偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,x)在(x,J,x)处 ∫(x,,列=加imf(x+Ax,y,z)-∫(x,y,z) Ax→0 ∫,(x,y,z)=lim f(x,y+4,z)-∫(x,y,z) 小->0 ∫(x,,列=加mf(x,y,z+Ax)-/(x,y,z) Az->0
如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = → 偏导数的概念可以推广到二元以上函数
般地设 w= f(x 19~29 Ow_lim ∫(x1,…,x1+Ax1,…,xn)-f(x1 v;→>0
一般地 设 ( , , , ) x1 x2 xn w = f i i i n i n x i x f x x x x f x x x x w i ( , , , , ) ( , , , , ) lim 1 1 0 + − = → (i = 1,2, ,n)
例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 0x=2x+3y; =3x+2y ay att1=2×1+3×2=8, y=2 =3×1+2×2=7 例2设乙=x"(x>0,x≠1) 求证x0z 1 az 十 2 y ax In x ay 证 vx x Inx ax
例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 = x z 2x + 3 y ; = y z 3x + 2y . = = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , = = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . 例 2 设 y z = x (x 0, x 1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 = + . 证 = x z , y−1 yx = y z x ln x, y
x dz 1 oz x zx-+xInx In x oy Inx =xtx=2z 原结论成立 例3设z= arcsin √x+ ay 解Oz ax 1x √x2+y J 2 2 x2+p2)3 LyD 2 x十
y z x x z y x + ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z ， y z . 解 = x z + + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y + + = ( | |) 2 y = y . | | 2 2 x y y + =
2 x十 2 r t y x t y (-xy) 2 2 2 sgn (x2+y r t y (y≠0)C Oy 不存在 x≠0 y=0 例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数,求证:,OOT av at ap
= y z + + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + − + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y 0) 0 0 = y y x z 不存在． 例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1 p T T V V p