包及其 Fourier分析 严格的平面洩是不存在的,实际问题中碰到的洩动都是包,它 们的强度只在空间有限区域中不为零 按照 Fourier分析,洩包可以表示为各种不同洩长的平面洩的线 性叠加 l(x, t)= dk y(k)/lkx-w()- 显然当t=0 (x,0) (k)称为初始时刻波函数ψ(x0)的 Fourier变换,或者称为k空 间的洩函数 φp(k)= dxab(x,0)e-ikx
波包及其 Fourier 分析： 严格的平面波是不存在的，实际问题中碰到的波动都是波包，它 们的强度只在空间有限区域中不为零. 按照 Fourier 分析，波包可以表示为各种不同波长的平面波的线 性叠加： px; tq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe irkx´!pkqts 显然当 t “ 0， px; 0q “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe ikx 'pkq 称为初始时刻波函数 px; 0q 的 Fourier 变换，或者称为 k-空 间的波函数， 'pkq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dx px; 0qe ´ikx 16 / 140
它表示包ψ(x,0)中所含波数为k的平面波的波幅,|p(k)2则 代表此分的强度 对于波包中的分波而言,角频率u(k)一般是波数k的函最.例 如对于 de broglie物质波波包 w(k)=hk/2m 角频率对于洩数的依赖关系通常称为洩包的色散关系 ◎最典型的洩包是所谓Gaus包 y(x,0)=c 注惫到此波包的强度(x,0)2=c-。x主要集中在 <a-1的区域内,Gaus波包的半宽度△x≈a-1. Gauss 波包的 Fourier变换为 pP(k) -ikx
它表示波包 px; 0q 中所含波数为 k 的平面波的波幅，|'pkq|2 则 代表此分波的强度. 对于波包中的分波而言，角频率 !pkq 一般是波数 k 的函数. 例 如对于 de Broglie 物质波波包， !pkq “ ℏk 2 {2m 角频率对于波数的依赖关系通常称为波包的色散关系. 1 最典型的波包是所谓Gauss 波包： px; 0q “ e ´ 2 x 2 {2 注意到此波包的强度 | px; 0q|2 “ e ´ 2 x 2 主要集中在 |x| ă ´1 的区域内，Gauss 波包的半宽度 ∆x « ´1 . Gauss 波包的 Fourier 变换为： 'pkq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dx e´ 2 x 2 {2 e ´ikx “ 1 e ´k 2 {2 2 17 / 140
高斯洩包 u(x02=e- 0.6 0.4
高斯波包： -4 -2 2 4 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ÈΨHx,0L 2=e -x23 18 / 140
p(6)2=ca主要集中在<a范围内,△k≈a所以 △x·△k≈1 此式不限于 Gauss洩包,它对于任何包都适用1 成包的运动与扩散 考虑在一维直线上传播的波包 wV2万J4q61-( 假设φ(k)是在某个h处的狭窄分布,即对上迷积分有实质贡献 的φp(k)集中在波数k附近,如此,可把(l)在k处作泰勒展 开 du (6)+(k一6)+(c-) 1证明见后
|'pkq|2 “ 1 2 e ´k 2 { 2 主要集中在 |k| ă 范围内，∆k « . 所以， ∆x ¨ ∆k « 1: 此式不限于 Gauss 波包，它对于任何波包都适用1 . 波包的运动与扩散： 考虑在一维直线上传播的波包， px; tq “ 1 ? 2 `8 ż ´8 dk 'pkqe irkx´!pkqts 假设 'pkq 是在某个 k0 处的狭窄分布，即对上述积分有实质贡献 的 'pkq 集中在波数 k0 附近. 如此，可把 !pkq 在 k0 处作泰勒展 开： !pkq « !pk0q ` d! dk ˇ ˇ ˇ ˇ k“k0 pk ´ k0q ` Oppk ´ k0q 2 q 1证明见后. 19 / 140
Example:p(k)集中分布在k=0附近
-15 -10 -5 5 10 15 k 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 φ(k) Example: 'pkq 集中分布在 k “ 0 附近. 20 / 140