动速度的一半，vp “ p{2m. 23 / 140
设体系在t=0时刻的初始皮函数为y(x0).其在动量空间的 Fourier变换是 p(k) 2(x0) 则在t>0时刻 y(x,) dk o(k)elkx-u()- dk (k)ela (k-6)-1B(k-k)2 1k0x0()p(+k)1(x-)-Be
设体系在 t “ 0 时刻的初始波函数为 px; 0q，其在动量空间的 Fourier 变换是： 'pkq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dx px; 0qe ´ikx 则在 t ą 0 时刻， px; tq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe irkx´!pkqts « 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe irkx´!pk0qt´vgpk´k0qt´ 1 2 pk´k0q 2 ts “ 1 ? 2 e irk0x´!pk0qts `8 ż ´8 d 'p ` k0qe irpx´vgtq´ 1 2 2 ts 24 / 140
以Gaus包为例.设v(x,0)=c-212,则 φp(k 1-k2/2a2 为简单计,进一步取k=0,所以 ab(x, t) 0|(-)-51(+Ja 0)r 2(1+i6a2t) 此 Gauss波包的强度分布为
以 Gauss 波包为例. 设 px; 0q “ e ´ 2 x 2 {2，则： 'pkq “ 1 e ´k 2 {2 2 为简单计，进一步取 k0 “ 0，所以， px; tq “ 1 ? 2 e ´i!p0qt `8 ż ´8 d e ipx´vgtq´ 2 2 pi t`1{ 2 q “ e ´i!p0qt 1 a 1 ` i 2 t exp „ ´ px ´ vg tq 2 2 2p1 ` i 2 tq ȷ 此 Gauss 波包的强度分布为： | px; tq|2 “ 1 a 1 ` 2 4 t 2 exp „ ´ px ´ vg tq 2 2 p1 ` 2 4 t 2q ȷ 25 / 140