《数字信号处理 Digital Signal Processing》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计 3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（1/2）

并将Ω。=2T代入,得: H(Z)=.①c7-(。/√3)+(/3T)6 /6 z1-e0(4-八3)2z1 1-e(1+/3)/2 合并上式后两项,并将=2yfT=0.5x代入,计算得 1.571 1.571+0.5541Z-1 H(Z)= T(1-0.2079Z 0.1905Z+0.2079Z

并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： (1 3)/ 2 1 / 6 (1 3)/ 2 1 / 6 1 1 ( / 3 ) 1 ( / 3 ) 1 / ( ) − + − − − − − − − − − + − − + − = e Z T e e Z T e e Z T H Z j j c j j C c c c c         c = 2f c T = 0.5         − + − + + − = − − − − 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1 1.571 ( ) Z Z Z T Z H Z c =c /T

可见,H(Z)与采样周期T有关,T越小,H(Z) 的相对增益越大,这是不希望的。为此,实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改,即求出H(Z)后,再 乘以因子T使H(Z)只与o。有关,即只与f和f的相 对值f。/有关,而与采样频率f无直接关系 例如,f=4KH,f=1K与f=40kH,f=10kH的 数字滤波器具有相同的传递函数,这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得: 1.571 1571+0.5541z H(Z) 1-0.2079z11-0.1905z1+0.2079z-2

可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和f s的相 对值 有关，而与采样频率f s无直接关系。 例如， 与 的 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得： c s f / f 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1.571 ( ) − − − − − + − + + − = z z z z H Z  C f KHz f KHz f s = 4KHz, f c =1KHz s = 40 , c =10

b.双线性变换法 (一)首先确定数字域临界频率=2=0.5兀 2 2 tg、2 二)根据频率的非线性关系,确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三)以s/s代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 H(S)= 1+2(s/g)+2(s/92)2+(s/ 并将92=2/代入上式。 (四)将双线性变换关系代入,求H(Z)

b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 c = 2f c T = 0.5 T t g T c c 2 2 2  =       =  s/c 2 3 1 2( / ) 2( / ) ( / ) 1 ( ) c c c a s s s H s +  +  +  = c = 2/T （二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)

H(2=H,GS 21- 1 1+2 1 1 1+z +=)+2(-=)+=-)+2(-=-)(+=-)+(-=-) z +=)+2(-=)+=-)+=1+1-=-)+(-=) Tz 1+z-)+4(1-z 2)+ +)1+2=+=2+2-2=)+(-=)2+22+1-2=+ 1+2 z 3+z)+=+1-=)23+

3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 1         + − +         + − +        + − + = = − − − − − − + − = − − z z z z z z H Z H s z z T s a ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + = + + + − + = + + + + − + − + + − + + = + + − + + − + = + + − + + + − + − + = + + − + + − + + − + = z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

1.0 脉冲响应不变法 ② 双线性变换法 0.5 0 0.5x 1.0 2.0(kHz) fs/2 图1三阶 Butterworth数字滤波器的频响

图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响 脉冲响应不变法 双线性变换法 fs/2