上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第二章 随机变量及其分布

二、几种重要的离散型分布 1.两点分布(0-1)分布 若随机变量X的分布律为 Pr=)=p(1-p),k=01,(0<p<1) 则称X服从以p为参数的(0-1)分布。 (0-1)分布的分布律也可写成 K p 1-p 若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现 正面等，它们的样本空间为2={@1,02}，则总能定义一个服从(0-1)分布的随机变量 1当o,发生时： Y= 0,当o,发生时。 也就是说，它们都可以用(0-1)分布来描述，只不过对不同的问题参数P的值不同而 已.可见，(0-1)分布是经常遇到的一种分布。 2.二项分布 若随机变量r的取值为0，l,2,…n且 =)=Cp"-,k=0,1,2,,n 其中0<p<1,p+g=1,则称X服从以n,p为参数的二项分布，记为r~Bn,p)。 容易证明X=)=Cpg≥0，且 立Ar==2cpg=p+r=1 0 注意到Cp正好是二项式(p+)"的展开式的一般项，因此称该随机变量服从二项 分布。 特别，当n=1时二项分布为八r=)=广g-,k=0,1。这就是(0-1)分布，故当r 服从(0-1)分布时，常记为'~L,)。 在第一章中我们讨论了n重贝努力试验，易见在n重贝努力试验中事件A发生的 次数X是服从而二项分布的随机变量。又由 RX=B)Cipfd n(kpg" =(n-k+)卫-(n+1)p-迎 RY=k-1)C4-p-g-kk-D)I(n-k+1)p4-ig- kg kg =n+)p--2-9+(n+p-k=1+n+Dp-k kg p kg 6

6 二、 几种重要的离散型分布 1. 1. 两点分布（0 0 -1 -1 ）分布 若随机变量 X 的分布律为 ( ) (1 ) , 0,1,(0 1), 1        P X k p p k p k k 则称 X 服从以 p 为参数的（ （ 0-1 0-1 ）分布 ）分布 。 （ （ 0-1 0-1 ）分布 ）分布 的分布律也可写成 若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现 正面等，它们的样本空间为   {1 ,2 }，则总能定义一个服从（0-1）分布的随机变量     当 发生时。 当 发生时； 2 1 0, 1,   X 也就是说，它们都可以用（0-1）分布来描述，只不过对不同的问题参数 p 的值不同而 已.可见，（0-1）分布是经常遇到的一种分布。 2. 2. 二项分布 若随机变量 X 的取值为 0，1，2，n且 P X k C p q k n k k n k n (  )  ,  0,1,2,,  其中 ，则称 X 服从以 为参数的二项分布 二项分布 0  p  1, p  q  1 n, p ，记为 X ~ B(n, p)。 容易证明 P(X  k)  Cn k p k q nk  0,且 ( ) ( ) 1. 0 0           k n k n n k n k k P X k Cn p q p q 注意到 Cn k p k q nk 正好是二项式( p  q) n 的展开式的一般项，因此称该随机变量服从二项 分布。 特别，当n  1时二项分布为 ( ) , 0,1。这就是（0-1）分布，故当X 1     P X k p q k k k 服从（0-1）分布时，常记为 X ~ B(1, p)。 在第一章中我们讨论了 n 重贝努力试验，易见在 n 重贝努力试验中事件 A 发生的 次数 X 是服从而二项分布的随机变量。又由 kq n p kp kq n k p n k n k P q n k n k p q C p q C p q P X k P X k k n k k n k k k n k n k k n k n                           ( 1) ( 1) !/( 1)1( 1)! !/ !( )! ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 . kq n p k kp kq n p k kq n p k q             ( 1) 1 ( 1) (1 ) ( 1) X 1 0 P p 1  p

知当k<(n+1)p时r=)单调增加，k>(n+1)p时'=)单调下降，因此可知当 k在(n+I)p附近时P氏X=)达最大值，也就是说，在n重贝努力试验中，事件A发生 [(什1)次的概率最大，通常称[(n+1)p)为n次独立重复试验中最可能成功的次数 例3已知某型号电子元件的一级品律为0.2，现从一大批元件中随机抽查20只，问最 可能的一级品数是多少？ 解检查20只元件是否一级品可看20重的贝努力试验，即其中一级品数r服从二项 分布20,0.2)，而(20+1)×0.2=4.2，所以其中有4只一级品的概率最大。 下面的数据也验证了这个结果。 0 2 4 5 6 0.012 0.058 0.137 0.2050.218 0.1750.109 7 8 9 10 >11 0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 <0.01 其中P-r=)=C(0.2)(1-0.2)20- 例4某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两 次的概率。 解把每次射击看成一次试验，设击中的次数为K,则X~(400,0.02),X的分布律为 X=)=C(0.02)(0.98)40-,k=0,1…,400, 于是所求概率为 HX≥2)=1-PK=0)-Pr=1）=1-(0.98)400-400·(0.02)(0.98)39 直接计算上式是很麻烦的.下面我们给出一个当很大而p很小时的近似计算公式 泊松定理(Poisson)设2>0是一常数，n是正整数。若pn=元，则对任一固 定的非负整数，有mCp-,)=e。 E由=u知Cp0-n-a--+-A” -对(--引--2-为 对任意图定的。当m→时-分1/=2-上

7 知当 k  (n 1)p时 P(X  k)单调增加，k  (n 1)p时 P(X  k)单调下降，因此可知当 k 在 (n  1) p附近时 P(X  k ) 达最大值，也就是说，在 n 重贝努力试验中，事件 A 发生 [(n+1)p]次的概率最大，通常称[(n 1)p]为 n 次独立重复试验中最可能成功的次数. 例 3 3 已知某型号电子元件的一级品律为 0.2，现从一大批元件中随机抽查 20 只，问最 可能的一级品数是多少？ 解 检查 20 只元件是否一级品可看 20 重的贝努力试验，即其中一级品数 X 服从二项 分布 B(20,0.2)，而 (201) 0.2  4.2，所以其中有 4 只一级品的概率最大。 下面的数据也验证了这个结果。 其中 ( ) (0.2) (1 0.2) . 20 20 k k k P P X k C      例 4 4 某人独立地射击，设每次射击的命中率为 0.02，射击 400 次，求至少击中目标两 次的概率。 解 把每次射击看成一次试验，设击中的次数为 X，则 X ~ B(400,0.02), X 的分布律为 ( ) (0.02) (0.98) , 0,1, ,400, 400 P X  k  C400 k k k k   于是所求概率为 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 1 (0.98) 400 (0.02) (0.98) . 400 399 P X    P X   P X       直接计算上式是很麻烦的.下面我们给出一个当 n 很大而 p 很小时的 近似计算公式. 泊松定理（Poisson Poisson Poisson Poisson ） 设  0 是一常数，n 是正整数。若 npn  ,，则对任一固 定的非负整数 k,,有  。       e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 ) 证 由 pn   / n,知 k n k n k n k n k n k n n n n n k C p p                       1 ! ( 1) ( 1) (1 )  1 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ! k n k n n n k k n n                                            对任意固定的 k，当 n  时 1  1,  1,2, , 1;       i k n i  X 0 1 2 3 4 5 6 P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 X 7 8 9 10 11 >11 P 0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 <0.01

-→- 故有 mC防p-h,)t=e 定理的条件p。=入，意味着n很大时，Pn必定很小，由泊松定理知，当 r~2),且n很大而p很小时，有 r=月=Cp0-pr≈ e (2.1) 其中2=p。在实际计算中，当n≥20，p≤0.05时，(2.1)式的近似值效果颇佳，而 n≥100且p≤10时，效果更好。 2e的值有表可查（见书后附表） 在例4中，p=8,由(21)式知 Hr=0)≈e8,r=1)≈8e8 因此 Pr≥2)≈1-e8-8e8=0.997. 例4的结果告诉我们两个事实： 其一，虽然每次射击的命中率很小（为0.02），但射击次数足够大（为400次），则 击中目标两次几乎是肯定的（概率为0.997）。这个事实告诉我们，一个事件尽管在一 次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中这事件的发生几乎是必然的。 也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。 其二，若射手在400次独立射击中，击中目标的次数不到两次是一件概率很小的事 件，而这事件竟然在一次实验中发生了，则跟据实际推断，我们有理由怀疑“每次射 击的命中率为0.02”这一假设是否正确，即可认为射手射击的命中率达不到0.02。 例5现有同型设备300台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01 设一台设备的故障可由一名维修工人处理，问至少需配备多少名维修工人，才能保证 设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？ 解设需配备N名工人，r为同一时刻发生故障的设备的台数，则K~B(300,0.01)。所 需解决的问题是确定N最小值，使 rr≤WM≥0.99 因p=入=3，由泊松定理 r≤M户3 3, 8

8 1 1; 1 1 , ( )                                    e n n n n k n 故有 .       e k C p p k n k n k n k n n ! lim (1 ) 定理的条 件 npn   ，意味着 n 很大时， pn 必定很小 ，由泊松定理知， 当 X ~ B(n, p),，且 n 很大而 p 很小时，有 , (2.1) ! ( ) (1 )        e k P X k C p p k k k n k n 其中   np 。在实际计算中，当 n  20, p  0.05时，(2.1)式的近似值效果颇佳，而 n  100 且 np  10时，效果更好。  的值有表可查（见书后附表）   e k k ! 在例 4 中， np  8，由(2.1)式知 ( 0) , ( 1) 8 . 8 8 P X   e P X   e 因此 ( 2) 1 8 0.997. 8 8        P X e e 例 4 的结果告诉我们两个事实： 其一，虽然每次射击的命中率很小（为 0.02），但射击次数足够大（为 400 次 ），则 击中目标两次几乎是肯定的（概率为 0.997）。这个事实告诉我们，一个事件尽管在一 次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中这事件的发生几乎是必然的。 也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。 其二，若射手在 400 次独立射击中，击中目标的次数不到两次是一件概率很小的事 件，而这事件竟然在一次实验中发生了，则跟据实际推断，我们有理由怀疑“每次射 击的命中率为 0.02”这一假设是否正确，即可认为射手射击的命中率达不到 0.02。 例 5 5 现有同型设备 300 台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 设一台设备的故障可由一名维修工人处理，问至少需配备多少名维修工人，才能保证 设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？ 解 设需配备 N 名工人，X 为同一时刻发生故障的设备的台数，则 X ~ B(300,0.01)。所 需解决的问题是确定 N 最小值，使 P(X  N)  0.99. 因 np    3,，由泊松定理      N k k e k P X N 0 3 , ! 3 ( )